精品解析：山东省菏泽市定陶区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

山东省菏泽市定陶区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题 注意事项：1．本试题满分120分，考试时间120分钟2．请将答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求）． 1. 如图，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了解某地名考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法正确的是（ ） A. 这名考生是总体的一个样本 B. 名考生是个体 C. 每名考生的数学成绩是个体 D. 样本容量是个 3. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 关于、的二元一次方程的非负整数解有（ ） A. 3组 B. 4组 C. 5组 D. 6组 5. 如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（ ） A. 线段的长是点C到直线的距离 B. 线段的长是点到直线 的距离 C. 、、 三条线段中，PB 最短 D. 线段的长是点P到直线a的距离 6. 对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A. 6 B. 10 C. 18 D. 20 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 平面镜反射光的规律是：射到中面镜上的光线和被反射的光线与平面镜所夹的锐角相等，即如图①中∠α＝∠β；若如图②光线m被平面镜a和b两次反射后，反射出的光线n和入射光线m平行，且∠1＝40°，则∠2等于（　　） A. 40° B. 80° C. 90° D. 100° 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，若列其中一正确方程，则下列说法错误的是（ ） A. 表示的是竿子的长度 B. 列出另一个方程为 C. 表示一半的绳子长度 D. 竿子的长度为10尺 10. 如图是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图，则图中和图中的度数分别是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 为了检测“神舟十六号”飞船的零部件，应该采用的抽查方式是___________（填“普查”或“抽样调查”）． 12. 是关于的二元一次方程，则_______． 13. 已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为___________． 14. 在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 __________． 15. 已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作交直线AC于点E，若，，则的度数为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分）． 16. 解方程组： （1）（加减消元法） （2） 17. 完成下面的推理填空：科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，平分平分． 试说明：． 下面是解答过程，阅读并填空（理由或数学式）． 解：理由如下：（已知）， ________（_______________）． 平分（已知）， _______（角平分线的定义）． 同理，． ______（_______________）， _______（_______________）， （_______________）． 18. 如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为． （1）与平行吗？为什么？ （2）如果，且，求的度数． 19. 为了培养初中生的体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定举办篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动．为了了解学生对这五项球类活动的喜爱情况，随机调查了名学生（每名学生必选且只能选择这五项球类活动中的一种）． 根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）填空：_______，_______，扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形圆心角的度数为_______． （2）补全条形统计图． （3）已知该校共有初中生3000人，请你估计最喜欢排球的约有多少人． 20. 已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 21. 对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． （1）方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； （2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 22. 某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 （1）求A、B两种型号电风扇的销售单价； （2）超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． （3）一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 23. 在综合与实践课上，同学们以“一副三角板和两条平行线”为背景开展数学探究活动”．如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，． 操作发现： （1）如图2，创新小组的同学让和分别落在直线上，且使直角顶点C，D重合，则的度数为 （提示：过点C作的平行线）； 迁移运用： （2）该小组同学将三角板和三角板按如图3所示位置摆放（直角顶点C，D重合），与交于点H，与交于点G，若， ，求的度数（用含，的式子表示）； 拓展创新： （3）缜密小组的同学改变图2中三角板的位置，三角板的位置保持不变（直角顶点C始终与D重合），当边时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省菏泽市定陶区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题 注意事项：1．本试题满分120分，考试时间120分钟2．请将答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求）． 1. 如图，与是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同位角“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫做同位角”，熟记同位角的定义是解题关键．根据同位角的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、与是同位角，则此项符合题意； B、与不是同位角，则此项不符合题意； C、与不是同位角，则此项不符合题意； D、与不是同位角，则此项不符合题意； 故选：A． 2. 为了解某地名考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法正确的是（ ） A. 这名考生是总体的一个样本 B. 名考生是个体 C. 每名考生的数学成绩是个体 D. 样本容量是个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体；个体是总体中的每一个考查的对象；样本是总体中所抽取的一部分个体；样本容量是指样本中个体的数目，熟练掌握总体、个体、样本、样本容量的定义是解题的关键． 【详解】解：A、这名考生的数学成绩是总体的一个样本，原说法错误，不符合题意； B、每名考生的数学成绩是个体，原说法错误，不符合题意； C、每名考生的数学成绩是个体，原说法正确，符合题意； D、样本容量是，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4. 关于、的二元一次方程的非负整数解有（ ） A. 3组 B. 4组 C. 5组 D. 6组 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟知概念、掌握求解的方法是关键．根据二元一次方程的解的定义，结合、均为非负整数解答即可． 【详解】解： ，其中、为非负整数， 那么时，， 时，， 时，， 时，， 共4组， 故选：B． 5. 如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（ ） A. 线段的长是点C到直线的距离 B. 线段的长是点到直线 的距离 C. 、、 三条线段中，PB 最短 D. 线段的长是点P到直线a的距离 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解题的关键． 根据点到直线的距离判断A、B、D选项；根据垂线段最短判断C选项． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故选项A正确，不合题意； B、应是线段的长是点到直线 的距离，而不是，故选项B不正确，符合题意； C、、、 三条线段中，垂线段最短，即最短，选项C正确，不合题意； D、线段的长是点P到直线a的距离，选项D正确，不合题意； 故选：B． 6. 对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A. 6 B. 10 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义的运算和解二元一次方程组，先根据，，得到方程组，求得a和b的值，再根据新定义求解即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 则． 故选：A 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据题意两式相加得，根据，可解得，即而得到答案． 【详解】解： 得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 平面镜反射光的规律是：射到中面镜上的光线和被反射的光线与平面镜所夹的锐角相等，即如图①中∠α＝∠β；若如图②光线m被平面镜a和b两次反射后，反射出的光线n和入射光线m平行，且∠1＝40°，则∠2等于（　　） A. 40° B. 80° C. 90° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】首先结合题目信息可知，∠1=∠3，∠4=∠5，nm；然后根据两直线平行，同旁内角互补，可以得出∠6+∠7=180°，再结合平角的概念，通过等量代换可以得出∠3+∠4=90°；接下来利用三角形内角和定理，进一步可求得∠2的度数． 【详解】解：由题意可知∠3=∠1=40°，∠4=∠5． ∵mn， ∴∠6+∠7=180°， ∵∠1+∠3+∠6=180°， ∴∠6=100°，∠7=80°， ∵∠4+∠7+∠5=180°， ∴∠4=∠5=50°， ∴∠3+∠4=90°， ∵∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2=90°． 故选：C． 【点睛】此题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理，掌握相关性质是解决此题的关键． 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，若列其中一正确方程，则下列说法错误的是（ ） A. 表示的是竿子的长度 B. 列出另一个方程为 C. 表示一半的绳子长度 D. 竿子的长度为10尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意可得表示的是竿子的长度，表示绳子长度，继而得到方程组，再解方程组，依次判断各选项即可． 【详解】解：∵如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，得到， 则表示的是竿子的长度，表示绳子长度，那么表示一半的绳子长度， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∴竿子的长度15尺，绳子长度20尺， 故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， 故选：D． 10. 如图是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图，则图中和图中的度数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，图中，根据平行线的性质得到，图中，由折叠可得，根据平行线的性质可得，根据对顶角可得，根据平行线的性质可得，图中，由折叠可知，得到，再根据平行线的性质即可得到，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∵是长方形纸带， ∴，，，， 图中， ∵， ∴， 图中，由折叠可得： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中，由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 为了检测“神舟十六号”飞船的零部件，应该采用的抽查方式是___________（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】普查 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，适合采用普查． 故答案为：普查． 12. 是关于的二元一次方程，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：且， 解得： 故答案为： 13. 已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据换元法，得到关于的方程组的解为，进行求解即可．本题考查了二元一次方程组的解的定义，学会换元法是解题的关键． 【详解】解:∵关于、的二元一次方程组的解为， ∴ 关于、的二元一次方程组的解为：, ∴， 故答案为． 14. 在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 __________． 【答案】44 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为，，根据图形找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解之得， 小长方形的长、宽分别为，， ， ． 故答案为：44． 15. 已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作交直线AC于点E，若，，则的度数为______． 【答案】104°##104度 【解析】 【分析】根据题意作出相应的图，由平行线的性质可得∠ADE＝∠ABC＝84°，从而可求∠ADC的度数． 【详解】解：如图， ∵DE∥BC，∠ABC＝84°， ∴∠ADE＝∠ABC＝84°， ∵∠CDE＝20°， ∴∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝104°． 故答案为：104°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 三、解答题（本题共8小题，共75分）． 16. 解方程组： （1）（加减消元法） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用加减法解答即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 得，， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：方程组化简得，， ①②得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为． 17. 完成下面的推理填空：科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，平分平分． 试说明：． 下面是解答过程，阅读并填空（理由或数学式）． 解：理由如下：（已知）， ________（_______________）． 平分（已知）， _______（角平分线的定义）． 同理，． ______（_______________）， _______（_______________）， （_______________）． 【答案】 ；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义；先根据平行线的性质和角平分线定义证明，再根据平行线的判定得出，进而根据两直线平行，同旁内角互补得出结论． 【详解】略 18. 如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为． （1）与平行吗？为什么？ （2）如果，且，求的度数． 【答案】（1）CD与EF平行． 理由如下∶CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠CDB＝∠EFB＝90° ∴EFCD （2）105° 【解析】 【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠CDB＝∠EFB＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行可判断EFCD； （2）由EFCD，根据平行线的性质得∠2＝∠BCD，而∠1＝∠2，所以∠1＝∠BCD，根据内错角相等，两直线平行得到DGBC，所以∠ACB＝∠3=105°． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图： EFCD， ∴∠2＝∠BCD 又∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BCD ∴DGBC， ∴∠ACB＝∠3＝105° 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质∶同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 19. 为了培养初中生的体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定举办篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动．为了了解学生对这五项球类活动的喜爱情况，随机调查了名学生（每名学生必选且只能选择这五项球类活动中的一种）． 根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）填空：_______，_______，扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形圆心角的度数为_______． （2）补全条形统计图． （3）已知该校共有初中生3000人，请你估计最喜欢排球的约有多少人． 【答案】（1）； （2） 补全条形统计图如下； （3）最喜欢排球的约有150人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的应用，样本估计总体，从统计图中获取正确信息是解题的关键． （1）根据统计图中的数据计算即可； （2）根据补全条形统计图即可； （3）根据样本估计总体的方法计算即可． 【小问1详解】 解：根据统计图得，， ， 解得， ， 故答案为： 【小问2详解】 解：名 【小问3详解】 解：人， 答：最喜欢排球的约有人． 20. 已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】（1），； （2）； 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值． （1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值 （2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可． 【小问1详解】 解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为 ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为 ∴， 解得； 【小问2详解】 由（1）得方程组为， 解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 21. 对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． （1）方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； （2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】（1）是，理由： ， 由②得：，即满足． ∴方程组的解，具有“邻好关系”； （2）或 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键． （1）由方程组中变形可得，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”； （2）利用加减消元法求得，，得到，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程组， 得：， 解得， 将代入得，， 解得， ∴． ∵方程组的解，具有“邻好关系”， ∴，即， ∴或． 22. 某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 （1）求A、B两种型号电风扇的销售单价； （2）超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． （3）一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 【答案】（1）种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 （2） 不能，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 不符合题意，舍去， 即不能实现利润为1200元的目标． （3） 该公司共有3种购买方案， 方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇； 方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇； 方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇． 【解析】 【分析】（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据近2周的销售情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）不能实现利润为1200元的目标，设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总利润每台的销售利润销售数量，结合销售完、两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合，需为正整数，即可得出不能实现利润为1200元的目标； （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 该公司共有3种购买方案， 方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇； 方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇； 方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 23. 在综合与实践课上，同学们以“一副三角板和两条平行线”为背景开展数学探究活动”．如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，． 操作发现： （1）如图2，创新小组的同学让和分别落在直线上，且使直角顶点C，D重合，则的度数为 （提示：过点C作的平行线）； 迁移运用： （2）该小组同学将三角板和三角板按如图3所示位置摆放（直角顶点C，D重合），与交于点H，与交于点G，若， ，求的度数（用含，的式子表示）； 拓展创新： （3）缜密小组的同学改变图2中三角板的位置，三角板的位置保持不变（直角顶点C始终与D重合），当边时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查的是三角板中角度计算及平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题关键， （1）过点C作，证明，根据平行线的性质求出即可； （2）过点C作，过点F作， 证出，根据平行线的性质求出即可； （3）分两种情况，根据图形利用平行线的性质求出即可； 【详解】解：（1）由题意得：， 过点C作， ， ， ， ； （2）过点C作，过点F作， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： 情况一：如下图： ， ， ， ； 情况一：如下图： ， ， ， ， 综上所述，当边时， 的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $