精品解析：山东省菏泽市郓城第一中学2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试题

初二数学寒假质量检测 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果a2=b2，则a=b B. 两边一角对应相等的两个三角形全等 C. 的算术平方根是9 D. x=2，y=1是方程2x﹣y=3的解 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3. 以方程组的解为坐标的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点在上，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 随着网络的发展，在节日期间长辈们往往用抢微信红包的形式发放红包，下表是某班42名同学在春节期间所抢的红包金额进行统计的结果表： 金额(元) 20 30 50 100 200 人数(人) 5 16 10 6 5 根据表中提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是( ) A. 16元，50元 B. 30元，30元 C. 30元，40元 D. 30元，50元 7. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（ ） A. a＜4 B. a≤4 C. a=4 D. a≥4 9. 若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（ ）． A. 平均数为12，标准差为2 B. 平均数为12，标准差为4 C. 平均数为27，标准差为2 D. 平均数为27，标准差为4 10. 春节小红去花店购买鲜花，若买支玫瑰和支百合，则她所带的钱还剩下元；若买支玫瑰和支百合，则她所带的钱还缺元，若只买支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ） A. 30元 B. 25元 C. 31元 D. 28元 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ______，的平方根是______，的倒数为______． 12. 已知且轴，则线段______． 13. 如图，在中，，，交于点，，则的长__________. 14. 等边的两个顶点为，则顶点C坐标为______． 15. 直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为____________． 16. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点若的坐标为，设，则的值是______ ． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式（组）或解方程组 （1） （2） （3） 18. 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点． 求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）． 19. 如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证：BG=CH． 21. 某工程队负责在山脚下修建一座水库的施工任务，该工程队有两种型号的挖掘机，已知台型和台型同时施工小时挖土；台型和台型挖掘机同时施工小时挖土.每台型挖掘机每小时施工费用为元，每台型挖掘机每小时施工费用为元． （1）每台型、型挖掘机每小时分别挖土多少？ （2）若型和型挖掘机共台同时施工，至少完成的挖土量，该工程队施工的最低费用是多少元？ 22. 我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 高中部 85 100 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 23. 已知，D为所在平面上一点，平分，平分． （1）若D点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？直接写出结论，无需证明． （2）若D点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． （3）若D点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． （4）若D点是内一点，如图4所示，判断之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明） 24. 如图，直线交y轴于点C，与x轴交于点D，直线经过点，交x轴于点M，直线交于点． （1）求出直线的函数表达式； （2）直线上有一点E，且的面积是面积的一半，求出点E的坐标； （3）在x轴上找一点P，使得的值最小，请直接写出这个最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学寒假质量检测 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果a2=b2，则a=b B. 两边一角对应相等的两个三角形全等 C. 的算术平方根是9 D. x=2，y=1是方程2x﹣y=3的解 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义对A进行判断；根据三角形全等的判定方法对B进行判断；根据算术平方根的定义对C进行判断；根据二元一次方程的解对D进行判断． 【详解】解：A、如果a2=b2，则a=b或a=﹣b，所以A选项为假命题； B、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以B选项为假命题； C、=9，而9的算术平方根为3，所以C选项为假命题； D、x=2，y=1是方程2x﹣y=3的解，所以D选项为真命题． 故选：D． 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示出解集如图： ； 故选C． 3. 以方程组的解为坐标的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，判断点所在的象限，先求出方程组的解，再根据点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：解，得：， ∵， ∴点在第一象限； 故选A． 4. 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】A、函数中的＜0，而函数中＜0，则＞0，两个的取值不一致，故此选项错误； B、函数的＜0，而函数中＞0，则＜0，两个的取值一致，故此选项正确； C、函数的＞0，而函数中＞0，则＜0，两个的取值不一致，故此选项错误； D、图象中无正比例函数图象，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象，关键是掌握正比例函数的性质和一次函数的性质． 5. 如图，在中，，点在上，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，通过线段相等得到角相等，再根据三角形内角和列方程求出的值即可． 【详解】解：设 ， ，， ， ， ， ， 在中，解得：， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，根据题意明确各角之间的关系是解答本题的关键． 6. 随着网络的发展，在节日期间长辈们往往用抢微信红包的形式发放红包，下表是某班42名同学在春节期间所抢的红包金额进行统计的结果表： 金额(元) 20 30 50 100 200 人数(人) 5 16 10 6 5 根据表中提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是( ) A. 16元，50元 B. 30元，30元 C. 30元，40元 D. 30元，50元 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数与中位数的定义，众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是处在最中间位置的数，即可解答. 【详解】30出现次数最多，出现了16次，所以众数为30， 按从小到大的顺序排列，第21、22个数是30和50，所以中位数为：. 故选：C 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选． 7. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点D的坐标，可得，根据折叠的性质可得，先用勾股定理求出的长度，再用勾股定理列出方程，求出的长度即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵由折叠得到， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即，解得：， ∴， ∴点E的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关内容． 8. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（ ） A. a＜4 B. a≤4 C. a=4 D. a≥4 【答案】B 【解析】 【分析】求出第一个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件解答即可． 【详解】， 由①得，x＞4， ∵不等式组无解， ∴a≤4． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 9. 若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（ ）． A. 平均数为12，标准差为2 B. 平均数为12，标准差为4 C. 平均数为27，标准差为2 D. 平均数为27，标准差为4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求平均数和标准差，根据平均数和方差的变化规律：一组数据的平均数为，方差为，则：的平均数为，方差为，以及标准差为方差的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，的平均数为：，方差为：， ∴标准差为：； 故选D． 10. 春节小红去花店购买鲜花，若买支玫瑰和支百合，则她所带的钱还剩下元；若买支玫瑰和支百合，则她所带的钱还缺元，若只买支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ） A. 30元 B. 25元 C. 31元 D. 28元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰元，每支百合元，根据总价单价数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于，的二元一次方程，整理后可得出，再将其代入中即可求出结论． 【详解】设每支玫瑰元，每支百合元， 依题意，得：， ， ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ______，的平方根是______，的倒数为______． 【答案】 ①. 4 ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查立方根，平方根，分母有理化，根据立方根，平方根和倒数的定义，以及分母有理化进行求解即可． 【详解】解：；的平方根是；的倒数为； 故答案为：4，， 12. 已知且轴，则线段______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，列出方程求解得出，进而求得的坐标，即可求解． 【详解】解：∵点，直线轴， ∴， 解得． ∴， ∴ 故答案为：． 13. 如图，在中，，，交于点，，则的长__________. 【答案】3 【解析】 【分析】证明BD=AD，CD=2BD即可解决问题． 【详解】，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形30度角的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 14. 等边的两个顶点为，则顶点C坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查几何图形与坐标的综合，勾股定理，等边三角形的性质，掌握点的坐标表示方法是解题的关键．根据等边三角形的性质，特殊角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：等边的两个顶点坐标为，，如图所示， ∴， ∴的中点的坐标是， ∵是等边三角形，过点作，并取点， ∴， ∵，点是的中点， ∴在中，， ∴， ∴点的坐标为， 同理，，即也是满足条件的等边三角形，且点在第三象限， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 15. 直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与x，y轴交点坐标的求法是解题的关键；先求出一次函数与x，y轴交点坐标，即可得出所围三角形的底和高，再根据三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， 当时，， 当时，， 解得：， 直线与x轴、y轴的交点为， 直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5， ， 解得：， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点若的坐标为，设，则的值是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是准确理解题意，发现变换规律，求出字母的值．】求出、、、的坐标，找到规律，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，点的坐标为， 则，，，， 由此可知，每四次一循环， 因为， 所以，， 解得：，， ， 故答案为： 三、解答题（共72分） 17. 解不等式（组）或解方程组 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），二元一次方程组，正确的计算是解题的关键； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）根据代入消元法解二元一次方程组即可求解． （3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 【小问2详解】 解： 由得，③ 将③代入②得， ∴ 解得： 将代入③得，， ∴方程组的解为： 【小问3详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 18. 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点． 求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）． 【答案】 （1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， ∴CE=CD，AC=CB， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD， ∴∠ACE=∠DCB， 在△ACE和△BCD中 ∴△ACE≌△BCD（SAS）． （2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠B=∠BAC=45°， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠B=∠CAE=45°， ∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°， ∴在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2． 