2025年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟卷（白卷）

2025年长沙市初中学业水平考试模拟卷 数 学(白卷) 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4.在草稿纸、试题卷上作答无效； 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.5的倒数是 A. 5 B. - 5 C. 2.长沙为中华上古文明的重要发源地，地下遗珍璀璨，“四羊方茑”便出土自中国祝融文化传承之地长沙.它作为中华民族文化瑰宝与重要符号，在文化传承与教育层面发挥着关键作用.如图，是收藏于中国国家博物馆的四羊方尊立体图形，有关其三视图说法正确的是 A.主视图与左视图完全相同 B.主视图与俯视图完全相同 C.左视图与俯视图完全相同 D.三视图各不相同 3.截至2024年年底，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到14.5亿千瓦，首次超过火电装机规模.用科学记数法将数据1450 000 000表示为 B. 1.45×10⁹ 4.下列运算正确的是 5.《哪吒之魔童闹海》作为一部融合中国古代神话与现代动画技术的影片，在全球范围内引发热潮。成为了中国文化输出的一个新范例.不少观众更是选择二劂、三剧.某影院为探究《哪吒之魔童闹海》的观影魅力，从1600名观众中随机抽取50名进行观影次数调查，下列说法正确的是 A.每名观众是个体 B.样本容量是50名观众 C.50名观众是总体的一个样本 D.1 600名观众的观影次数是总体 6.下列各组数中，能构成三角形三边长的是 A. 1,1,2 B. 2,3,6 C. 1,2,2 D. 3,4,7 7.如图是一种常见的吸管杯的截面示意图，已知杯口AB 和杯底CD平行，若∠1=115°,则∠2的度数为 A. 115° B. 100° C. 75° D. 65° 8.在平面直角坐标系中，点A(2，-6)关于x轴的对称点为A'(x，y)， 则x+y的值为 A. - 4 B. 4 C. 8 D. - 8 9.已知一个圆锥的母线长10cm，底面半径是6cm，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为 A. 108° B. 144° C. 180° D. 216° 10. 如图,∠AOB=108°,P是射线OB 上一点.按以下步骤作图:①以点O为圆心，OP长为半径作弧，交OA 于点 Q，连接 PQ，②以点 P 为圆心，PQ长为半径作弧，与PO延长线交于点 M，连接QM，若QM=1，则OP 的长度为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.若式子 在实数范围内有意义，则实数x的最小值为 . 12.为响应“冰雪同梦，亚洲同心”的亚冬会精神，某校组建青年冰球队，旨在通过冰雪运动增强学生的自信心和团队协作能力.以下是该队12名队员的年龄分布(单位：岁)：14，15，16，14,15,17,15,14,16,15,14,15则这支冰球队队员的平均年龄是 岁. 13. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CF是AB边上的中线,D,E分别是AC,BC的中点,若DE=6,则CF 的长为 . 14. 如图,AB 为⊙O 的直径,CD,是⊙O 的弦,CD 交AB 于点 E,连接OD,AD,AC,且∠BOD=2∠BAC;若AC=5,CD=6,则tan∠BAC 的值为 . 15.如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数 的图象上，过点A 作x轴的垂线，垂足为B，点C是x轴上一点(C在B右侧)，连接AC，AC的中点D 恰好在反比例函数图象上，且S△ABC=5,则k= . 16.二进制是一种以2为基数的记数法，通常用0和1来表示，计算机内部的所有数据，包括数字，字符，图像，音频等，都是以二进制的形式存储和处理的.与我们在数学学习中所用十进制数的“逢十进一”不同的是，二进制的进位规则为“逢二进一”.例如：254可分解为 将其转化为二进制数,转化过程为:254÷2=127……0,127÷2=63……1,63÷2=31……1,31÷2=15……1,15÷2=7……1,7÷2=3……1,3÷2=1……1,1÷2=0……1,将所有的余数从右到左排列,得到11111110,所以254转化为二进制数是(11111110)₂,验证:254可分解为 结果正确.按照此种方法，现有四位同学对2025 的二进制转化过程展开讨论： A同学：202 2°,因此二进制数为(111111101001)₂; B同学：分解过程中最大的2的幂是2¹⁰，故二进制共有11位； C同学：分解到2⁴时，剩余部分不足16，因此其系数为0； 万唯中考《黑白卷》助你明确中考新方向 D同学：2025的二进制末三位为001. 其中对2025的二进制转化理解错误的同学是(填写字母代号) . 三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题8分,第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算: 18. 先化简，再求值： 其中x=-1. 19.在天花板上嵌入灯带可以与主灯配合使用，确保整个房间的光线更加均匀，避免部分区域光线不足的问题.