精品解析：江苏省苏州市高新区2025年中考一模考试数学试题

2025届初中毕业暨升学考试模拟试卷 数学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共27小题，满分130分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、考点名称、考场号、座位号、考试号填涂在答题卡相应的位置上； 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 3．考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 四个实数，0，3，中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的余角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 根据统计，2024年我国出生人口约为9540000人，将数据9540000用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的边在x轴上，沿x轴正方向将平移到的位置．点C的坐标为，点的坐标为，则点A平移的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 平面直角坐标系中，点、，若满足，其中k为常数，且，则称点A与点B互为“k阶点”．①点与点互为“阶点”；②对于动点，直线上都存在一点与点A互为“m阶点”；③已知点A，B是抛物线上的两点，且都与点互为“k阶点”，是线段的中点，则或；④若抛物线，在范围内有且只有一个点与点互为“2阶点”，那么．以上说法正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 9. 函数中自变量x的取值范围是__________． 10. 不等式组的最小整数解为________． 11. 将多项式因式分解的结果是________． 12. 某圆锥的母线为4cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_________cm2． 13. 已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是，则这组数据的平均数为___________________． 14. 方胜纹是我国汉族传统寓意纹样（如图①），是由两个菱形压角相叠组成的图案或纹样，其中一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，示意图如图②所示．在图②中任取一点，则该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是______． 15. 某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为_______元． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交x轴于点B，交y轴于点，当时，的值为_______． 三、解答题（本题满分82分，共11小题） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 先化简：，再从0、1、2中选一个合适的值代入求值． 20. 已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE=BF．求证：AC=BD． 21. “表里山河，锦绣山西”．山西具有丰富的旅游资源暑期将至．我省将迎来旅游潮，为提升服务质量，某景点对讲解人员进行考核，成绩分别为7分、8分、9分、10分．如图，这是①号小组10名成员的考核成绩条形统计图和统计表． （1）根据以上信息： ， ，并将条形统计图补充完整． （2）若小组成员平均成绩低于8.3分，则小组成员需要进修学习，通过计算a的值，判断①号小组成员是否需要进修学习． （3）若该景区有100名讲解人员，根据①号小组成员的考核成绩，估计该景区讲解人员本次考核成绩在9分（包含9分）以上的人数． 22. 为了奖励在运动会中表现优秀的同学，老师准备了4张纪念卡片，在4张相同的卡片正面分别写了“拼搏”、“争先”、“友谊”和“团结”，将卡片的背面朝上，并洗匀，由获奖的4名同学随机抽取，不放回，每人只抽取其中一张卡片，可获得卡片对应的纪念徽章． （1）小明先抽，抽到刻有“争先”纪念章的概率是______； （2）求小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的概率． 23. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，） 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图像经过点D，反比例函数的图像也经过点D，且与边交于点E，连接，已知． （1）的值为_______； （2）观察图像，请直接写出满足的x的取值范围_______； （3）连接，在射线上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段的长． 25. 如图，内接于，为边的高，为的直径交于点F，连接． （1）求证：； （2）当直径平分时，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 26. 已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求线段的长度为； （2）若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 27. （1）如图1，已知四边形是平行四边形，且．请用无刻度直尺和圆规按以下作法作图： ①作的角平分线，交于点E； ②以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ③连接． 证明：四边形为菱形； （2）如图2，在的边上取一点E，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G；再在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．且按这一方法所作菱形的个数随着点E位置的变化而变化．若，，边上的高为8，当恰好只能作出一个菱形时，求对应的的长的取值范围； （3）如图3，在中，，，，点D在边上，作菱形，使点E，F在边上，点G在边上，所作菱形面积的最大值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届初中毕业暨升学考试模拟试卷 数学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共27小题，满分130分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、考点名称、考场号、座位号、考试号填涂在答题卡相应的位置上； 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 3．考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 四个实数，0，3，中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，先比较出，再根据正数大于0，0大于负数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴四个数中最大的数是3， 故选：C． 2. 如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图，观察所给平面展开图即可选择． 【详解】解：由题图知，该平面展开图是由一个扇形和一个圆组成， 由圆锥的侧面展开图是扇形，地面是一个圆， 可知该几何体是圆锥． 故选：A． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂乘法除法法则逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 4. 若，则的余角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，度分秒的换算，注意度分秒是进制．根据互为余角的两个角的和等于，列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数为 故选：D ． 5. 根据统计，2024年我国出生人口约为9540000人，将数据9540000用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选B． 6. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，先根据对顶角相等和两直线平行，同位角相等得到，然后利用三角形的外角性质解题即可． 【详解】解：如图，， 由直尺的对边互相平行，可得 ， ， 故选：D． 7. 如图，的边在x轴上，沿x轴正方向将平移到的位置．点C的坐标为，点的坐标为，则点A平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的性质，根据平移的性质得，再结合点C的坐标为，点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵的边在x轴上，沿x轴正方向将平移到的位置．点C的坐标为，点的坐标为， ∴， 故选：C 8. 平面直角坐标系中，点、，若满足，其中k为常数，且，则称点A与点B互为“k阶点”．①点与点互为“阶点”；②对于动点，直线上都存在一点与点A互为“m阶点”；③已知点A，B是抛物线上的两点，且都与点互为“k阶点”，是线段的中点，则或；④若抛物线，在范围内有且只有一个点与点互为“2阶点”，那么．以上说法正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数的交点问题，一次函数的图象性质，根与系数的关系，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解“k阶点”的定义，则，得，即可判断①的说法；对当A在直线外时，以及当点恰好在直线上这两个情况进行分析，即可判断②的说法；根据二次函数与一次函数的交点问题，得出点的横坐标为的解，再结合是线段的中点，故，结合或则或，即可判断③的说法；理解“k阶点”的定义，设这个点所在的直线的解析式为，函数的对称轴为直线，再作图，故二次函数图像在点，之间，不包括端点，故这个点所在的直线的解析式为可取的范围在直线之间（处取不得，处可取得）以及直线处，再分别列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴， ∴， ∴点与点互为“阶点”， 故①的说法是正确的； 当A在直线外时，当时， 则， ∵直线上都存在一点与点A互为“2阶点”， ∴； ∴ 即找不到直线上的点与点A互为“2阶点”， 当点恰好在直线上，则， 即时， ∵直线上都存在一点与点A互为“1阶点”， ∴， ∴， ∴， 即直线上除A点外的所有点与点A互为“1阶点”， 综上，对于动点，直线上不都存在一点与点A互为“m阶点” 故②的说法是不正确的； ∵点A，B都与点互为“k阶点” ∴设直线的解析式为， ∵点A，B是抛物线上的两点， ∴ ∴ 整理得， ∴， 令， ∴， ∴， 解得 ∵的二次项系数为1，大于0， ∴开口向上， 当， 则或 ∵是线段的中点，且点的横坐标为的解， ∴， ∵或 ∴或 则或 则或； 故③的说法是正确的； ∵有一个点与点互为“2阶点”， ∴设这个点所在的直线的解析式为， ∵抛物线 ∴函数的对称轴为直线， ∵抛物线，在范围内有且只有一个点与点互为“2阶点”， ∴把和分别代入， 得，， ∵， 故二次函数图像在点，之间，不包括端点，如图所示： 故这个点所在的直线的解析式为可取的范围在直线之间（处取不得，处可取得）以及直线处， ∴将代入，得，得， ∴将代入，得，得， 即， 当这个点所在的直线的解析式为在直线处时， ∴ ∴ ∴ 则 ∴， 综上：若抛物线，在范围内有且只有一个点与点互为“2阶点”，那么或． 故④的说法是不正确的； 故选：B． 二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 9. 函数中自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≠5 【解析】 【分析】根据分母不等于0求自变量的取值范围. 【详解】根据题意得，5−x≠0, 则x≠5. 故答案为x≠5. 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数解析式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数解析式是分式时，分式的分母不能为0；(3)当函数解析式是二次根式时，被开方数非负． 10. 不等式组的最小整数解为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则，求出不等式组的解集是解题的关键． 求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 最小整数解是0， 故答案为：0． 11. 将多项式因式分解的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．提取公因式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 某圆锥的母线为4cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积=底面周长×母线长计算． 【详解】解：由题意得：圆锥侧面积=cm2． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积及扇形面积表达公式． 13. 