【解析】 【分析】（1）由题意知DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，∠ACD是公共角，可知∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD． （2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，从而求出AD2+AE2=DE2． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 19. 如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴ ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴ ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握相关定理内容即可求解． （1）根据，可证，得到，结合平分，平分即可得证； （2）根据可得，结合可得，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴. 20. 如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证：BG=CH． 【答案】 证明：如图，连接BD、CD， ∵D是线段BC垂直平分线上的点， ∴BD=DC， ∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC ∴DG=DH，∠DGB=∠H=90°， ∴Rt△BDG≌Rt△CDH， ∴BG=CH． 【解析】 【分析】连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC；依据角平分线的性质可得DG=DH；依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． 21. 某工程队负责在山脚下修建一座水库的施工任务，该工程队有两种型号的挖掘机，已知台型和台型同时施工小时挖土；台型和台型挖掘机同时施工小时挖土.每台型挖掘机每小时施工费用为元，每台型挖掘机每小时施工费用为元． （1）每台型、型挖掘机每小时分别挖土多少？ （2）若型和型挖掘机共台同时施工，至少完成的挖土量，该工程队施工的最低费用是多少元？ 【答案】（1）每台型挖掘机每小时挖出立方米，每台型挖掘机每小时挖出立方米； （2）施工时用型型都是台时，总费用最低元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，读懂题意，找准数量关系，列出方程组，列出不等式，函数关系式是解题的关键． （）设每台型挖掘机每小时挖出立方米，每台型挖掘机每小时挖出立方米，根据题意可得，然后解方程组即可； （）设型挖掘机要台，总费用为元，根据题意可得，再求出的范围，再利用一次函数增减性求出最低费用． 【小问1详解】 解：设每台型挖掘机每小时挖出立方米，每台型挖掘机每小时挖出立方米， 根据题意可得：， 解得：， 答：每台型挖掘机每小时挖出立方米，每台型挖掘机每小时挖出立方米； 【小问2详解】 解：设型挖掘机要台，总费用为元， 根据题意可得：， ， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，费用最低元， 答：施工时用型型都是台时，总费用最低元． 22. 我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 高中部 85 100 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85；80；85；（2）初中部成绩好些；（3）初中代表队选手成绩较为稳定 【解析】 【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答． （2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可． （3）分别求出初中、高中部的方差比较即可． 【详解】解：（1）初中部5名选手的成绩分别为：75，80，85，85，100， 初中部的平均数为：（分）， 85出现的次数最多，所以初中部5名选手的成绩的众数为85， 高中部5名选手的成绩按从小到大排列为：70，75，80，100，100， 所以高中部5名选手的成绩的中位数为80； 填表如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 85 85 高中部 85 80 100 （2）初中部成绩好些． ∵两个队的平均数都相同，初中部的中位数高， ∴在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些． （3）∵ ， ∴＜， 因此，初中代表队选手成绩较为稳定． 【点睛】此题考查了众数，中位数和平均数以及方差的求解，解题的关键是熟练掌握众数，中位数和平均数以及方差的求法． 23. 已知，D为所在平面上一点，平分，平分． （1）若D点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？直接写出结论，无需证明． （2）若D点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． （3）若D点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． （4）若D点是内一点，如图4所示，判断之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明） 【答案】（1） （2） 结论：， 证明：平分，平分， ，， ， ； （3） 结论：， 证明：平分，平分， ，， ，， ． （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理进行计算即可得出答案； （2）由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，，即可得出，从而得出答案； （3）由角平分线的定义可得：，，再由，即可得出答案． （4）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：结论：， 证明：平分， ， 是的外角，是的外角， ，， ， ； 【小问3详解】 解：略． 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵平分，平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 24. 如图，直线交y轴于点C，与x轴交于点D，直线经过点，交x轴于点M，直线交于点． （1）求出直线的函数表达式； （2）直线上有一点E，且的面积是面积的一半，求出点E的坐标； （3）在x轴上找一点P，使得的值最小，请直接写出这个最小值 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出一次函数的解析式是解题的关键： （1）先求出点的坐标，待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）根据的面积是面积的一半，列出方程求出点的纵坐标，进而求出点E的坐标即可； （3）作点过于轴的对称点，连接，则的最小值即为的长，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，，当时，， ∴或． 【小问3详解】 作点过于轴的对称点，则：， ∴， ∴当在线段上时，最小， ∵， ∴． 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