如图，在安装之前需要测量安装长度，将平面镜(平面镜大小忽略不计)放置在地面A处，使沿天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的端点C，从A处测得O的仰角为60°，移动平面镜到达点B处，使沿天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的另一端点D，从B处测得O的仰角为45°.已知天花板的高度为4m .(结果精确到0.1m，参考数据： (1)求平面镜从A 处移动到B处的距离； (2)求灯带的安装长度CD. 20.2025年蛇年央视春晚将中国传统文化与现代元素巧妙结合，数字技术赋能舞台呈现，为全球观众奉上了一场兼具时代性、时尚感的精彩演出.其中以下四个节目备受关注： A.《迎福》(综合艺术表演类) B：《世界赠予我的》(歌曲类) C.《画蛇添福》(魔术类) D.《笔走龙蛇》(武术类) 某校学生会随机抽取了若干名学生调查“最喜欢的春晚节目”(每人限选其中一项).将调查问卷整理成表格并绘制成如图所示的不完整条形统计图，请根据所给信息解答以下问题： 节 目 百分比 A.《迎福》(综合艺术表演类) 28% B.《世界赠予我的》(歌曲类) m% C.《画蛇添福》(魔术类) n% D.《笔走龙蛇》(武术类) 10% (1)m= ,n= ; (2)请补全条形统计图； (3)若全校有4000名学生，请估计最喜欢“B.《世界赠予我的》(歌曲类)”节目的学生有多少名· (4)现在小万和小千两名同学选择“最喜欢的春晚节目”，每个节目被选择的可能性相同.两人未提前约定，请用列表或画树状图的方法，求出两人选择同一个节目的概率. 21. 如图,在△ABC中, ,垂足分别为D,E,CE交 BD 于点 F, (1)求证:△ABD≌△FCD; (2)若AD=1,BF=3,求CD的长. 22.《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一篇关于特色小吃店的深度报道.店主给了你一份挑战任务，只有破解数学谜题才能解锁独家数据！ 任务1(密码谜题)： 店主将臭豆腐和糖油粑粑的单价加密成了一道门锁密码.线索如下： 线索卡A：周一用“2份臭豆腐+3份糖油粑粑”解锁了“120元”宝箱； 线索卡B：周二用“5份臭豆腐+1份糖油粑粑”解锁了“170元”宝箱. 你的目标：通过线索卡A 和B，破解两种小吃的单价密码. 任务2(经营策略)： 店主计划优化每日制作计划，需满足以下条件： 1.资源限制：由于人手问题，每天限供臭豆腐和糖油粑粑总量120份. 2.人气保障：店主想提升糖油粑粑销量，每天的糖油粑粑≥30份. 3.营收目标：当日总销售额≥3000元(已知单价来自任务1). 挑战：在满足所有条件的情况下，店主想知道：最多能卖出多少份臭豆腐?此时需搭配多少份糖油粑粑? 23. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点 O,E是AD上一点,连接CE交BD于点F,且DE=DF. (1)求证:CE平分∠ACD; (2)若DE=DF=2,求AB的长及△BCF的面积. 24.我们定义:如图①,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O,⊙P 是△ADO 的内切圆，切点分别记为E，F，G，平行四边形ABCD 的形状随着圆心角∠EPF 的变化而变化，则称⊙P 是平行四边形ABCD的一个“增值圆”.根据该定义，解答下列问题. (1)若 求证；四边形ABCD 是矩形； (2)如图②,若∠EPF=90°,以OB为直径作⊙Q. ①AC是⊙Q 的切线吗?请作出你的判断并给出证明； ②如图③,过点D作⊙Q 的切线,切点为H,直线DH交AC于点M,交BC于点N,若AM=5,CM=3,求 DN的长. 25. 已知两个不同的点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)都在关于x的函数 (a,b,c是常数，a≠0)的图象上. (1)当A,B两点的坐标分别为(1,2),(-3,2)时,求代数式 的值； (2)当A，B两点的坐标满足 求此函数图象与直线y=c-4a的公共点的个数； (3)当a>0时，该函数图象与x轴交于A，B两点，顶点的横坐标为m，直线 恰与该函数图象有三个交点，从左至右依次为E，M，F.请问是否存在实数m(m>1)，使得RF=m·AB?若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由： 65535 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学评分标准 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1~5 CABBD 6~10 CDCDA 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 10 12. 15 13. 6 14. 15. 5 16. A 三、解答题(本大题共9个小题,共72分.) 17. 解:原式 =-6. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (6分) 18.解：原式 ⋯ (4分) 当x=-1时,原式 ………… (6分) 19.解:(1)如解图,过点O 作直线AB的垂线,垂足为 F,在Rt△AFO中,OF=4,∠OAF=60°, 同理， 答：平面镜从A 处移动到B 处的距离约为1.7m；………………………………… (3分) (2)由平面镜反射可得,△OAC,△OBD 均为等腰三角形， 由(1)得 易得,OC=2AF,OD=2BE, 可以通过分别过点A. 点B 作OD 的垂线，构造矩形，由矩形的性质和等腰三角形“三线合一”性质可得. 答:灯带的安装长度 CD 大约为3.4m………………………………… (6分) 20. 解:(1)42,20; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2分) (2)补全条形统计图如解图①；⋯⋯⋯⋯⋯(4分) (3)由(1)得，最喜欢“B.《世界赠予我的》(歌曲类)”节目的学生人数占抽样总人数的42%，4 000×42%=1680(名), ∴估计最喜欢“B.《世界赠予我的》(歌曲类)”节目的学生有1680名; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (6分) (4)画树状图如解图②： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小万和小千两人选择同一个节目的结果有4种， ∴P(两人选择同一个节目 … (8分) 21. (1)证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB, ∴∠DCF+∠A=∠ABD+∠A=90°, ∴∠DCF=∠ABD, 在△ABD和△FCD中, ∴△ABD≌△FCD(ASA); ………………… (4分) (2)解:由(1)知△ABD≌△FCD,∴AD=FD, ∴BD=BF+FD=BF+AD, ∵BD=CD,∴CD=BF+AD=3+1=4. …… (8分) 22.解：任务1：设臭豆腐单价为x元，糖油粑粑单价为y元, 则 解得 答：臭豆腐单价为30元，糖油粑粑单价为20元；………………………………………… (4分) 任务2：设每日卖出臭豆腐m份，则卖出糖油粑粑 (120-m)份,建立不等式组, 解得60≤m≤90, ∵m为整数,∴m最大为90, ∴最多能卖出90份臭豆腐，糖油粑粑为120-m=120-90=30(份). 答：最多能卖出90份臭豆腐，此时搭配30份糖油粑粑. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (9分) 23. (1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠ADB=∠ACD=45°,∠ADC=90°, ∴在 Rt△CDE中,∠ECD=90°-67.5°=22.5°, ∴∠ACE=∠ECD,即CE平分∠ACD; … (3分) (2)解:如解图,过点 E作EG⊥AC于点 G. 由(1)得,CE平分∠ACD, ∵EG⊥AC,ED⊥CD,∴EG=DE=2,∠AGE=90°, ∴在等腰Rt△AEG中, ∵DE=DF,DE∥BC, ∴易得 BC=BF,∴ BF=AB= ∵四边形ABCD是正方形， 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (9分) 24. (1)证明:∵EC=FG,∴∠EPG=∠FPG, ∵⊙P 是△ADO的内切圆,切点分别为E,F,G, ∴∠AEP=∠AGP=∠DFP=∠DGP=90°, ∴∠EPG+∠EAG=180°,∠FPG+∠FDG=180°四边形内角和为360° ∴∠EAG=∠FDG,∴OA=OD, ∴AC=BD,∴四边形ABCD 是矩形; ⋯⋯⋯ (2分) (2)解:①AC 是⊙Q 的切线, ⋯⋯⋯⋯⋯ (3分) 证明如下： 由(1)可得,∠PEO=∠PFO=90°, ∵∠EPF=90°,∴四边形 EPFO 是矩形 ∴∠EOF=90°,即AO⊥DO,∴AC⊥BD, 又∵OB 是⊙Q 的直径, ∴AC 是⊙Q 的切线; ……………………… (4分) ②如解图,过点 B 作 BR∥AC 交直线 DN 于点 R,连接HQ, ∵AM=5,CM=3,∴AC=8, ∵四边形ABCD 是平行四边形，. ∴OM=1, 由①得,AC⊥BD,AC 是⊙Q 的切线,∴∠DBR=90°, ∵DH 也是⊙Q 的切线,∴OM=MH=1,HQ⊥DH, ∴∠DHQ=∠DOM=90°, ∵∠ODM=∠HDQ,∴△DOM∽△DHQ, DR为⊙Q 的切线 ∴ DQ=OD+OQ=3HQ, ∴DM=3OM=3, ∵DO=OB,∴MR=DM=3, ∴BR=2OM=2, ∵OC∥BR, ∴△CMN∽△BRN, ……………………(10分) 更多新考法试题 见“重难题新考法”P28第2题 25. 解:(1)将A(1,2),B(-3,2)代入. 得 则(b=2a,c=2-3a, (2分) 即 又∵ 又∵ 由 得， 此时该函数图象与直线y=c-4a没有公共点；……………… (5分) (3)存在, ∵a>0，∴该函数图象开口向上. ∵直线y=±c(c>0)恰与该函数图象有三个交点， ∴顶点的纵坐标为 两条平行于x轴的直线与抛物线有三个交点，其中一条必过抛物线顶点 又∵顶点的横坐标为m ，故 的两根为x₁,x₂,a>0,c>0, 同理 的两根为x₃，x₄可得， 解得 此时，二次函数解析式为 当a>0时，此时该函数的最小值为 综上所述，存在 使得EF=m·AB,此时该函数的最小值为-a.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (10分) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$