已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是，则这组数据的平均数为___________________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了算数平均数，掌握算数平均数的计算方法是解题的关键； 根据平均数的计算方法求出x的值即可求出平均数． 【详解】解：这一组数据1，3，x，5，6的平均数是， ， 解得， 这组数据的平均数为， 故答案为：4． 14. 方胜纹是我国汉族传统寓意纹样（如图①），是由两个菱形压角相叠组成的图案或纹样，其中一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，示意图如图②所示．在图②中任取一点，则该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，几何概率，理解几何概率的意义是解题的关键．由菱形的对称性可知阴影部分面积为一个菱形面积的，即可求出该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率． 【详解】解：由菱形的对称性可知阴影部分面积为一个菱形面积的， ∴在图②中任取一点，该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是， 故答案为：． 15. 某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为_______元． 【答案】 【解析】 【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程． 【详解】解：设定价为x元.根据题意可得， 解之得：， ∵销售量尽可能大 ∴， 故答案为： 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交x轴于点B，交y轴于点，当时，的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，一次函数，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能构造出相似三角形是解题的关键． 连接，证明， 得，设，，可得，得，即可得结论． 【详解】解：连接， ， ， 又， ， ， 设，， ， 得， 同除得， 解得（舍负）．即 故答案为：． 三、解答题（本题满分82分，共11小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先根据算术平方根、零指数幂、绝对值的代数意义以及负整数指数幂运算法则项计算后再合并即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 19. 先化简：，再从0、1、2中选一个合适的值代入求值． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则和分式有意义的条件是解题的关键．根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵且，即且， ∴只有合适， 当时，原式． 20. 已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE=BF．求证：AC=BD． 【答案】 证明:∵AE∥BF, ∴∠A=∠B, ∵ED⊥AB，FC⊥AB， ∴∠FCB=∠EDA 在△ADE和△FCB中: ∴△ADE≌△FCB(AAS), ∴AD=BC, ∵CD=DC, ∴AC=BD. 【解析】 【分析】先证明△ADE≌△FCB,由此得出AD=BC,进而可证AC=BD. 【详解】略 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质,关键在于熟练掌握基础知识. 21. “表里山河，锦绣山西”．山西具有丰富的旅游资源暑期将至．我省将迎来旅游潮，为提升服务质量，某景点对讲解人员进行考核，成绩分别为7分、8分、9分、10分．如图，这是①号小组10名成员的考核成绩条形统计图和统计表． （1）根据以上信息： ， ，并将条形统计图补充完整． （2）若小组成员平均成绩低于8.3分，则小组成员需要进修学习，通过计算a的值，判断①号小组成员是否需要进修学习． （3）若该景区有100名讲解人员，根据①号小组成员的考核成绩，估计该景区讲解人员本次考核成绩在9分（包含9分）以上的人数． 【答案】（1）8.5；9，补全条形统计图如下： （2）①号小组成员不需要进修学习，理由如下： (分)． ， ①号小组成员不需要进修学习． （3）该景区讲解员本次考核成绩在9分（包含9分）以上的人数约为50人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数的概念以及样本估计总体． （1）考核成绩8分的有3人，最中间两个成绩是第5个、6个，分别是8分和9分，即可求得中位数；9分成绩出现的次数最多为4次，故得众数；最后可补充完整条形统计图； （2）计算出①号小组的平均数，与8.3分进行比较即可作出判断； （3）100与考核成绩在9分（包含9分）以上的人数的占比的积，即可得估算出人数． 【小问1详解】 解：考核成绩8分的有（人）， 把10人成绩按低到高排列，最中间两个成绩是第5个、6个，分别是8分和9分，其平均数（分），故；由统计图知，9分成绩出现的次数最多为4次，故得众数； 补全条形统计图如下： 故答案为：8.5；9． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：(人)． 答：该景区讲解员本次考核成绩在9分(包含9分)以上的人数约为50人． 22. 为了奖励在运动会中表现优秀的同学，老师准备了4张纪念卡片，在4张相同的卡片正面分别写了“拼搏”、“争先”、“友谊”和“团结”，将卡片的背面朝上，并洗匀，由获奖的4名同学随机抽取，不放回，每人只抽取其中一张卡片，可获得卡片对应的纪念徽章． （1）小明先抽，抽到刻有“争先”纪念章的概率是______； （2）求小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的定义和树状图法或列表法求概率，正确画出树状图是解题关键． （1）根据概率的计算公式求得抽到刻有“争先”纪念章的概率； （2）利用树状图把所有情况列出，从而求出该事件的概率． 【小问1详解】 解：从4张相同的卡片中，抽到刻有“争先”纪念章的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 设“拼搏”、“争先”、“友谊”和“团结”分别为A，B，C，D，所有等可能结果用树状图表示如下： 即所有等可能结果共有12种，能拼成“团结友谊”有2种， ∴小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的概率． 23. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，） 【答案】11.5尺 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度． 