精品解析：福建省泉州市安溪一中等校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2025年春季初二年数学学科期中教学质量监测 （考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义：一般的，如果，表示两个整式，并且F中含有字母，那么式子叫做分式，逐一判断即可解答． 【详解】解：、是整式，不是分式，故不符合题意； 、是整式，不是分式，故不符合题意； 是整式，不是分式，故不符合题意； 是分式，故符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．直接利用第二象限内的点：横坐标小于，纵坐标大于，即可得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为，即横坐标小于，纵坐标大于， ∴点在第二象限，故B正确． 故选：B． 3. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】令分母不等于0求解即可． 【详解】由题意得 x-2≠0， ∴x≠2． 故选C． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 4. 肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示计算即可； 【详解】数字0.00000071科学记数法表示为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确分析判断是解题的关键． 5. 在分式中，x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来2倍 B. 扩大到原来的4倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质可把x，y都扩大到原来的2倍代入原式得进行求解． 【详解】解：把x，y都扩大到原来的2倍代入原式得， ， ∴把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的． 故选：D． 【点睛】本题考查分式的性质，理解分式的性质是解题关键． 6. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为，宽为， 根据题意，得， 故选：C 7. 已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小，又因为当时，有最大值，最大值为，可以求出，得到反比例函数的解析式为，从而可知当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小， 在第一象限， 当时，有最大值，最大值为， ， 解得：， 反比例函数的解析式为， 在第三象限， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 当时，函数有最小值．   故选：B ． 8. 已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，先根据两点关于原点对称时，两点表示的数互为相反数，列出分式方程，根据无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，得到分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：无解， 方程去分母，得：， ∵方程无解， ∴， ∴， ∴； 故选C． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项， 当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=(x>0)的图象交与点A(4，2)，直线y=x+b(b>0)与反比例函数y=(x>0)的图象交与点C，与y轴交与点B．记y=(x>0)的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域(不含边界)为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是(　　　) A. ≤b≤2 B. <b≤2 C. 2≤b< D. 2≤b≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可求出反比例函数解析式为．再画出图象，考虑两种极限状态当经过点(1，2)时和当刚经过点(2，3)时，即可得出答案． 【详解】解：∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为． 如图，当经过点(1，2)时， 即时，区域W内有(1，1)，(2，2)，(3，2)三个点， 当直线向上平移时，区域W内出现第四个整点(1，2)，此时满足题意， ∴． 当直线再向上平移，经过点(2，3)时， 即时，区域W内还是四个整点， 继续向上平移，即时，出现第五个整点(2，3)，此时已经不符合意义， ∴． 综上可知． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，一次函数的平移．读懂题意，画出图象，找出两种极限状态是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 当_____，分式的值为零． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分子为零即可求解． 【详解】依题意可得， 解得x=2 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查分式的值为零，解题的关键是熟知分式的值为零时的条件：分子为零，分母不为零． 12. 点A（2，－5）到x轴的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】平面内一点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，据此即可求解． 【详解】解：点A（2，－5）到x轴的距离是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平面内的点到坐标轴的距离和点的坐标的关系．注意：平面内一点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是它的横坐标的绝对值． 13. 将直线向下平移1个单位后得到的直线解析式为__________ 【答案】y=2x-1 【解析】 【分析】平移时k的值不变，只有b的值发生变化，而b值变化的规律是“上加下减”． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，直线y=2x向下平移1个单位，得到直线是：y=2x-1． 故答案为：y=2x-1． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 14. 试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为_______． 【答案】 【解析】 【分析】代数式★为，计算即可． 本题考查了分式的除法，乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为．当时，的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得B点的坐标为，再由，结合图象，即可得到的取值范围． 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴B点的坐标为， ∵， ∴在第一和第三象限，正比例函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴或， 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握函数图象的交点横坐标与不等式的解集的关系，是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点的横坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接．根据旋转性质可知：，，，推出是等边三角形，推出，由，推出当，，共线时，的值最大，此时点在的延长线上，由此即可解决问题 【详解】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接． 根据旋转性质可知： ∴，，， 是等边三角形， ， ， 当，，共线时且在上时，此时点在的延长线上，的值最大， 此时的横坐标为的中点的坐标， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，零指数幂和负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，依据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解，最后检验即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得， 移项、合并同类项得， 当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知y与成反比例函数关系，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键． （1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得； （2）把代入（1）中所得解析式即得． 【小问1详解】 ∵y与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，． 21. 一条公路旁分别分依次有三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，到达目的地村停止运动，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示． （1）A，B两村相距___________km； （2）求甲、乙两人骑自行车的速度． 