2025年北京市中考数学模拟训练

2025年北京市中考数学模拟训练 一、选择题： 1.不久前，记者从中国信息通信研究院主办的第二届中国县城工业经济发展论坛上获悉，仁怀市荣列年中国工业百强县市第名，截止月底，我市万以上规模工业总产值完成元，同比增长，将用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率精确到大约是(    ) A. B. C. D. 4.如图，是的平分线，是的平分线，若，，那么等于(    ) A. B. C. D. 5.如图，点，，，都在半径为的上，若，，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 6.下列关于的一元二次方程没有实数根的是(    ) A. B. C. D. 7.下列说法：了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查；若，则的补角为；若一个正边形的每个内角为，则正边形的所有对角线的条数是；等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为；正确的个数是(    ) A. B. C. D. 8.对于问题：证明不等式，甲、乙两名同学的作业如下： 甲：根据一个数的平方是非负数可知， ， ． 乙：如图，两个正方形的边长分别为、，如图，先将边长为的正方形沿虚线部分分别剪成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，若再将Ⅰ、Ⅱ和边长为的正方形拼接成如图所示的图形，可知此时图的面积为，其面积小于或等于原来两个正方形的面积和，故不等式成立． 则对于两人的作业，下列说法正确的是(    ) A. 甲、乙都对 B. 甲对，乙不对 C. 甲不对，乙对 D. 甲、乙都不对 二、填空题： 9.一个口袋中有红球、白球共个，这些球除色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个白球． 10.因式分解：______． 11.已知关于的方程的解是负值，则的取值范围是______． 12.如图，点位于第一象限内，且在反比例函数为常数的图象上，轴于点，的面积为，则 ______． 13.已知：是的中线，是的三等分点，与相交于点，则：为______． 14.如图，是的直径，点在上，且，，，垂足为，则的长为______． 15.原价元的衬衣打九折后售价为              元。 16.写成分式为______，且当 ______时分式有意义． 三、计算题： 17.计算：； 解方程：． 四、解答题： 18.先化简再求值：，其中． 19.已知直线：和直线与轴分别相交于，两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． 求点的坐标及直线的函数解析式； 求的面积． 20.已知二次函数． 写出此函数图象的开口方向和顶点坐标； 当随增大而减小时，写出的取值范围； 当时，求出的取值范围． 21.解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． Ⅰ解不等式，得______； Ⅱ解不等式，得______； Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来； Ⅳ原不等式组的解集为______． 22.如图是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上请在下面的网格图中画出种不同的设计图形 23.一个两位数的个位上的数是，十位上的数是． 列式表示这个两位数； 将这个两位数与它的倍的和表示出来，这个和是的倍数吗？为什么？ 当时，若将与的位置对调，得到的新两位数比原数大，求此时这个两位数． 24.重庆一中是一所由“棋圣”聂卫平、古力担任教练的“全国围棋特色学校”为了让更多的学生受益于围棋教育，学校开展了一场有关围棋的知识竞赛现从该校七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩单位：分，并对数据进行整理，描述和分析满分分，得分用表示，共分成四组：；；；，其中分数不低于分为优秀，下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，． 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： 在上述图表中： ______， ______， ______； 根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握的围棋知识较好？请说明理由写出一条理由即可； 该校七、八年级共有人参加了此次围棋知识竞赛活动请估计这两个年级学生参加围棋知识竞赛成绩被评为优秀的总人数． 25.使用制冷仪可以匀速降低海鲜的温度，厂家将到货的海鲜分为相同的两部分，用制冷功率不同的，两种制冷仪分别对两部分海鲜制冷，温度与所用时间的关系如图所示： 制冷仪每小时使海鲜降低______； 将海鲜制冷到时，采用两种制冷仪制冷所花时间相差______小时； 为减少两部分海鲜温度达标所需时间的差异，厂家在开始制冷小时后对调了制冷仪，请直接写出两批海鲜温度达到所需时间相差多少小时？请在图中画出示意图，不必写出计算过程． 26.如图，四边形内接于，对角线、交于点且为直径，延长、交于点，连接，若，请回答下列问题： 求证：∽； 若，求的值； 设，与四边形的面积之比为，请求出关于的函数关系式． 27.如图，在中，的外角平分线交的延长线于点． 线段的垂直平分线交的延长线于点，连接，． 利用尺规作图补全图形，不写作法，保留痕迹； 求证：； 如图，若是线段上异于，的任意一点，判断与的大小，并予以证明． 28.如图，四边形中，，． 如图，若对角线平分，求的大小； 如图，，平分交于点与点不重合，平分交于点． 证明：； 如图，连接，，若，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：将用科学记数法表示为：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 2.【答案】  【解析】解：图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C.图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意； D.图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 故选：． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义． 3.【答案】  【解析】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率大约是． 故选：． 在同样条件下，大量反复试验时，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的频率都在左右，从而得出该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 4.【答案】  【解析】解：是的平分线，是的平分线 ， 又， ，， 那么 ． 故选B． 利用角平分线的性质和角与角的和差关系计算即可． 本题考查角与角之间的运算和角平分线的知识点，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解． 5.【答案】  【解析】解：交于，如图， ， ，， ， 在中，， ， ． 故选：． 交于，如图，先根据垂径定理得到，，再根据圆周角定理得到，然后在中利用含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 6.【答案】  【解析】【分析】 逐一分析四个选项中一元二次方程根的判别式的正负，再结合“当时，方程无实数根”即可得出结论． 本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程无实数根”是解题的关键． 【解答】 A、在方程中，， 符合题意； B、在方程中，， 不符合题意； C、在方程中，， 不符合题意； D、在方程中，， 不符合题意． 故选A． 7.【答案】  【解析】解：了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查，故错误，不符合题意； 若，则的补角为，故错误，不符合题意； 一个正边形的每个内角为， ， 解得：， 这个正边形的对角线的条数是：条，正确，符合题意； 当为腰长时，将代入，得：， 解得：， 当时，原方程为， 解得：，， ，， 符合题意； 当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 当时，原方程为， 解得：， ，， 符合题意． 的值为或，故错误； 正确的个数是， 故选：． 根据根的判别式，全面调查和抽样调查的概念，补角的定义，多边形的内角和外角的定义判断即可． 本题考查了根的判别式，全面调查和抽样调查，补角，多边形的内角和外角，熟练掌握全面调查和抽样调查的概念，补角的定义，多边形的内角和外角的定义是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了完全平方公式、不等式的性质、正方形、矩形的面积公式．看懂图图的面积关系是解决本题的关键． 甲的证明利用了完全平方公式和不等式的性质进行推理，需对推理的合理性进行判断；乙是利用面积的切割、拼接的办法进行了推理证明，其对错需根据图形、面积是否相等进行判断．  【解答】解：甲的证明利用了完全平方公式和不等式的性质，证明是正确的； 乙的证明：图：， 图的面积， 因为， 所以 所以． 故乙的证明也是正确的． 故选A． 9.【答案】  【解析】解：由题意可得，红球的概率为则白球的概率为， 这个口袋中白球的个数：个， 故答案为． 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 本题考查了用样本估计总体，正确理解概率的意义是解题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，再利用公式法分解． 先提取公因式，再利用平方差公式分解可得． 【解答】 解：原式， 故答案为：． 11.【答案】且  【解析】解：方程， 去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为负值，得到，且， 解得：且， 故答案为：且 表示出分式方程的解，由分式方程的解为负值，确定出的范围即可． 此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：设点的坐标为， ，， ， ， 即， 故答案为：． 设点的坐标为，根据三角形的面积和反比例函数的几何意义求出的值． 本题考查反比例函数系数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质． 13.【答案】：  【解析】解：过作交于， 是的中点， ， 又， ：：：：． 故答案为：：． 要求：的比，需要添加平行线寻找与之相等的比． 本题考查三角形中位线的性质，考查平行线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 14.【答案】  【解析】【分析】 先根据圆周角定理，由是的直径得到，再利用勾股定理计算出，由于，根据垂径定理得到，则可判断为的中位线，于是根据三角形中位线定理易得． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和三角形中位线定理． 【解答】 解：是的直径， ， 在中，，， ， ， ， 为的中位线， ． 故答案为． 15.【答案】．  【解析】元， 16.【答案】；  【解析】解：写成分式为， 时，分式有意义， 解得：， 故答案为：；． 根据分式定义可得：写成分式为，再根据分式有意义的条件可得，再解即可． 此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 17.【答案】解：原式 ； ， ， 或， ，．  【解析】根据负整数指数幂、零指数幂的定义、特殊角的三角函数、二次根式的运算法则化简即可． 利用因式分解法解方程即可． 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键；也考查了分解因式法解一元二次方程． 18.【答案】解：原式 ， ， 原式．  【解析】根据分式的减法和除法进行运算，再利用完全平方公式进行因式分解，再化简式子，然后将化简后代入计算，即可解答． 本题考查的是分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19.【答案】解：令，则， 解得， ， ， ， 设直线的函数解析式为， ， ， 解得， 直线的函数解析式为； ，， ， 由题意得， 解得， ．  【解析】先求出点坐标，再由得出点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可； 先根据两点的坐标求出的长，求出点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论． 本题考查的是两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，熟知以上知识是解题的关键． 20.【答案】解：， 图象开口向向下； ， 顶点坐标是； 对称轴，图象开口向选，随增大而减小 的取值范围为； 抛物线的对称轴，满足， 此时的最大值为， 当时，；当时，， 当时，的取值范围是．  【解析】根据的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标； 根据二次函数的增减性，当时，在对称轴的右侧，随的增大而减小； 因为顶点坐标在的范围内，开口向下，所以最的大值为；当时，；当时，，即可确定函数值的范围． 此题考查了二次函数的性质，考查了通过配方法求顶点式，求顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了二次函数的增减性． 21.【答案】      【解析】解：解不等式，得， 解不等式，得， 把不等式和的解集在数轴上表示出来： ； 原不等式组的解集为， 故答案为：，，． 先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 22.【答案】解：如图，四边形即为所求．   【解析】根据平行四边形的判定画出图形即可． 本题考查作图复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型． 23.【答案】解：根据题意得，两位数； 这个两位数与它的倍的和是的倍数．理由如下： 依题意得，． ， 这个两位数与它的倍的和是的倍数． 当时， 原来的两位数是：，对调位置后的两位数是， 根据题意可知，，解得：， 原来两位数是，新两位数为．  【解析】两位数十位数字个位数字，根据此关系可列出代数式． 利用中的两位数乘以，再求和，列出代数式，看一下该代数式能否被整除． 当时，分别表示这个两位数和位置对调后的两位数，根据“新两位数比原数大”，建立方程求解即可． 本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 24.【答案】，，； 七年级学生掌握的围棋知识较好， 理由：因为七、八年级学生成绩的平均数相等，而七年级学生成绩的中位数大于八年级， 所以七年级学生围棋的知识竞赛成绩的高分人数多于八年级， 所以七年级学生掌握的围棋知识较好； 人， 答：估计这两个年级学生参加围棋知识竞赛成绩被评为优秀的总人数约为人．  【解析】解：八年级学生成绩在组的人数所占百分比为， 所以，即， 八年级学生成绩在、组的人数为人， 所以八年级学生成绩从小到大排列中第、个数据分别为、， 所以其中位数， 七年级学生成绩中分出现次数最多， 所以其众数， 故答案为：、、； 七年级学生掌握的围棋知识较好， 理由：因为七、八年级学生成绩的平均数相等，而七年级学生成绩的中位数大于八年级， 所以七年级学生围棋的知识竞赛成绩的高分人数多于八年级， 所以七年级学生掌握的围棋知识较好； 人， 答：估计这两个年级学生参加围棋知识竞赛成绩被评为优秀的总人数约为人． 根据众数、中位数及百分比之和为求解即可； 根据中位数的意义求解即可； 总人数乘以样本中、组人数和所占比例即可． 本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是正确解答的关键． 25.【答案】    【解析】解：制冷仪每小时使海鲜降低：， 故答案为：； 小时， 制冷仪每小时使海鲜降低， 小时， 小时， 故答案为：； 如图： 小时． 根据速度等于温度的变化量除以时间求解； 求出制冷仪的变化速度，再求两个的差； 根据变化量画出图象，根据图象求解． 本题考查了函数的图象，数形结合思想是解题的关键． 26.【答案】证明：， ， 又， ∽； 解：设，，则，， 由∽且， ， ， 同时可得和都是等腰三角形， ， ， 又， ， ， ； 解：由知， ， 则，， 则， ， ，， ∽， ， ，， ∽， ， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 27.【答案】解：如图所示， 证明：在上截取设交于． 平分， ， ， ，， ≌， ，， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ； 如图中，在上截取． 同法可证≌， ， ，， ．  【解析】作出线段的垂直平分线即可； 在上截取设交于由≌，推出，，由点在线段的垂直平分线上，推出，推出，推出，由，可得； 如图中，在上截取可得≌解决问题； 本题考查作图复制作图、三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28.【答案】解：如图，过点作，交延长线于点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ， 是的角平分线，，， ， 在和中， ， ≌， ， ； 证明：在四边形中，， ， ， ， ， ， ； 解：，， ，垂直平分， ， ， 平分， ， 由可知，， ， ， ，， ，， 设，则， ， ， 解得：， ，， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ， 即的值为．  【解析】【分析】 过点作，交延长线于点，过点作于点，证四边形是矩形，则，再证≌，得，即可得出结论； 证，则，再由直角三角形的性质得，则，即可得出结论； 由线段垂直平分线的性质得，则，再由平行线的性质得，设，则，求出，则，，设，然后由含角的直角三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，则，最后证∽，即可解决问题． 本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、四边形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$