精品解析：天津市部分区2025届高三下学期质量调查(二)数学试题

天津市部分区2025年高三质量调查试卷（二） 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 如果事件，互斥，那么. 如果事件，相互独立，那么. 棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（ ） A. 正相关，相关系数的值为0.8 B. 负相关，相关系数的值为0.8 C. 正相关，相关系数的值为 D. 负相关，相关系数的值为 3. 已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则此函数是（ ） A. 偶函数，且在区间上单调递减 B. 偶函数，且在区间上单调递增 C. 奇函数，且在区间上单调递减 D. 奇函数，且在区间上单调递增 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 化简（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 是的一条对称轴 C. 在区间上单调递减 D. 当时，的取值范围为 9. 如图，在棱长为的正方体中，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①；②三棱锥的体积为定值；③存在一点，使；④若，则面积的最大值为，其中正确结论的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 虚数单位，复数______________. 11. 在展开式中，的系数为______________.（用数字作答） 12. 以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则____________. 13. 将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则_____________；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则_______________. 14. 在中，已知，且，则_______________；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为______________. 15. 若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为________________. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角，，所对边分别为，，.已知，. （1）求的大小； （2）求的值； （3）若，求的值. 17. 如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 19. 从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. （1）求，的值； （2）求； （3）证明：. 20. 已知函数，，且曲线在处的切线的倾斜角为. （1）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值； （2）当时，（，为的导函数），求的取值范围； （3）设函数，若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市部分区2025年高三质量调查试卷（二） 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 如果事件，互斥，那么. 如果事件，相互独立，那么. 棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义计算判断. 【详解】因为集合，， 则. 故选：C. 2. 为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（ ） A. 正相关，相关系数的值为0.8 B. 负相关，相关系数的值为0.8 C. 正相关，相关系数的值为 D. 负相关，相关系数的值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：D． 3. 已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即. 若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出. 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知函数，则此函数是（ ） A. 偶函数，且在区间上单调递减 B. 偶函数，且在区间上单调递增 C. 奇函数，且在区间上单调递减 D. 奇函数，且在区间上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解. 【详解】因函数，定义域为， ，所以是奇函数， 因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减， 故选：C. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过中间值1，和对数函数的单调性即可判断. 【详解】， ， ， 再结合的单调性可知：， 即， 所以， 故选：D 6. 若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过原点的直线与双曲线无公共点，则渐近线斜率小于等于已知直线的斜率，再求双曲线的离心率即可得解. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线斜率为， 因为直线与双曲线无公共点， 所以，， 所以双曲线的离心率范围为. 故选：B. 7. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数与根式的互化和三角函数性质以及对数运算即可求解. 【详解】由题得 . 故选：A 8. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 是的一条对称轴 C. 在区间上单调递减 D. 当时，的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题给条件得到解析式，再根据正弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到新函数，再把所得图象上所有点向右平移个单位长度得到新函数，则. 对于A选项，，的最小正周期是，A错误； 对于B选项，时，，所以不是的一条对称轴，B错误； 对于C选项，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，则在区间上不单调，C错误； 对于D选项，当时，， 时，时， 则，得的取值范围为，D正确. 故选：D. 9. 如图，在棱长为的正方体中，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①；②三棱锥的体积为定值；③存在一点，使；④若，则面积的最大值为，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，连接，由为等边三角形判定；对于②，利用等体积，计算为定值即可；对于③，将进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足；对于④，连接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大. 【详解】对于①，连接，由正方体的性质知为等边三角形， 由于为底面的中心，故为中点，故，故①正确； 对于②，无论点在侧面的边界及其内部运动的任何位置，三棱锥的高始终为正方体的边长，故体积为， 因，故三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③，进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图象判断， 平面，即无论如何也不可能满足平行或重合于， 所以不可能平行于，故③错误； 对于④，取的中点，连接， 在中，，在中，， 又，则，所以， 又，，面，面， 所以面， 又面，所以， 因，平面，平面，所以平面， 又，则平面， 因平面，则平面平面，即在线段上运动， 在中，，则当点到点位置时，最大， 此时面积最大为，所以④正确； 故选：C 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 是虚数单位，复数______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则计算即可得解. 【详解】. 故答案为：. 11. 在的展开式中，的系数为______________.（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式， 令，得， 所以的系数为. 故答案为：40 12. 以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出圆心，再根据圆心与圆上一点的距离为半径写出圆的方程，根据圆截直线的弦长求解即可. 【详解】 抛物线的焦点为，即圆心为， 且圆过点，则，所以圆的方程为. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长为. 故答案为：. 13. 将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则_____________；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则_______________. 【答案】 ①. ②. ##0.25 【解析】 【分析】（1）根据题给条件可判断随机变量服从二项分布，即，再根据即可得解. （2）写出事件包含的事件个数，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】由题意知，正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的概率，且在桌面上连续独立地抛掷次， 为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则随机变量服从二项分布， 即，则； 正四面体与桌面接触面上数字分别为，的包含的事件总个数为， 事件为“为偶数”包含的事件个数为，事件为“，中有偶数，且”包含的事件个数为. 则，，则. 故答案为：；. 14. 在中，已知，且，则_______________；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为______________. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】由题意，求得，结合，根据向量的线性运算法则，求得；再由，得到为直角三角形，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，得到，结合向量的数量积的坐标运算，得到，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 又由，且， 因为，所以， 即，所以； 因为，所以为直角三角形， 以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则, 因为为线段的中点，可得， 又因为点满足，即为（靠近的三等分点），可得， 由为线段上的动点，可得设，其中， 则， 所以， 根据二次函数的性质得，当时，取得最小值，最小值为. 故答案：；. 15. 若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为________________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据、得出的表达式，再通过导函数研究函数的单调性即可利用对称性以及图象变换画出的图象，利用图象交点得出的取值范围. 【详解】因关于直线对称，则，且， 则且，解得， 则， 经检验：对任意恒成立， 即的图象关于直线对称， 则符合题意； 因恰有6个零点， 则与的函数图象有6个交点， 现研究函数的单调性： 因 ， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因， 则根据图象变换以及对称性可画出函数的图象： 由图象可知，，则的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，. （1）求的大小； （2）求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理的推论即可得到的值，进而可求得角A； （2）由正弦定理即可求解a； （3）运用二倍角公式以及两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由，及余弦定理，得， 因为，所以； 小问2详解】 由（1）及，得 根据正弦定理，得，解得； 【小问3详解】 根据正弦定理，得，又，所以， 因为，所以，则， 则， . . 17. 如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（2）得平面的法向量为，再由， 结合点面距的向量计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：连接，交于点，可得是的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 【小问2详解】 解：以为原点，以正方向分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则有， 取，可得，，所以， 又由，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. 【小问3详解】 解：由（2）知：平面的法向量为， 又由， 则， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率即可求得的值，即可求得椭圆的方程. （2）根据题意设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理及点在以线段为直径的圆外则为锐角其余弦值大于，再结合向量的数量积即可求出的范围. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，则，得， 又离心率为，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 由，得， 由，得， 则， 因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角， 因不共线，所以， 故，即， 因 所以 解得， 因为，则得， 解得或， 故实数的取值范围为. 19. 从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. （1）求，的值； （2）求； （3）证明：. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意对恒成立，代入计算可得； （2）依题意可得，，再利用累乘法求出，再结合，计算可得； （3）由（2）知，则，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 由题意知，，是公比为的等比数列， 对恒成立，又，， ，，又，所以； 【小问2详解】 因为对恒成立， 所以，， ， 当时也成立， ， 又， ； 【小问3详解】 由（2）知， 故 ， 当时，； 当时， ； 综上可得. 20. 已知函数，，且曲线在处的切线的倾斜角为. （1）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值； （2）当时，（，为的导函数），求的取值范围； （3）设函数，若，证明：. 【答案】（1）； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意计算得，然后得出解析式，求得导函数，解不等式，得出在区间上单调递增，从而可以得解； （2）构造函数以及导函数，分、两类进行讨论，分别求得的最小值，从而可以得解. （3）通过两次求导得出在上单调递增，然后令，然后证明在上单调递增，得出，结合进而得到，再利用单调性即可得证. 【小问1详解】 ，， 所以，， 令，解得， 所以时，在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，所以实数最大值为； 【小问2详解】 ，令，， 则，， 令，则， ①当时，即时，在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，故， 即恒成立. ②当时，即时，则存在唯一，使得， 且函数在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，即在上单调递减， 所以当时，，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，， 则. 令，则. 令，得在上单调递增； ，得在上单调递减. 则 则，， 当且仅当时取等号. 得在上单调递增，而，， 则不妨设 令，其中. 则.令，. 则， 得在上单调递增， 则，得在上单调递增， 有，即时， 因，则， 又，则，又注意到在上单调递增， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$