专题05 全等三角形的8大模型2大构造法（题型专练）-2025-2026学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题05 全等三角形的8大模型及2大构造方法 目录 【题型一 平移模型】 1 【题型二 翻折（轴对称）模型】 4 【题型三 手拉手模型】 6 【题型四 半角模型】 12 【题型五 一线三等角模型】 20 【题型六 雨伞模型】 26 【题型七 角平分线模型】 28 【题型八 平行线中点模型】 31 【构造方法1 截长补短法】 34 【构造方法2 倍长中线法 】 36 【题型一 平移模型】 例题：（24-25七年级下·云南丽江·期中）如图，将沿方向平移得到，点的对应点分别为点与交于点G，若，，，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟记平移的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据平移可得，得出，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】∵将沿方向平移得到， ， ，， ， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是平移的性质、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质． 由平移性质可得，，则可排除、选项；根据全等三角形性质可证，可排除选项． 【详解】解：根据平移性质可得：，， 、选项说法正确，不符合题意； ， ， 即， 选项说法正确，不符合题意； 如果，则可证， 但题中未给该条件，无法证明， 选项说法错误，符合题意． 故选：． 2．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【题型二 翻折（轴对称）模型】 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的面积等于6，边，现将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处，点在直线上，则线段的长不可能是（   ） A．3 B．4 C．5.5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键．过作于，于，根据折叠得出，根据角平分线性质得出；接下来根据三角形的面积求出，即可得出点到的最短距离． 【详解】解：过作于，于． 将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处， ， ． 的面积等于6，， ， ， ，即点到的最短距离是4， 的长不可能为3． 故选：A 【变式训练】 1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，将沿向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转，且，得到．其中斜边交于点F，直角边分别交于点G，H．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查折叠，旋转，全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 由折叠与旋转的性质可得：，，然后由，即可判定：． 【详解】解：将沿向下翻折后，再绕点按顺时针方向旋转，且，得到， ，． 在和中， ． 【题型三 手拉手模型】 例题：（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，已知点 、、在同一条直线上， 和 均为等边三角形，连结、，与交于点，与交于点． (1)求证： (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）利用等边三角形的性质和“”证明，即可得证； （2）设交与点，根据全等三角形的性质以及三角形的外角的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：、都是等边三角形， ，，， ，即， ， ， （2）解：如图所示，设交与点， ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式训练】 1．（22-23八年级上·湖北孝感·期末）如图，已知等边和等边，连接，，，与交于点D，与交于点O，且,，垂足为点E．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）求出，利用证明，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质可得垂直平分，进而得到，求出，根据等边对等角可得结论； （3）求出，根据含直角三角形的性质可得，同理可得，然后由结合证得即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及含直角三角形的性质等知识，灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键． 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）已知和都是等边三角形．将和按如图①所示的方式摆放，连接，并延长相交于点P（点P与点A重合），则． (1)若将和按如图②所示的方式摆放，连接，相交于点P，连接PA，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？并加以证明． (2)若将和按如图③所示的方式摆放，连接，相交于点P，连接PA，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，得，再证明，得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论； （2）在上截取，连接，证明，得，再证明，得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：． 【详解】（1）解：图②结论： 证明：在上截取，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，   ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：图③结论：， 理由：在上截取，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，   ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型四 半角模型】 例题：（21-22八年级下·山东·期末）（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：，试说明理由． （2）类比引申 如图，四边形中，，，点，分别在边，上，∠EAF=45°，若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有，试说明理由． （3）联想拓展 如图，在△中，，，点，均在边上，且∠DAE=45，若，，求的长． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析；（3） 【分析】把△绕点逆时针旋转至△，可使与重合，证出△≌△，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； 把△绕点逆时针旋转至△，可使与重合，证出△≌△，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； 把△旋转到△的位置，连接，证明△≌△AFG(SAS)，则∠C=∠ABF=45°，△是直角三角形，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】证明：如图中， ， 把△绕点逆时针旋转至△，与重合． ∠ADC=∠B=90° ∠FDG=180°，点F、D、G三点共线， 则，， ∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF 即∠EAF=∠FAG， 在△和△中， ， ∴△≌△， ∴EF=FG=BE+DF； 当，仍有． 理由：， 把△绕点逆时针旋转至△，可使与重合，如图， ，∠B=∠ADG ，， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠FAG=45° ∴∠EAF=∠FAG， ， ∴∠ADC+∠ADG=180° ∴∠FDG=180°，点、、共线． 在△和△中， ∴△≌△AFG(SAS)． ，即：． 故答案为：． 将△绕点旋转到△的位置，连接， 则∠FAB=∠CAE ，， ∴∠BAD+∠CAE=45°． 又∵∠FAB=∠CAE， ∴∠FAB+∠BAD=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°． 则在△和△中， ，∠FAD=∠DAE，， ∴△≌△， ，∠C=∠ABF． ∵∠C+∠ABD=90° ∴∠ABF+∠ABD=90°， ， ∴△是直角三角形． ∴BD2+BF2=DF2， ∴BD2+CE2=DE2， ∵BD=1，， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 2．（21-22九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如，小明将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，如图②．从而证明出了DM+BN=MN． (1)请你按照小明的方法证明：DM+BN=MN； 【类比延伸】 (2)如图③，点N、M分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接数MN，请根据小明的发现给你的启示写出MN、DM、BN之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE， 由旋转的性质可得DM=BE，AM=AE，∠MAE=90°， 证明三点共线，∠EAN=45°，再证明△EAN≌△MAN即可得到结论； （2）将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，由旋转的性质可得 AM= AE，DM= BE，∠MAE=90°，结合正方形的性质同理可得：共线，再证明△EAN≌△MAN，利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD， 将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE， 由旋转的性质可得DM=BE，AM=AE，∠MAE=90°， ∴三点共线， ∵∠MAN=45°， ∴∠EAN=45°， 在△AMN与△AEN中 又∵AN=AN ∴△EAN≌△MAN ∴EN=MN， ∵EB+BN=EN ∴DM+BN=MN （2）DM+MN=BN．理由如下： 将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE， 由旋转的性质可得 AM= AE，DM= BE，∠MAE=90°， 结合正方形的性质同理可得：共线， ∵∠MAN=45°， ∴ ∠EAN =90°-∠MAN = 45°， 在△AMN与△AEN中 又∵AN=AN，   ∴△EAN≌△MAN， ∴EN=MN， ∵BE+EN=BN， ∴DM+MN=BN． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的利用旋转构建全等三角形是解本题的关键． 【题型五 一线三等角模型】 例题：（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②； (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)不成立； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据，．可得，再由，可得，从而得到，即可求证； ②根据，可得，，即可求证； （2）证明方法同（1）可得，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵，．（已知） ∴（垂直的定义）． ∵（已知） ∴， 又∵( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴(同角的余角相等) 在和中， ∵，，， ∴； ②∵， ∴， ，(全等三角形，对应边相等) ∴ ；(等量代换) （2）解：（1）中的结论②不成立．； ∵，．（已知） ∴（垂直的定义）． ∵（已知） ∴， 又∵( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴ (同角的余角相等) 在和中 ∵，，， ∴， ∴， (全等三角形，对应边相等) ∴ (等量代换) 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【答案】模型认知：；模型运用：16； 拓展提升∶ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三直角模型是解答本题的关键． 模型认知：根据证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F，由，且点E为中点得，，证明得，然后根据三角形面积公式求解即可； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，同模型认知证明：，得出，，可求出，证明得，求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】模型认知：进而得到结论：． 故答案为：； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F， ∵， ∵于点E， 且点E为中点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，如图所示： 同模型认知证明：， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【题型六 雨伞模型】 例题：（24-25七年级下·河北保定·期末）如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，于点E，于点F，若，，且，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理）及全等三角形的性质，解题的关键是通过证明两组直角三角形全等，得到线段之间的等量关系，进而推导出的长度． 利用定理证明得到再用定理证明得到结合已知线段长度和等量代换，推导出与、、的关系，计算出的长． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，D是平分线上一点，E是上一点． (1)用直尺和圆规作，其中点F在上；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)小明的作法如下：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则，请问小明的作法是否正确？若正确，请写出证明过程，若不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)小明的作法错误，理由是点F不唯一 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义． （1）以A为圆心，为半径作弧，交于点F，连接即可； （2）小明的作法错误，因为点F不唯一． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求； （2）解：小明的作法错误，理由是点F不唯一，如图所示． 【题型七 角平分线模型】 例题：（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，点D在边上，沿将折叠，使点C与边上的点重合，展开后得到折痕a．折痕a是的 （填“角平分线”、“中线”或“高线”）；在线段，，，中，长度最短的是 ，理由是： ． 【答案】 高线 垂线段最短 【分析】本题考查折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，垂线段最短．熟练掌握上述知识点是解题关键． 由折叠的性质结合三角形角平分线，中线，高的定义可判断；根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∴折痕是的高线． 根据垂线段最短，在线段，，，中，长度最短的是； 故答案为：高线；；垂线段最短． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质， 过D作于F，根据角平分线的性质得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于F， 又是的角平分线，，， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， 故答案为∶6． 2．（24-25七年级下·山西运城·期末）问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 【答案】（1）相等，理由见解析；（2）①3；②6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）①由角平分线的性质可得，求得，因此； ②根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵平分，且，， ∴． （2）①∵是的角平分线，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：3． ②∵为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 解得． 【题型八 平行线中点模型】 例题：（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若四边形的面积为，，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，关键是证明三角形全等． （1）根据可知，再根据点为的中点，可证得，根据全等三角形的性质即可得证； （2）结合全等三角形的性质可知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； （3）根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得，，，再根据，即可求得，据此即可求得． 【详解】（1）证明：， ， 又点为的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ，， 又， 是线段的垂直平分线， ； （3）解：， ， 是线段的垂直平分线， ，， ， 即， 设点到边的距离为， 则， 解得，即点到边的距离为． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，将问题转化为求的最小值是解答本题的关键，由已知条件可证，则有，则四边形FBCD的周长为，由此只需最小即可得到最小的周长，由垂线段最短可知，当，即时，四边形FBCD的周长最短，据此即可解答． 【详解】解：E为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当时最短，此时四边形的周长取最小值， 与之间的距离为5，， 当时，， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：16． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，为边上一点，连接并延长到点，使，过点作，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】此题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质， 根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可知，结合已知（对顶角相等），可证得（），即可根据全等三角形的性质定理证得． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 【构造方法1 截长补短法】 例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的角平分线，，试探究线段之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用“截长法”作辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．在上截取，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，从而得到，然后根据等量代换即可得证． 【详解】解：．理由如下： 如图，在上截取， 为的平分线， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．16 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算．可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 【详解】解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选：B． 【构造方法2 倍长中线法 】 例题：（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，是的中线，延长至点E，使，连接． (1)证明； (2)若，设，求x的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用： （1）由三角形中线的定义得到，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：如图①，延长到点E，使． 在和中， （________）； （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是________； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图②，在中，是的中线，，且，求的长． 【答案】（1）已知，对顶角相等，，；（2）；（3）6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】解：（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； 故答案为：已作，对顶角相等，，； （2）由（1），得，且，， ． 在中，． 又 ． 故答案为：． （3）如图，延长交的延长线于点． ， ． 在和中， ， ． 又且， ， ， ． 故的长是6． 2．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，．理由见解析 (3)，．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理．通过“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的边、角条件集中到同一三角形中，结合三角形三边关系、全等三角形性质及角度推导解决问题．灵活运用全等判定（）和性质，以及角度之间的转化（如补角、内错角等）是解题的关键． （1）利用倍长中线构造全等，将转化为，再用三边关系确定范围； （2）由全等三角形对应边、角相等，推导与的数量和位置关系； （3）再次倍长中线构造全等，结合角度关系证明三角形全等，进而确定与的数量和位置关系． 【详解】（1）解：延长到点M，使，连接， D是中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， 又， ，即． 故答案为：． （2），．理由如下： ， ，， ． （3），．证明如下： 如图，延长到点Q，使得，连接． 同理可证， ，． ， ． 在中，， ， ． ， ， ． 在和中 ， ，． 如图，延长交于点P． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上所述，，． 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是的角平分线上的一点，于点D，，，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（   ） A．2 B．5 C．3 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等、垂线段最短的性质．熟记全等三角形的判定是解题的关键．当时，根据三角形全等可得，再根据全等的性质解答即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知：当时距离最小， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积及全等三角形的判定与性质，能根据全等三角形的判定与性质得出的长是解题的关键． 过点E作的垂线，垂足为M，根据全等三角形的判定与性质得出的长即可解决问题． 【详解】解：过点E作的垂线，垂足为M， ∵，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知中，平分，于点．若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线，延长交于点，易证，得到，根据三角形的中线平分面积推出，进而求出即可，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（   ） A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，通过点的坐标和条件证明，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， , ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据可证明，，根据全等三角形的性质可得，，，进而根据可证明，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴． ∴图中全等三角形有，，，共3对， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·山东·期末）如图，，，且，要使，则可以添加的条件是 ，（写出一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据三角形全等的判定定理，结合图形添加即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故添加条件为， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，，，，，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 证明是解题的关键． 由垂直可得，再证明，然后利用证明得到，，，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 利用即可证明、、，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ； 在和中， ， ； 在和中， ， ； 图中全等三角形有3对， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，为边的中点，，过点作直线交于点，交于点，若，则 cm． 【答案】11 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是证明．先证，得出，那么就可求的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵E是中点， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， 故答案为11． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，和均为直角三角形，，，连接，与交于点，且恰好为的中点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】证明得，，，求出，再推出，可得结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ， 即的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中点的定义，三角形的面积及等积变换．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，．延长至点D，使，连结，以为直角边作等腰三角形，其中，连结．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先由等腰三角形得到 ，再由得到，最后结合即可证明． 【详解】证明：在等腰三角形中， ， ， ． 即． 又， ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明得到，即可得证． 【详解】证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ． ， ． 在和中， ． ． 13．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； (2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据垂线性质得到，证明，得到，进而得出结论； （2）通过证明，得到，结合，得到，从而得出（1）中结论不成立． 【详解】（1）解：于点，于点， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，理由如下： ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ． 则不成立． 14．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，． (1)和的面积相等吗？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)和的面积相等，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，理解三角形中线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形的面积公式是解决问题的关键； （1）连接，过点作于点，根据三角形中线的定义得，再根据三角形面积公式得，，然后比较两个三角形的面积即可得出结论； （2）根据，，可依据“”判定和全等得，再根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：和的面积相等，理由如下： 连接，过点作于点，如图所示： 是的中线， ， ，， ， 即和的面积相等； （2）证明：与平行，理由如下： 在和中， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）（1）如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． （4）【实际应用】如图，海警船甲在指挥中心（处）北偏西的处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的处，并且两艘船到指挥中心的距离相等，可疑船只沿北偏东的方向以海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从点向正东方向以海里/小时的速度追击，两船前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达，处，且两船和指挥中心形成的夹角为，，此时甲、乙两船之间的距离DE为______海里． 【答案】（1） ；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3） ； （4） ． 【分析】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）延长到点，使，连接，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （2）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“SAS”可证，可得，可得，即可求解； （4）由题意得，，，延长到，使，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：（1）． 证明：延长到点，使，连接， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 又， ， ． ． ； （3）如图，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 的周长； （4）由题意得，，， ， 延长到，使， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， （海里），（海里）， （海里）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形的8大模型及2大构造方法 目录 【题型一 平移模型】 1 【题型二 翻折（轴对称）模型】 2 【题型三 手拉手模型】 3 【题型四 半角模型】 4 【题型五 一线三等角模型】 6 【题型六 雨伞模型】 8 【题型七 角平分线模型】 9 【题型八 平行线中点模型】 10 【构造方法1 截长补短法】 11 【构造方法2 倍长中线法 】 11 【题型一 平移模型】 例题：（24-25七年级下·云南丽江·期中）如图，将沿方向平移得到，点的对应点分别为点与交于点G，若，，，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．2 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【题型二 翻折（轴对称）模型】 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的面积等于6，边，现将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处，点在直线上，则线段的长不可能是（   ） A．3 B．4 C．5.5 D．6 【变式训练】 1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，将沿向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转，且，得到．其中斜边交于点F，直角边分别交于点G，H．求证：． 【题型三 手拉手模型】 例题：（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，已知点 、、在同一条直线上， 和 均为等边三角形，连结、，与交于点，与交于点． (1)求证： (2)求的大小． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·湖北孝感·期末）如图，已知等边和等边，连接，，，与交于点D，与交于点O，且,，垂足为点E．求证： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）已知和都是等边三角形．将和按如图①所示的方式摆放，连接，并延长相交于点P（点P与点A重合），则． (1)若将和按如图②所示的方式摆放，连接，相交于点P，连接PA，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？并加以证明． (2)若将和按如图③所示的方式摆放，连接，相交于点P，连接PA，猜想线段，，之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【题型四 半角模型】 例题：（21-22八年级下·山东·期末）（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：，试说明理由． （2）类比引申 如图，四边形中，，，点，分别在边，上，∠EAF=45°，若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有，试说明理由． （3）联想拓展 如图，在△中，，，点，均在边上，且∠DAE=45，若，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 2．（21-22九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如，小明将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，如图②．从而证明出了DM+BN=MN． (1)请你按照小明的方法证明：DM+BN=MN； 【类比延伸】 (2)如图③，点N、M分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接数MN，请根据小明的发现给你的启示写出MN、DM、BN之间的数量关系，并证明． 【题型五 一线三等角模型】 例题：（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②； (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【题型六 雨伞模型】 例题：（24-25七年级下·河北保定·期末）如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，于点E，于点F，若，，且，，求的长． 2．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，D是平分线上一点，E是上一点． (1)用直尺和圆规作，其中点F在上；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)小明的作法如下：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则，请问小明的作法是否正确？若正确，请写出证明过程，若不正确，请说明理由． 【题型七 角平分线模型】 例题：（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，点D在边上，沿将折叠，使点C与边上的点重合，展开后得到折痕a．折痕a是的 （填“角平分线”、“中线”或“高线”）；在线段，，，中，长度最短的是 ，理由是： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ． 2．（24-25七年级下·山西运城·期末）问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 【题型八 平行线中点模型】 例题：（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若四边形的面积为，，求点到边的距离． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，为边上一点，连接并延长到点，使，过点作，交于点，交于点，求证：． 【构造方法1 截长补短法】 例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的角平分线，，试探究线段之间的数量关系． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．16 C．12 D．10 【构造方法2 倍长中线法 】 例题：（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，是的中线，延长至点E，使，连接． (1)证明； (2)若，设，求x的取值范围． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：如图①，延长到点E，使． 在和中， （________）； （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是________； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图②，在中，是的中线，，且，求的长． 2．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是的角平分线上的一点，于点D，，，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（   ） A．2 B．5 C．3 D．无法确定 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知中，平分，于点．若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（   ） A．m B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 二、填空题 6．（24-25七年级下·山东·期末）如图，，，且，要使，则可以添加的条件是 ，（写出一个你认为正确的即可） 7．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，，，，，若，，则的长为 ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，为边的中点，，过点作直线交于点，交于点，若，则 cm． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，和均为直角三角形，，，连接，与交于点，且恰好为的中点，若，，则的面积为 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，．延长至点D，使，连结，以为直角边作等腰三角形，其中，连结．求证：． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 13．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； (2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 14．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，． (1)和的面积相等吗？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 15．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）（1）如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． （4）【实际应用】如图，海警船甲在指挥中心（处）北偏西的处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的处，并且两艘船到指挥中心的距离相等，可疑船只沿北偏东的方向以海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从点向正东方向以海里/小时的速度追击，两船前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达，处，且两船和指挥中心形成的夹角为，，此时甲、乙两船之间的距离DE为______海里． 学科网（北京）股份有限公司 $$