专题11.3 反比例函数的图象与性质（夯实基础）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.3 反比例函数的图象与性质（夯实基础）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，由题意可得点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键． 解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点坐标为， 故选：． 2．（2022·湖北武汉·一模）已知函数与的图象交于点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将P点坐标代入到两个解析式，可以的到和，将代数式变形，代入即可解决． 解：∵函数与的图象交于点P， ∴，， ∴，整理得， ∴ 故选：B． 【点拨】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，代数式求值，完全平方公式，解题的关键是将代数式进行准确变形，再运用整体思想进行代入求解． 3．（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可. 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为. 所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上， 所以正确的是D， 故选：D. 4．（2025·上海杨浦·二模）如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可． 解：∵反比例函数的图像上有两点、， 当时，有， ∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大， ∴ 得， 故选：D． 5．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由A与点B关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴的面积． 故选：A． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点在反比例函数图象上，过作轴，垂足为，且，的垂直平分线交于，则的周长为（   ） A．7 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，垂直平分线的性质，掌握反比例函数与几何图形面积的计算是关键．根据题意得，，由垂直平分线得到，则的周长为，即可求解． 解：∵点在反比例函数图象上，过作轴， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于， ∴， ∴的周长为， 故选：A ． 7．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像，根据一次函数与反比例函数的图像特点进行判断即可． 解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限．故各选项的图像均不符合； 当时，一次函数的图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限．故选项C的图像符合． 故选：C 8．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知三个点都在一个反比例函数的图象上，其中，则a的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据三个点在一个反比例函数上，可知，再根据，可知，进而得出反比例函数的比例系数，然后根据反比例函数的性质，分和，两种情况进行讨论即可得解． 解：设三个点都在一个反比例函数的图象上， 则：， ∴的符号相反， 又∵， ∴， ∴， ∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∴当时，； 当时，； 综上：或． 故选：D． 【点拨】本题考查比较反比例函数的函数值大小，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 9．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）探究函数的图像发现，可以由的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据以上信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（    ） A．经过点且平行于x轴的直线 B．经过点且平行于x轴的直线 C．经过点且平行于y轴的直线 D．经过点且平行于y轴的直线 【答案】B 【分析】由题意可得平移后的反比例函数不会与直线，相交，分析判断出答案． 解：由题意得函数的图像可以由先向右平移个单位，再向下平移3个单位得到． 由反比例图像性质和平移的定义可得函数不会与直线，相交． 故选B． 【点拨】本题考查了平移的定义和反比例函数、一次函数的图像性质．本题解题的关键在于掌握平移的定义以及反比例函数、一次函数的图像性质．运用了数形结合的数学思维． 10．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征及寻找数据的规律． 根据和求出点，，，，的坐标，再结合反比例函数的性质求出点，，，，的坐标即可求解． 解：∵点，， ，，，，． ∵点，，，，在反比例函数的图象上， ，，，，， ，，， 当时，． 故选：A． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即解答即可． 解：设反比例函数的表达式为， ∵不同的点和在同一个反比例函数的图象上， ∴， 解得（正值舍去）， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限．根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 解：∵反比例函数的图象位第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）点、、都在反比例函数图象上，则、、大小关系 （用“”号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，进而问题可求解． 解：由反比例函数可知：图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点、、都在反比例函数图象上， ∴； 故答案为． 14．（2024·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系． 解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 16．（2024·陕西西安·模拟预测）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点边不动，将正方形向左下方推动变形，得到菱形的对应点分别为，且点在y轴上．若一个反比例函数经过点，则该反比例函数的表达式为 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，反比例函数；根据题意得出，代入反比例函数解析式，即可求解． 解：∵，四边形是正方形， ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵一个反比例函数经过点，设反比例函数解析式为， ∴， ∴解析式为 故答案为：． 17．（2023·湖南益阳·中考真题）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．    【答案】 【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案． 解：将反比例函数的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为： ， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减． 18．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】求出平移后的反比例函数的图象与直线的两个交点坐标，再根据图象求解即可． 解：如图，图象平移后与直线的交点分别记为A、B， 令， 解得：， ∴，， 观察图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象综合、反比例函数图象的平移，解题关键是正确求出平移后的图象与直线的交点． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·河南濮阳·一模）如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）求直线的函数解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式． （2）根据待定系数法求出直线的函数解析式，再利用平移即可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解（1）的关键是将点A的坐标代入，解（2）的关键是求出直线的函数解析式． 解：（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点 ∴， 解得： ∴反比例函数的解析式为 （2）设直线的函数解析式为， 把点代入得，，解得， ∴直线的函数解析式为， 由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线 ∴直线的函数解析式为， 20．（本小题满分8分）（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点． （1）求点的坐标及直线的函数表达式． （2）连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积． 【答案】（1），，直线的函数表达式为；（2）15 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别代入点的坐标到，求出的值，设直线的函数表达式为，代入点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，先求出直线的函数表达式，得出点的坐标，再根据反比例函数的性质求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求解． 解：（1）解：代入到，得， 代入到，得， ，， 设直线的函数表达式为， 代入，得，， 解得：， 直线的函数表达式为． （2）解：过点作轴交于点， 设直线的函数表达式为， 代入得，， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，则， ， ， 反比例函数图象关于原点对称， 点与点关于原点对称， ， ， 的面积为15． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过点． （1）求b和m的值； （2）将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与组成的图形为G．若双曲线与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围． 【答案】（1）；；（2）或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式．数形结合结合思想的运用是解题的关键． （1）把点代入，得，再求出，即可作答． （2）先求出，再作图，然后运用数形结合思想，即可作答． 解：（1）解：∵直线经过点， ∴ ． 又∵直线经过点， ∴ ． （2）解：∵将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D， ∴． 则函数的图象经过点A时，． 则函数的图象经过点D时，，此时双曲线也经过点B， 结合图象可得k值得范围是或． 22．（本小题满分10分）（2025·黑龙江大庆·一模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线l，l与的图像交于点，当线段时，求点的坐标； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可． 解：（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设，则，    把代入可得， 解得（舍）， ; 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时的取值范围； （3）设一次函数与轴交于点，点是轴上不同于点的另一点，且．求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数的综合，掌握待定系数法，图象交点求不等式的解集，一次函数与几何图形面积的计算方法是关键． （1）将代入反比例函数可得，得到反比例函数解析式，再把代入得到点的坐标，分别把点代入一次函数，运用待定系数法即可求解一次函数解析式； （2）根据一次函数与反比例函数交点，结合图象即可得到不等式的解集； （3）根据直线与坐标轴的交点得到，结合三角形面积得到，分类讨论：当点P在点C上方时，；当点P在点C下方时，，根据两点之间距离即可求解． 解：（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得，， ∴， ∴， 将和代入得， ， 解得，， ∴， ∴反比例函数和一次函数的解析式分别为和； （2）解：∵反比例函数和一次函数交于点，点， ∴结合图象可得，当或时，， ∴的取值范围：或； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当点P在点C上方时，， 则； 当点P在点C下方时，， 则； ∴或． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于C，D两点，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）直接写出关于x的不等式的解集． （3）点P是x轴上一点，点Q是平面内任意一点，若点P的横坐标是m． ①将的面积用含m的式子表示出来． ②当四边形是平行四边形，且面积为10时，直接写出此时m的值． 【答案】（1），；（2）或；（3）①；②4或2 【分析】（1）先把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再求出点A坐标，最后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象写出不等式的解集即可； （3）①先求出点C的坐标，然后再表示出的面积即可； ②根据四边形的面积为10，得出的面积为5，求出m的值即可． 解：（1）解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：根据函数图象可知：当或时，反比例函数图象在一次函数的上面， ∴不等式的解集为或． （3）解：①把代入得：， 解得：， ∴点C的坐标为， ∴， ； ②∵四边形为平行四边形，面积为10， ∴， ∴， 解得：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.3 反比例函数的图象与性质（夯实基础）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2022·湖北武汉·一模）已知函数与的图象交于点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 4．（2025·上海杨浦·二模）如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点在反比例函数图象上，过作轴，垂足为，且，的垂直平分线交于，则的周长为（   ） A．7 B．8 C． D． 7．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图像是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知三个点都在一个反比例函数的图象上，其中，则a的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 9．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）探究函数的图像发现，可以由的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据以上信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（    ） A．经过点且平行于x轴的直线 B．经过点且平行于x轴的直线 C．经过点且平行于y轴的直线 D．经过点且平行于y轴的直线 10．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（   ） 2、 A． B． C． D． 3、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 12．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）点、、都在反比例函数图象上，则、、大小关系 （用“”号连接）． 14．（2024·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 15．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 16．（2024·陕西西安·模拟预测）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点边不动，将正方形向左下方推动变形，得到菱形的对应点分别为，且点在y轴上．若一个反比例函数经过点，则该反比例函数的表达式为 ．    17．（2023·湖南益阳·中考真题）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．    18．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·河南濮阳·一模）如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式．（2）求直线的函数解析式． 20．（本小题满分8分）（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点． （1）求点的坐标及直线的函数表达式． （2）连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过点． （1）求b和m的值； （2）将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与组成的图形为G．若双曲线与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围． 22．（本小题满分10分）（2025·黑龙江大庆·一模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线l，l与的图像交于点，当线段时，求点的坐标； 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时的取值范围； （3）设一次函数与轴交于点，点是轴上不同于点的另一点，且．求出点的坐标． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于C，D两点，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）直接写出关于x的不等式的解集． （3）点P是x轴上一点，点Q是平面内任意一点，若点P的横坐标是m． ①将的面积用含m的式子表示出来． ②当四边形是平行四边形，且面积为10时，直接写出此时m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$