【答案】（1） （2）甲的速度为，乙的速度为 【解析】 【分析】本题考查了函数图象、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用． （1）当时，由图可知、两村的距离； （2）根据函数图象，得出当时，设甲，乙的速度分别为，，根据得出，进而根据当时，甲到达村，则根据相遇后乙的路程除以时间得出速度，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，由图可知，即、两村相距； 故答案为：． 【小问2详解】 解：当，甲、乙相距， 此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度， 当时，甲到达村， 设甲，乙的速度分别为，， ∴， ∴， ∵乙的速度为， ∴， 答：甲的速度为，乙的速度为． 22. 如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的横坐标与点B的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）y＝x1；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出一次函数解析式； （2）求出一次函数与x轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：（1）把x＝3代入，得y＝4， 故A（3，4）， 把y＝3代入，得x＝4， 故B（4，3）， 把A，B点代入y＝kx+b得：， 解得：， 故直线解析式为：y＝x1； （2）由（1）知：当y＝0时，x＝1， 故C点坐标为：（1，0）， 则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求一次函数解析式、三角形面积求法等知识，正确得出A，B点坐标是解题关键． 23. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 【答案】问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元 问题二：，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价； 问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元； 问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架， ∴购买个B种书架， ∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的， ， 解得：， ∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元， ， 即， ， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架． 24. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； （2）分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； （3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）3，6 （2）真分式，，4 （3）当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 （4）当时，分式取到最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【小问1详解】 解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； 【小问2详解】 解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； 【小问3详解】 解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； 【小问4详解】 解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 25. 我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究． （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 ； （2）类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； （3）拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）的坐标为或 【解析】 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解； （2）过作轴于，先求出直线与坐标轴的交点与的坐标，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标，根据待定系数法求出直线对应的函数表达式，再求出直线与轴的交点坐标即可； （3）过作轴于，交直线于，根据题意，设，，①当在上方时，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，据此列出二元一次方程组，解方程组即可；②当在下方时，同理列出二元一次方程组，解方程组即可． 【小问1详解】 解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ∴，， 即，， ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线对应的函数表达式为，把，代入得， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； 令，得， ∴． 【小问3详解】 解：过作轴于，交直线于， 根据题意，设，， ①当在上方时，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 即， 解得， ∴的坐标为； ②当在下方时，如图： 同理可得， 解得， ∴的坐标为 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季初二年数学学科期中教学质量监测 （考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x＜2 4. 肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在分式中，x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来2倍 B. 扩大到原来的4倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 6. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 8. 已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=(x>0)的图象交与点A(4，2)，直线y=x+b(b>0)与反比例函数y=(x>0)的图象交与点C，与y轴交与点B．记y=(x>0)的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域(不含边界)为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是(　　　) A. ≤b≤2 B. <b≤2 C. 2≤b< D. 2≤b≤ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 当_____，分式的值为零． 12. 点A（2，－5）到x轴的距离是______． 13. 将直线向下平移1个单位后得到的直线解析式为__________ 14. 试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为_______． 15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为．当时，的取值范围是__________． 16. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点的横坐标为_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知y与成反比例函数关系，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求y的值． 21. 一条公路旁分别分依次有三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，到达目的地村停止运动，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示． （1）A，B两村相距___________km； （2）求甲、乙两人骑自行车的速度． 22. 如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的横坐标与点B的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 23. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 24. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； （2）分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； （3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 25. 我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究． （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 ； （2）类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； （3）拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $