专题05 反比例函数的图象（9大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题05 反比例函数的图象 目录 【题型一 用反比例函数描述数量关系】 1 【题型二 反比例函数的概念】 2 【题型三 反比例函数图象上点的坐标特征】 2 【题型四 判断反比例函数的图象】 3 【题型五 由反比例函数的对称性求值】 4 【题型六 由反比例函数的图象求比例系数】 5 【题型七 由反比例系数求图象的面积】 5 【题型八 由图形的面积求比例系数】 6 【题型九 反比例函数图象中的存在性问题】 7 【题型一 用反比例函数描述数量关系】 例题：（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 2．（2023·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【题型二 反比例函数的概念】 例题：（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【题型三 反比例函数图象上点的坐标特征】 例题：（2025·重庆綦江·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·重庆大渡口·二模）下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【题型四 判断反比例函数的图象】 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）函数在平面直角坐标系中的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个长方形的面积为6，长为x，宽为y (1)y与x之间的函数关系式为_________； (2)列表如下： x … 1 2 3 4 6 … y … 6 3 m 1 … 直接写出上面表格中m的值：_________，并在图中画出该函数的图象； (3)在（2）的条件下，若点与点是该图象上的两点，试比较b和c的大小． 【题型五 由反比例函数的对称性求值】 例题：（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 2．（2025·山西忻州·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【题型六 由反比例函数的图象求比例系数】 例题：（22-23九年级上·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【题型七 由反比例系数求图象的面积】 例题：（2025·福建龙岩·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，则的面积为 ． 【题型八 由图形的面积求比例系数】 例题：（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B是反比例函数图象上两点，过点，作轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接．若，则 ． 【变式训练】 1．（2025·陕西渭南·二模）如图，点，分别位于反比例函数与的图象上，连接，则有轴，为轴上一点，连接，，若，则 ． 2．（2025·陕西商洛·二模）如图，在▱中，点在轴正半轴上，若的面积是8，顶点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ． 【题型九 反比例函数图象中的存在性问题】 例题：（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点、．则： （1） ； （2）若y轴正半轴上存在点C（不与原点O重合），且，则点C的坐标是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上． 、 (1)求函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，已知反比例函数和一次函数交于点A，其中一次函数的图象经过、两点. (1)求反比例函数的解析式； (2)若点A的坐标为，在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？ 一、单选题 1．（24-25九年级下·广东汕尾·阶段练习）反比例函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列关系式中，，都不为，则与不是成反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，点在双曲线上，过点作轴，垂足为，线段的垂直平分线交于点，则周长的值是（　　） A．3 B．4 C． D． 二、填空题 6．（2025·安徽·二模）已知点和点都在反比例函数的图象上，则 ． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为 ． 8．（2025·陕西安康·二模）如图，的顶点是原点，斜边轴，且交轴于点，反比例函数的图象过点，反比例函数的图象过点．若，则的值为 ． 9．（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，且）的图象经过点和，则的值是 ． 10．（2025·北京·一模）如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积． 12．（2025·河南开封·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数解析式； (2)过点作轴的垂线，交轴于点C； (3)连接，求的面积． 13．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 14．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 反比例函数的图象 目录 【题型一 用反比例函数描述数量关系】 1 【题型二 反比例函数的概念】 3 【题型三 反比例函数图象上点的坐标特征】 4 【题型四 判断反比例函数的图象】 5 【题型五 由反比例函数的对称性求值】 9 【题型六 由反比例函数的图象求比例系数】 10 【题型七 由反比例系数求图象的面积】 12 【题型八 由图形的面积求比例系数】 14 【题型九 反比例函数图象中的存在性问题】 17 【题型一 用反比例函数描述数量关系】 例题：（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列反比例函数解析式，根据三角形面积公式，即可得到函数解析式． 【详解】解：由三角形面积公式，得：， 所以y与x之间的函数关系式为， 故选A． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【答案】D 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2023·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 【题型二 反比例函数的概念】 例题：（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如（其中且k为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：由得，，故反比例函数有：①③⑥； 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的解析式为，其中，因为函数是反比例函数，从而得到，，解方程和不等式求出的值即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ，， 由， 可得：， 由， 可得：， 的值为． 故选：A ． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 【题型三 反比例函数图象上点的坐标特征】 例题：（2025·重庆綦江·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求得的值． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得， 故选：D． 【变式训练】 1．（2025·重庆大渡口·二模）下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，掌握反比例函数的基本性质是解题关键． 根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上． 【详解】解：A、，所以，点不在函数图象上，故选项A不符合题意； B、，所以，点不在函数图象上，故选项B不符合题意； C、，所以，点在函数图象上，故选项C符合题意； D、，所以，点不在函数图象上，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（2025·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，，代入计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型四 判断反比例函数的图象】 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）函数在平面直角坐标系中的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，即可得解． 【详解】解：∵函数，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数的图象、反比例函数图象，解题关键是读懂图象信息． 根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与轴交于，再根据两个函数中的值相同即可判断正确答案． 【详解】解：一次函数与轴交于， 而选项、选项中一次函数均与轴交于负半轴， 选项、选项错误； 又两个函数中的值相同， 时，一次函数经过一、二、三象限时，反比例函数经过一、三象限； 时，一次函数经过一、二、四象限时，反比例函数经过二、四象限， 选项错误，选项正确． 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个长方形的面积为6，长为x，宽为y (1)y与x之间的函数关系式为_________； (2)列表如下： x … 1 2 3 4 6 … y … 6 3 m 1 … 直接写出上面表格中m的值：_________，并在图中画出该函数的图象； (3)在（2）的条件下，若点与点是该图象上的两点，试比较b和c的大小． 【答案】(1) (2)2，画图见解析 (3) 【分析】本题考查的是列反比例函数解析式，画反比例函数图象，利用反比例函数的性质解决问题； （1）根据长方形的面积公式可得函数解析式； （2）把代入可得，再根据表格信息描点画图即可； （3）由图象可知，y随着x的增大而减小，结合图象进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵一个长方形的面积为6，长为x，宽为y， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴画出函数图象如图所示． （3）解：由图象可知，y随着x的增大而减小． 而点与点是该图象上的两点，， ∴． 【题型五 由反比例函数的对称性求值】 例题：（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，由题意可得点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点坐标为， 故选：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例和反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 2．（2025·山西忻州·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，其中点A的横坐标为4， ∴B点的横坐标为， 故当时，x的取值范围是：或． 故选B． 【题型六 由反比例函数的图象求比例系数】 例题：（22-23九年级上·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键． 根据反比例函数的图象求解即可． 【详解】∵函数图象是双曲线，且在第一，三象限 ∴该函数的表达式可能是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即解答即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， ∵不同的点和在同一个反比例函数的图象上， ∴， 解得（正值舍去）， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，掌握函数图象在哪个象限内与相关参数的关系是解题的关键． 先判断出一次函数与反比例函数的图象在哪个象限内，再判断出k、b的大小即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上． ∴. ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 综上所述， ． 故选C． 【题型七 由反比例系数求图象的面积】 例题：（2025·福建龙岩·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．由于正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，则点与点关于原点对称，所以，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，所以的面积为1． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， 点与点关于原点对称， ， 轴于点， 的面积． 故答案为：1． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由A与点B关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴的面积． 故选：A． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是注意、两点的纵坐标相等．由于轴，可知、两点的纵坐标相等，于是可设点坐标是，点坐标是，于是可得、的值，进而可求，据图可知的高是，再利用面积公式可求其面积． 【详解】解：由于轴，设点坐标是，点坐标是，即纵坐标相同， 那么， 即， ， ， ． 故答案为：． 【题型八 由图形的面积求比例系数】 例题：（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B是反比例函数图象上两点，过点，作轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根据梯形面积求反比例函数的k值，由得出，由反比例函数k的几何意义得出，进而可得出，设，则， 根据梯形面积得出，代入即可得出进而可得出k的值． 【详解】解：∵点A，B是反比例函数图象上两点，， ∴， ， 设，则， 由得， 即 ∴ ∴， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（2025·陕西渭南·二模）如图，点，分别位于反比例函数与的图象上，连接，则有轴，为轴上一点，连接，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数系kk的几何意义，关键是根据三角形的面积求出的值．连接，设与轴交于点，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与轴交于点， ∵轴， ∴轴， ∴ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 2．（2025·陕西商洛·二模）如图，在▱中，点在轴正半轴上，若的面积是8，顶点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何结合，先得，再结合的面积是，故，解得，则，即可求解． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积是8， ∴， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 【题型九 反比例函数图象中的存在性问题】 例题：（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点、．则： （1） ； （2）若y轴正半轴上存在点C（不与原点O重合），且，则点C的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、勾股定理，公式法解一元二次方程； （1）先求出反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，再把的值代入进行计算，即可作答． （2）先运用勾股定理求出，设点的坐标为，结合勾股定理列式得出，再运用公式法解方程，即可作答． 【详解】解：（1）由题意可知，把代入， 得出， ∴反比例函数的解析式为， ∴点B坐标为， 将点A、点B的坐标代入， 得， 解得， ∴； （2）根据题意可得， ∵， ∴以点A为圆心，AB长为半径作圆，与y轴正半轴交于C，D两点， 设点的坐标为 则 即 解得或 ∴点C坐标为或． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上． 、 (1)求函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，勾股定理： （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，则，可得；当时，设，则，，，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，则， ∵， ∴； 当时，设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，已知反比例函数和一次函数交于点A，其中一次函数的图象经过、两点. (1)求反比例函数的解析式； (2)若点A的坐标为，在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？ 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为、、、. 【分析】此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，以及交点坐标求法和等腰三角形的性质等知识，根据图象上点的性质得出，从而得出k的值是解决问题的关键． （1）将点、分别代入一次函数解析式，即可得出关于k的等式，即可得出答案； （2）根据点的坐标，分三种情况：点O、点A和点P为等腰三角形的顶点分别计算解题即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过，两点， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为． （2）存在． ∴点A坐标． ∴， ①当点O为等腰三角形的顶点时，点坐标为或． ②当点A为等腰三角形的顶点时，点P坐标为． ③当点P为等腰三角形的顶点时，点P坐标为． ∴为等腰三角形，点P坐标为或或或． 一、单选题 1．（24-25九年级下·广东汕尾·阶段练习）反比例函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象分布在第二、四象限，即：    故选：C． 2．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列关系式中，，都不为，则与不是成反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查反比例关系的识别，本题的关键是熟练掌握辨识两种相关联的量成反比例的方法．判断两个相关联的量成反比例关系的方法：两个量如果乘积一定，则成反比例，逐个判断即可． 【详解】解：A中，由，得，则与是成反比例关系； B中，由，得，则与是成反比例关系； C中，由，则与是成反比例关系； D中，由，则与是成正比例关系； 故选：D. 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性．掌握反比例函数的图象关于原点成中心对称是解本题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形， ∴反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选A． 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解析式即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：C． 5．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，点在双曲线上，过点作轴，垂足为，线段的垂直平分线交于点，则周长的值是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值，线段垂直平分线的性质，根据题意先求出点A的坐标，进而得到的长，利用垂直平分线性质得到，即可求出周长． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即， ∵轴， ∴，， ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴周长， 故选：B． 二、填空题 6．（2025·安徽·二模）已知点和点都在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，由题意可得，进而即可求解，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为 ． 【答案】10 【分析】设点坐标为，由于线段经过原点，由双曲线的对称性可知，点坐标为，进而可得，，由已知条件及三角形的面积公式可得，即，据此即可求出的值． 【详解】解：设点坐标为， 线段经过原点， 由双曲线的对称性可知，点坐标为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，由反比例函数图象的对称性求点的坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键． 8．（2025·陕西安康·二模）如图，的顶点是原点，斜边轴，且交轴于点，反比例函数的图象过点，反比例函数的图象过点．若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题综合考查了反比例函数的性质．设点坐标，利用反比例函数性质、相似三角形性质以及线段比例关系来求解k的值． 【详解】解：设A点坐标为，A在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴， ∴A点B点纵坐标相同，即， ∵，， 则， ∴B点坐标为， B点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：4． 9．（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，且）的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数，掌握函数值的计算是关键． 根据题意，算出的值即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：0 ． 10．（2025·北京·一模）如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键．由过点作轴于点，利用反比例函数的几何意义表示出三角形与三角形面积，由三角形面积减去三角形面积表示出三角形面积，将已知三角形面积代入求出的值即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点， ，， ，即， 解得：， 故答案为：1． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积． 【答案】 【分析】题目主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 作于，于，根据题意得出，确定，，结合图形求解即可． 【详解】解：作于，于， 双曲线，，且轴于点A，轴于点B，分别交双曲线于D、C两点， 矩形的面积为：， ， ， ， ， ， ， ． 12．（2025·河南开封·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数解析式； (2)过点作轴的垂线，交轴于点C； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析，图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据作垂线的方法作图即可； （3）根据题意运用的面积，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于，两点， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为，， ∵和在直线图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， ∵， ∴，， 由（1）可知，， ∴的面积． 13．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，等腰三角形的性质，反比例函数与几何图形， 对于（1），过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，即可得出答案； 对于（2），先求出反比例函数的关系式，再求出点C的坐标，然后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示，过点B作轴，交x轴于点D， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴点； （2）将点代入， 得， ∴． 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 14．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，等式的性质，从函数的图象获取信息等知识点，运用数形结合思想并从函数的图象获取正确信息是解题的关键． （1）将点代入，即可求出的值，进而可得反比例函数的解析式； （2）将点代入反比例函数的解析式，可得，进而可得，于是可得点坐标，然后通过观察图象即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：将点代入反比例函数的解析式，可得： ， ， ， 观察图象可知，不等式的解集为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$