【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长10尺． ∴，即(尺)， ∵， ∴，即(尺)， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为(尺)． 答：春分和秋分时日影长度11.5尺． 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图像经过点D，反比例函数的图像也经过点D，且与边交于点E，连接，已知． （1）的值为_______； （2）观察图像，请直接写出满足的x的取值范围_______； （3）连接，在射线上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）先求出点E坐标即可得到的值； （2）根据图象直接写出不等式解集即可； （3）分点P在线段上和点P在线段的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 在函数中，当时，， ∴点D的坐标为， ∵点D的坐标为且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵正方形的边长为3， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在函数中，当时，， ∴由图象可知的x的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图所示，当点P在线段上时，设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段延长上时，设， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 25. 如图，内接于，为边的高，为的直径交于点F，连接． （1）求证：； （2）当直径平分时，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径，为边的高， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵直径平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，从而可得结论； （2）证明，结合，证明，结合，可得，从而可得结论； （3）求解，，结合，可得，设，则，可得，再进一步利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，等角对等边，熟练的利用相似三角形的性质解题是关键． 26. 已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点 在点左侧），与轴交于点． （1）求线段的长度为； （2）若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点 ，交直线于点 ，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为 ，求的面积（用含 的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，三角形面积，熟练掌握相关知识得是解题的关键． （1）令，则，解得，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得到，得到，即可得到答案； ②由抛物线解析式得到，得到，求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，得到，，，，求出的面积，得到的面积． 【小问1详解】 解：令，则， 解得， ； 【小问2详解】 解：①抛物线的对称轴为直线， ，， 抛物线解析式为， 故答案为：； ②抛物线解析式为， ， 令，则， 解得或， 点 在点左侧， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， ，，，， ， 的面积， 的面积． 27. （1）如图1，已知四边形是平行四边形，且．请用无刻度直尺和圆规按以下作法作图： ①作的角平分线，交于点E； ②以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ③连接 ． 证明：四边形为菱形； （2）如图2，在的边上取一点E，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G；再在上截取，连接 ，则四边形为所求作的菱形．且按这一方法所作菱形的个数随着点E位置的变化而变化．若，，边上的高为8，当恰好只能作出一个菱形时，求对应的的长的取值范围； （3）如图3，在中，，，，点D在边上，作菱形，使点E，F在边上，点G在边上，所作菱形面积的最大值为_______． 【答案】（1）如图所示，即为所求； 证明如下：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的尺规作图方法作出点E，再以A为圆心，长为半径作弧，交于点F即可；由平行四边形的性质和角平分线的定义证明，得到，由作图方法可得，则，据此可证明结论； （2）分图2-1，图2-2和图2-3三种临界情况，分别求出对应情形下的长即可得到答案； （3）过点C作于H，交于M，证明，推出，设，则；同理可得，利用等面积法得到，再证明，得到，则，则有，再由，推出，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图2-1所示，当以点A为圆心，长为半径画弧，该弧与只有一个交点时，由垂线段最短可知，此时， ∵平行四边形中，边上的高为8， ∴此时， 在中，， ∴此时要满足，则点F一定在点G右侧，即此时只能作出一个菱形； 如图2-2所示，当以点A为圆心，长为半径画弧，该弧与有两个交点，且其中一个交点与点B重合时，则， ∵， ∴此时能作出两个菱形； 如图2-3所示，当点F恰好与点C重合时，过点A作于H， 由图2-1可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ∴结合图2-2和图2-2可知当时，只能作一个菱形； 综上所述，当或时，只能作一个菱形； （3）如图所示，过点C作于H，交于M， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴； 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，菱形的面积随m的增大而增大， ∴当时， 菱形的面积最大，最大为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，二次函数的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线和线段的尺规作图，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $