精品解析：广东省广州市番禺区南村中学2024-2025学年七年级下学期期中中测试数学试题

2024学年南村中学七年级第二学期中段测试数学试题 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在实数：、、、、中，无理数的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义．其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．根据无理数就是无限不循环小数即可判定． 【详解】解：、都是有理数， 、、都是无理数，共3个， 故选：B． 2. 如图所示，直线相交，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对顶角、邻补角，根据对顶角相等求出的度数，再根据邻补角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 3. 解方程组 ，较简便的方法是（       ） A. ，消x B. ，消x C. ，消y D. ，消y 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 观察两个方程组可知，消y，，消x，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，消y， ，消x， 故选：C． 4. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可. 【详解】A、∵AB//CD， ∴∠1+∠2=180°．故本选项不符合题意； B、如图，∵AB//CD， ∴∠1=∠3． ∵∠2=∠3， ∴∠1=∠2．故本选项正确． C、∵AB//CD， ∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项不符合题意； D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 5. 计算：（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的计算方法计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 6. 如图所示，点P到直线l的距离是（　　） A. 线段PA的长度 B. 线段PB的长度 C. 线段PC的长度 D. 线段PD的长度 【答案】B 【解析】 【详解】解：由点到直线的距离定义，点P到直线l的距离是线段PB 的长度， 故选：B． 7. 由可以得到用x表示y的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式变形，熟练掌握等式性质是解题的关键．把看作常数，解关于的一元一次方程即可解得． 【详解】解：， 移项得，， 解得：， 故选：B． 8. 如图，港口与轮船相距60海里，在港口处描述轮船的方位正确的是（ ） A. 北偏东的60海里处 B. 北偏东的60海里处 C. 南偏西的60海里处 D. 南偏西的60海里处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据方向角的定义以港口为中心点，来描述港口的方向及距离即可求解． 【详解】解：由图可知在港口处描述轮船的方位为南偏西的60海里处． 故选：C． 9. 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案． 【详解】因为点P在第二象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， 所以点P的坐标为(-4,3)， 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟记点的坐标特征．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 10. 如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若A点关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为(　　) A. 2－1 B. 1＋ C. 2＋ D. 2＋1 【答案】A 【解析】 【详解】设点C所对应的实数是．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解．数轴上两点间的距离等于数轴上表示两个点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数． 设点C所对应的实数是． 则有 故选A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 命题“两直线平行，同位角相等”的题设是_________；结论是_____________. 【答案】 ①. 如果两条平行线被第三条直线所截， ②. 那么同位角相等． 【解析】 【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”改写为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等.” 所以“如果两条平行线被第三条直线所截”是命题的题设部分，“那么同位角相等”是命题的结论部分. 故答案为：如果两条平行线被第三条直线所截；那么同位角相等． 【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键． 12. 如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则______°； 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查平角的性质．由，计算可得结论． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：35． 13. 化简： __________ ； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，无理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先比较和的大小，再根据化简绝对值的方法即可得到答案． 【详解】解；， ， 故答案为：． 14. 如图，在象棋中，“炮”的坐标为，“马”的坐标为，则“兵”的坐标为__________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．先利用“炮”和“马”的坐标，得到原点的位置，建立坐标系，进而得出“兵”的坐标． 【详解】解：“炮”的坐标为，“马”的坐标为， 建立坐标系，如下图所示： 由图可知，“兵”的坐标为， 故答案为：． 15. 小明解方程组，得出的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是解题的关键．先把代入第二个方程求出，即可得到答案． 【详解】解：方程组的解为， 把代入②，得， ， 故答案为：． 16. 某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲2件，乙5件，丙1件，共需31元，若购买甲3件，乙9件，丙1件共需50元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需_____元． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设甲一件x元，乙一件y元，丙一件z元，利用加减消元法求出的结果即可得到答案． 【详解】解：设甲一件x元，乙一件y元，丙一件z元， 由题意得， 得， ∴现在购买甲、乙、丙各一件，共需12元， 故答案为：12． 三、解答题（共72分） 17. 利用直角三角板作图 （1）在图中，过点P分别作垂线段，其中于E，于F； （2）在图中，过点P作直线， 使，交于M． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） 如图所示，直线即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了画垂线和画平行线，熟知画垂线和画平行线的方法是解题的关键． （1）根据画垂线的方法作图即可； （2）根据画平行线的方法画图即可． 【小问1详解】 解；略； 【小问2详解】 解：略． 18. 计算（或求值）： （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求平方根的方法解方程，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）先去绝对值和括号，再计算加减法即可得到答案； （2）先把方程两边开平方等等两个一元一次方程，再解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解； ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得或． 19. 解下列方程组 （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法进行计算，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， 将代入中，得：， 解得：， 将代入中，得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 20. 母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】 解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】略 21. 如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知） （ ） ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ） 又∵（已知） ∴ （ ） ∴（ ）． 【答案】平角的定义；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明，则可证明得到，再证明即可证明． 【详解】证明：∵（已知） （平角的定义） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 22. 如图，在边长为1的小正方形网格中，先将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到三角形． （1）写出点A，B，C的坐标； （2）画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； （3）已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请求出a，b的值； （4）求三角形的面积． 【答案】（1），，； （2） 三角形如图所示， ，，； （3），； （4）6 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点的平移及用割补法求坐标系中图形的面积． （1）根据点的位置，写出点A，B，C的坐标即可； （2）根据平移的性质作图即可，再根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）根据平移的性质求解即可； （4）用割补法计算即可． 【小问1详解】 解：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得：，， 解得：，； 【小问4详解】 解：由题意可得：； 23. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建4个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资11万元，修建3个A种光伏车棚和2个B种光伏车棚共需投资12万元． （1）求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若该社区拟修建m个A种光伏车棚和n个B种光伏车棚，当总投资金额为17万元时，求的最大值． 【答案】（1）每个A种光伏车棚需投资2万元，每个B种光伏车棚需投资3万元； （2）8． 【解析】 【分析】（）设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元，根据题意列出方程组，然后求解即可； （）根据题意得，求出整数解，然后求出最大值即可； 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的整数解，解题的关键熟练掌握相关知识的应用． 【小问1详解】 解：设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元， 根据题意，得， 解得， 答：每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 因为，均为非负整数， 所以或或， 所以的最大值为． 24. 探索下面不同的情境，回答问题： （1）【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； （2）【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； （3）【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 【答案】（1）解：小刚的证明如下：如图2，过点P作， ∵， ∴， ∴ ∴ 即； （2）证明：∵∴ 又∵ ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）小刚的证明：过点P作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点M，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【小问1详解】 小红的证明如下： 如图3，延长交于点M， ∵， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵平分，， ， 设，则，， ， ∴， 解得， ； 设， ∵平分， ， ∵， ， ∵在(2)的条件下， 同理可得，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外交的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年南村中学七年级第二学期中段测试数学试题 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在实数：、、、、中，无理数的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 如图所示，直线相交，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 解方程组 ，较简便的方法是（       ） A. ，消x B. ，消x C. ，消y D. ，消y 4. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算：（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图所示，点P到直线l的距离是（　　） A. 线段PA的长度 B. 线段PB的长度 C. 线段PC的长度 D. 线段PD的长度 7. 由可以得到用x表示y的式子为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，港口与轮船相距60海里，在港口处描述轮船的方位正确的是（ ） A. 北偏东的60海里处 B. 北偏东的60海里处 C. 南偏西的60海里处 D. 南偏西的60海里处 9. 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若A点关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为(　　) A. 2－1 B. 1＋ C. 2＋ D. 2＋1 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 命题“两直线平行，同位角相等”的题设是_________；结论是_____________. 12. 如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则______°； 13. 化简： __________ ； 14. 如图，在象棋中，“炮”的坐标为，“马”的坐标为，则“兵”的坐标为__________； 15. 小明解方程组，得出的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则________； 16. 某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲2件，乙5件，丙1件，共需31元，若购买甲3件，乙9件，丙1件共需50元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需_____元． 三、解答题（共72分） 17. 利用直角三角板作图 （1）在图中，过点P分别作垂线段，其中于E，于F； （2）在图中，过点P作直线， 使，交于M． 18. 计算（或求值）： （1） （2） 19. 解下列方程组 （1）； （2） 20. 母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 21. 如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知） （ ） ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ） 又∵（已知） ∴ （ ） ∴（ ）． 22. 如图，在边长为1的小正方形网格中，先将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到三角形． （1）写出点A，B，C的坐标； （2）画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； （3）已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请求出a，b的值； （4）求三角形的面积． 23. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建4个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资11万元，修建3个A种光伏车棚和2个B种光伏车棚共需投资12万元． （1）求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若该社区拟修建m个A种光伏车棚和n个B种光伏车棚，当总投资金额为17万元时，求的最大值． 24. 探索下面不同的情境，回答问题： （1）【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； （2）【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； （3）【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $