河南省平顶山市第一中学2024-2025学年高二下学期三月数学周练1

河南省平顶山市第一中学2024-2025高三下学期三月数学周练1 第一部分：试题及分值 一．选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 1．已知集合，集合B＝{y|y＝}，则A∪B＝（　　） A．（0，1] B．（0，3] C．（﹣3，+∞） D．[﹣1，+∞） 2．（5分）若复数的虚部是实部的2倍，则实数a＝（　　） A． B． C． D． 3．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记△AF1F2的内切圆圆心为，△BF1F2的内切圆圆心为，两圆分别切直线于点,则四边形面积的最小值为 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4．已知，则（　　） A．若，则t=4 B．若，则t＝-1 C．的最小值为2 D．当t=2时，在方向上的投影向量为（，） 5. 已知，是函数的零点，则（ ）A. B. C. D. 2． 多选题（本题共1小题，每小题6分，共6分） 6.下列说法正确的是（　　） A．若随机变量服从，则 B.一组数据10、1、12、5、7、9、15、20的下四分位数为6 C．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差 D．已知某五个数的平均数为6，方差为4，现又加入一个数据6，此时这六个数的方差为 三．解答题（本题共2小题，共30分） 7.如图，三棱柱所有棱长都为4,，为与交点． （1）证明： （2）若，求二面角夹角的余弦值． 8.已知圆，圆内一点，点是圆上任意一点，线段的中垂线与交于点，点的轨迹为曲线，若斜率为的直线与曲线交于不同两点A，B，点是线段的中点，点为坐标原点，设射线交椭圆于点，且． （1）求曲线的方程； （2）求的面积的解析式，并计算的最大值. 第二部分：答案解析 1． 选择题（共5小题） 1．已知集合，集合B＝{y|y＝}，则A∪B＝（　　） A．（0，1] B．（0，3] C．（﹣3，+∞） D．[﹣1，+∞） 【答案】C． 【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解． 【解答】解：集合A＝{x|}，B＝（0，+∞）， 则A∪B＝(-3，+∞）． 2．（5分）若复数的虚部是实部的2倍，则实数a＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】利用复数的定义、运算法则直接求解． 【解答】解：复数， ∵复数的虚部是实部的2倍， ∴ 则实数a＝． 3．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记△AF1F2的内切圆圆心为，△BF1F2的内切圆圆心为，两圆分别切直线于点,则四边形面积的最小值为 （ ） A.2 B.4 C.6 D. 8 【答案】D． 【分析】利用双曲线内切圆性质知|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣|AE|﹣|EF2|＝|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|＝2a，|FF2|＝c-a=2， 从而． 【解答】解：不妨设△AF1F2的内切圆，△BF1F2的内切圆，过O1分别作AF1，AF2，F1F2的垂线，垂足分别为D，E，F， 由切线长定理有|AD|＝|AE|，|F1D|＝|F1F|，|F2E|＝|F2F|， 则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣|AE|﹣|EF2|＝|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|＝2a=6， 又因为|F1F2|＝|FF1|+|FF2|＝2c=10，所以|FF2|＝c-a=2， 4．已知，则（　　） A．若，则t=4 B．若，则t＝-1 C．的最小值为2 D．当t=2时，在方向上的投影向量为（，） 【答案】D． 【分析】利用向量平行垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论． 【解答】解：已知， 若，则4＝﹣1×t，解得t=-4，故A错误； 若，则﹣1×2+2t=0，解得t＝1，故B错误； ，故C错误； 在方向上的投影向量为=（，），故D正确． 5. 已知，是函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，，再由诱导公式变形，最后由和（差）角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切. 【解答】因为，是函数的零点， 所以 所以 二．多选题（共1小题） 6.下列说法正确的是（　　） A．若随机变量服从，则 B.一组数据10、1、12、5、7、9、15、20的下四分位数为6 C．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差 D．已知某五个数的平均数为6，方差为4，现又加入一个数据6，此时这六个数的方差为 【答案】ABD 【分析】本题考查了二项分布方差的计算、百分位数的计算、分层抽样方差的计算等 【解答】 A．因为若随机变量服从，所以则,所以A正确 B.这组数据按从小到大的顺序排列为1、5、7、9、10、12、15、20，又所以这组数据的下四分位数为，所以B正确 C．分层抽样的方差公式为：设第一层个样本，第二层个样本，则总体方差为又因为，，所以总体平均数则总体方差，所以C错误 D．因为这五个数的平均数为6，方差为4，所以，即现又加入一个数据6，平均数没有变，此时这六个数的方差为，所以D正确 2． 解答题（共2小题） 7.如图，三棱柱所有棱长都为4,，为与交点． （1）证明： （2）若，求二面角夹角的余弦值． 【分析】 （1）证明异面直线垂直，取线段BC的中点O，证出,平面即可. （2）以为原点建立空间直角坐标系，计算出平面和平面A1CB1的法向量代入公式计算即可. 【解答】（1）证明：取BC中点O，连接因为三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长都为4，∠B1BC＝60°，所以是等边三角形，又O是BC的中点，所以,又因为,平面,， 有，AB＝BB1，所以OE⊥AB1，且BE⊥AB1，BE，BE， OE⊂平面BCD，OE∩BE＝E， 即AB1⊥平面BCD，又AB1⊂平面AB1C1， （2）因为BC∥B1C1，所以B1C1⊥AB1，所以△AB1C1为直角三角形，所以，所以 在△AOB1中， 以O为原点，作Oz⊥平面BCC1B1，以，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，.由，所以所以，， 设平面A1CB1的一个法向量为，则即 即，令，解得， 设平面的法向量为，记二面角的大小为θ，则，即 即令，解得 即二面角的夹角的余弦值为． 8.已知圆，圆内一点，点是圆上任意一点，线段的中垂线与交于点，点的轨迹为曲线，若斜率为的直线与曲线交于不同两点A，B，点是线段的中点，点为坐标原点，设射线交椭圆于点，且． （1）求曲线的方程； （2）求的面积的解析式，并计算的最大值. 【分析】(1)利用平面几何知识可以得出点T符合椭圆定义，即可得出曲线的方程. （2）设直线方程与椭圆方程联立，利用中点坐标公式和韦达定理，写出中点的坐标，利用表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，得到三个变量之间的等量关系，表示出三角形面积，利用三个变量之间关系，转化为关于的函数，结合基本不等式即可求出最值. 【解答】(1)由T在线段MP的中垂线上，知,又由,知点T的轨迹为以点M,N为焦点，长轴长为4的椭圆，设椭圆分方程为从而得，故曲线C的方程为. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程为 由，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0， ∴，即， ∴y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝＝， 又由中点坐标公式，得G（）， 根据，得Q（，）， 将其代入椭圆方程，有+＝1， 化简得：λ2m2＝4k2+1． 且m≠0，λ＞1， ∵|x1﹣x2|＝＝， 在△AOB中，， ∴S（λ）＝＝，λ＞1， 令，t＞0， 则S＝＝＜＝1（当且仅当t＝1时，即时取“＝”） ∴当时，S（λ）＝取得最大值，其最大值为1． 第三部分：考察的能力及知识点 题目1. 知识点：集合的表示、并集的定义。 考察能力：学生对集合运算的理解和应用能力。 题目2. 知识点：复数的定义、复数的运算。 考察能力：学生对复数基本概念的理解和计算能力。 题目3. 知识点：双曲线的几何性质，特别是内切圆的性质和四边形面积的计算。 考察能力：学生对双曲线几何性质的理解和计算能力。 题目4. 知识点：向量的投影、向量的模、向量的夹角。 考察能力：学生对向量运算的理解和应用能力。 题目5. 知识点：函数的零点、三角函数的诱导公式、和角公式。 考察能力：学生对函数零点的理解及三角函数的运算能力。 题目6. 知识点：二项分布的方差、四分位数的计算、分层抽样的方差、数据的方差计算。 考察能力：学生对统计与概率知识的综合应用能力。 题目7. 知识点：三棱柱的几何性质、空间直角坐标系、二面角的计算。 考察能力：学生对立体几何的理解、空间想象能力及计算能力。 题目8. 知识点：椭圆的定义、直线与椭圆的交点、中点坐标公式、韦达定理、三角形面积的计算。 考察能力：学生对解析几何的综合应用能力，包括几何图形的分析、代数运算及最值问题的求解能力。 第4部分 设计意图 这套数学试题的设计意图可以从基础性、创新性、情景化、综合性和科学性五个维度进行分析 1.基础性 试题注重考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况。例如，选择题中的集合运算、复数运算、双曲线的渐近线和离心率、向量的投影等题目，都是高中数学中的核心知识点。这些题目旨在帮助学生巩固基础概念，确保学生能够熟练掌握数学中的基本工具和方法。第1题考查集合的并集运算，第2题考查复数的实部和虚部关系，第3题考查双曲线的几何性质与内切圆，以及面积最小值，第4题考查向量的投影和模的计算，第5题考查函数的零点与三角函数的结合。 2.创新性 试题通过新颖的设问方式和内容，激发学生的创造性思维。例如，第8题通过几何轨迹和椭圆的性质，结合直线与椭圆的交点问题，考查学生的综合分析和创新能力。题目要求学生通过几何关系和代数运算相结合，推导出曲线的方程，并进一步求解面积的最大值，体现了对创新思维的考查。第8题通过几何轨迹的定义，结合椭圆的性质，要求学生推导出曲线的方程，并通过直线与椭圆的交点问题，进一步求解面积的最大值，体现了对创新思维的考查。 3. 情景化 试题通过设置具体的情境，考查学生在实际问题中运用数学知识的能力。例如，第8题通过几何轨迹的定义，结合椭圆的性质，设置了一个几何问题情境，要求学生通过几何关系和代数运算相结合，推导出曲线的方程，并进一步求解面积的最大值。这种设计意图在于让学生在实际问题中运用数学知识，提升解决实际问题的能力。第8题通过几何轨迹的定义，结合椭圆的性质，设置了一个几何问题情境，要求学生通过几何关系和代数运算相结合，推导出曲线的方程，并进一步求解面积的最大值。 4. 综合性 试题注重考查学生对多个知识点或跨学科知识的综合运用能力。例如，第7题考查了三棱柱的几何性质、空间向量的应用以及二面角的计算，涉及几何、向量和空间解析几何等多个知识点。第8题则结合了平面几何、椭圆方程、直线与椭圆的交点问题以及面积的最大值求解，考查了学生对多个知识点的综合运用能力。第7题考查了三棱柱的几何性质、空间向量的应用以及二面角的计算，涉及几何、向量和空间解析几何等多个知识点。第8题结合了平面几何、椭圆方程、直线与椭圆的交点问题以及面积的最大值求解。 5.科学性 试题符合数学学科的逻辑和认知规律，题目设计严谨，考查内容准确。例如，选择题和解答题的设问方式清晰，答案推导过程严谨，避免了歧义或误导。试题的难度分布合理，既有基础题，也有综合性较强的题目，能够全面考查学生的数学能力。选择题和解答题的设问方式清晰，答案推导过程严谨，避免了歧义或误导。试题的难度分布合理，既有基础题，也有综合性较强的题目，能够全面考查学生的数学能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$