2026年九年级中考数学二轮重难点二次函数的综合应用专题复习

**基本信息** 聚焦二次函数综合应用，通过基础巩固、中档提升、难题拓展三层设计，构建从单一知识点到复杂情境的递进路径，适配二轮专题复习，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数解析式求解、图像与性质|直接应用待定系数法，如第1(1)题求抛物线解析式，强化概念理解| |中档提升|二次函数与几何综合（等腰/直角三角形存在性）|结合动点与图形变换，如第3(2)题探究等腰三角形，提升空间观念| |难题拓展|动态几何与多知识点融合（外心、相似、最值）|设置开放探究情境，如第13题外心问题，培养创新意识与推理能力|

2026年九年级中考数学二轮重难点二次函数的综合应用专题复习 1．（2024九年级上·吉林·期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)直线BC的解析式为 ； (3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值； (4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）抛物线与轴相交于，两点（，分别在原点的左右两侧），与轴正半轴相交于点，且，的面积为（如图1）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，抛物线与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B 的坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x 轴的垂线交直线于点D， 过点P作y 轴的垂线，垂足为点E． ①请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由； ②连接，当为等腰三角形时，求点D的坐标． 4．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·江苏苏州·一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)证明：△BOC是等腰直角三角形； (2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值． 6．（2024九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m，）在抛物线的对称轴上. （1）求抛物线的函数表达式. （2）求证: △ABC是等腰三角形. （3）动点P在线段AC上，从点A出发以每秒1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动.当Q到达点A时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似. 7．（23-24九年级上·广西南宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点E，连接．    (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在线段上，是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点，，连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 8．（25-26九年级下·黑龙江·期中）如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值，并求出取得最大值时E点坐标． 9．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024九年级上·广西柳州·期中）已知抛物线经过、两点，O为坐标原点，抛物线交正方形的边于点E，点M为射线上一动点，连接，交于点F． (1)求b和c的值及点C的坐标； (2)求证∶ (3)是否存在点M，使为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长． 11．（2025·湖北武汉·月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)、B(2，0)，与y轴交于点C(0，﹣2)，顶点为P （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若直线PM与BC交于Q，且sin∠CQP＝，求点M的坐标； （3）将抛物线平移至顶点为坐标原点，过F(0，)的直线交抛物线于G、H，GO交直线y＝﹣于点N，求证：HN∥y轴．    12．（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)点在线段上运动时，是否存在点，使得四点围成的四边形面积最大？若存在，求出点的坐标，并求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 13．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）如图，点P是直线上的点．过点P的另一条直线交抛物线于A，B两点．    (1)若直线的解析式为，求，两点的坐标； (2)①若点P的坐标为，当时，请直接写出点A的坐标； ②试证明，如图②，对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得成立； (3)设直线l交y轴于点C，如图③，若的外心在边上，且，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) (3)h与t之间的函数关系式为：，h的最大值为4 (4)在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）把A(﹣1，0)，B(4，0) 代入抛物线解析式，即可求解； （2）根据抛物线解析式求出点C的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （3）根据题意可得点，点，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解； （4）分三种情况：当PC=BC时，当PB=BC时，当PC=PB时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点， ∴， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴点， 设直线BC的解析式为， 把点B(4，0)，代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为； （3）解：如图， ∵点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t， ∴点， ∵MN⊥x轴， ∴点， ∴， ∴， ∴当时，h的值最大，最大值为4； （4）解：在x轴的负半轴上存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下： 当PC=BC时， ∵OC⊥BP， ∴OP=OB， ∵点B(4，0)，点P在x轴的负半轴上， ∴点； 当PB=BC时， ∵B(4，0)，， ∴OC=4，OB=4， ∴， ∴， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴点； 当PC=PB时，点P位于BC的垂直平分线上， ∵OB=OC=4， ∴点O位于BC的垂直平分线上， ∴此时点P与点O重合，不合题意，舍去； 综上所述，在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 2．(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)或 【分析】本题考查二次函数综合，一次函数，等腰直角三角形的判定，直角三角形的性质，一元二次方程，熟练掌握这些性质，并通过题意构造符合题意的图形是解题的关键． （1）先得出点，利用，得出，再利用，得出，，得出，的坐标，分别利用待定系数法即可求出抛物线和直线的解析式； （2）利用是以为直角边的直角三角形，分两种情况：①当以为直角顶点时；②当点为直角顶点时，过点作轴的垂线，构造等腰直角三角形，设，利用等腰直角三角形得出线段相等，列式求解即可． 【详解】（1）解：令得， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把、两点坐标代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为， 将、两点坐标代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：存在，理由如下： ①当以为直角顶点时， 过点作，交抛物线于点．过点作轴于点，如图， ． 由，， 得， ∴， ， ， ， ， ， 设， 则， 解得：（舍），， ， 则； ②当点为直角顶点时， 过作交抛物线于点，过点作轴于点，设交轴于点， 如图， 轴， ， ， ，， ，， ， 设， 则， 解得：，（舍）， ， 即， 综上所述，的坐标是或． 3．(1) (2)①最大值为，；②或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质． （1）运用待定系数法求解即可；； （2）① 求出直线的解析式，设，则，得，由二次函数性质可得结论；②分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将A，B的坐标代入 得 ， 解得，， （2）解：①由（1）可得C的坐标为，则直线的解析式可设为．     将B的坐标代入可得， 即直线的解析式可设为 设，则 于是 ∴当时，取得最大值此时点的坐标为 ②由已知及勾股定理可求得    为等腰三角形时有三种情况，即： 当时，即，解得或（舍去） 此时符合条件的D点坐标为； 当时，即，解得，或（舍去） 此时符合条件的D点坐标为 当时，即，解得， 此时符合条件的D点坐标为， 综上，当D点坐标为或或时，为等腰三角形 4．(1)抛物线的解析式为； (2)见解析； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，函数图象交点问题，待定系数法求解解析式，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法求解解析式即可； （）由解析式求出点的坐标分别为、，然后利用两点距离公式求出，，，最后通过勾股定理逆定理即可求解； （）分或或为对角线时即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：∵抛物线的解析式为， ∴当时，，解得，， ∴点的坐标分别为、， 由点的坐标得，，，， ∴， ∴为直角三角形； （3）解：存在，理由： ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴设点，点的横坐标为， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或，则或， ∴点或， 综上，或或． 5．(1)见解析 (2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为． 【分析】（1）求得点C(0，c)，再解方程2x2−(1+2c)x+c =0，求得点B(c，0)，即可判断△BOC是等腰直角三角形； （2）求得点D(，-)，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：令x=0，则y=c， ∴点C(0，c)， 令y=0，则2x2−(1+2c)x+c =0， ∴(2x-1)(x-c)=0， ∴x1=，x2=c， ∵点B在点A右侧， ∴点B(c，0)，点A(，0)， ∴OB=OC=c， ∵∠COB=90°， ∴△BOC是等腰直角三角形； （2）解：y=2x2−(1+2c)x+c=2(x-)2-， ∴点D(，-)， 设DM交x轴于点M， ∵△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OBC=45°， ∵点A，B关于DE对称， ∴EA=EB， ∴∠EAB=∠EBA=45°， ∴∠AEB=180°-45°-45°=90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵EM⊥AB， ∴EM=AB， 当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°， ∵DM⊥AB， ∴AB=2DM， ∵点B(c，0)，点A(，0)， ∴AB=c-， ∵点D(，-)， ∴DM=， ∴c-=， 整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0， ∴c1=，c2=， ∵c>， ∴c=， ∴当四边形AEBD为正方形时，求c的值为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 6．（1） （2）见解析 （3）当t=或t=时，相似. 【详解】试题分析：（1）应用待定系数法求解析式， （2）根据对称性构造直角三角形解决问题 （3）利用三角形相似求出 试题解析：（1）把A（1，0）和B（3，0）代入得： ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式是. （2）抛物线的对称轴是， ∵点C（m,）在抛物线对称轴上 ∴m=2 ∴点C（2,）， ∴CA=="4," CB==4， ∴CA= CB ∴△ABC是等腰三角形 （3）∵∠A是公共角 当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB， ∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t， ∴， ∴t=， 当∠APQ=∠ABC时，， ∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t， ∴， ∴t=， ∴当t=或t=时，相似. 考点：待定系数法，解直角三角形，三角形相似 7．(1)，抛物线顶点坐标为 (2)存在， (3)当，或时，函数图象与线段有一个公共点 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律． （1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解． （2）根据是等腰直角三角形，结合图象求解即可． （3）结合图象，分别求出抛物线顶点在上，经过点时的值，进而求解． 【详解】（1）将代入中， ， 解得， ， ∴抛物线顶点坐标为． （2）存在，， 理由如下：为等腰直角三角形，在点P线段上， 点D、C不可能为直角顶点， ， 过点P作轴，    ∴， 则， ， ， 故存在点； （3）二次函数的图象向上平移个单位后解析式， 抛物线顶点坐标为， 当顶点落在线段上时，   ， 解得， 当抛物线向上移动，经过点时，   ， 解得， 当抛物线经过点时，    解得， ∴当，或时，函数图象与线段有一个公共点． 8．(1) (2)是直角三角形 (3)面积的最大值，此时点E的坐标为 【分析】（1）把解析式设为顶点式，求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点B的坐标，可证明，据此可得结论； （3）过点E作轴交于点F，求出直线的表达式为；设，则，则，可求出，据此根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴； ∵，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，过点E作轴交于点F， 设直线的表达式为，则， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 则，即此时点E的坐标为． 9．(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 10．(1)，， (2)见解析 (3)存在，或 【分析】（1）把、代入，即可得解； （2）根据正方形的性质得出，，再由，得出，最后利用全等三角形的性质得出结论； （3）分两种情况讨论解答，当M在线段的延长线上时，先求出，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段上时，得出，类比①解答即可． 【详解】（1）解：把、代入 得：，解得， ∴抛物线的表达式为：， 令，则，解得，， ∴，即，，． （2）证明：∵四边形OBDC为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E， ∴令，则，解得：，， ∴， ∴ ①如图1，当M在线段BD的延长线上时，为锐角， ∴为钝角， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴，在中， ∵， ∴ ∴， ∴； ②如图2，当M在线段BD上时，为钝角， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理， 得，即， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述，ME的值为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及解直角三角形，分类讨论思想的运用是解题的关键． 11．（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）M(，)；（3）见解析 【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），即可求解； （2）过点C作PM的平行线交x轴于点H，过点H作HG⊥BC于点G，求出点H（，0），确定直线PQ的表达式，即可求解． （3）直线HG的表达式为：y＝x2•x，则点N的坐标为（﹣，﹣），由一元二次方程根与系数的关系得：x1x2＝﹣，则x1＝﹣，即可求解． 【详解】（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）， 故﹣2a＝﹣2，解得：a＝1， 故函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣2； （2）过点C作PM的平行线交x轴于点H，过点H作HG⊥BC于点G，    则∠HCB＝∠CQP， ∵OB＝OC＝2， ∴∠OBC＝45°， 设：OH＝m，则BH＝2﹣m，HG＝BHsin∠OBC＝（2﹣m），HC＝， sin∠HCB＝＝sin∠CQP＝，即：＝， 解得：m＝（不合题意的值已舍去），则点H（，0）， 则直线CH表达式中的k值为：3， 设直线PQ的表达式为：y＝3x+n， 将点P（，﹣）的坐标代入上式并解得： 直线PM的表达式为：y＝3x﹣…②， 联立①②并解得：x＝或（舍去）， 故点M（，）； （3）新函数的表达式为：y＝x2…③， 设点H、G的坐标分别为（x1，x12）、（x2，x22）， 则直线HG的表达式为：y＝x2•x， 则点N的坐标为（﹣，﹣）； 设直线HG的表达式为：y＝kx+…④， 联立③④并整理得：x2﹣kx﹣＝0， 则x1x2＝﹣，x1＝﹣ 则点H的横坐标为：﹣， 点H、N的横坐标均为：﹣， 故HN∥y轴． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行线的性质、一元二次方程根与系数的关系的运用等，其中（2），作CH∥PM，用内错角代替∠CQP，是本题的亮点． 12．(1) (2) (3)存在，， ． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入解析式求得a、b即可解答； （2）先求得、，再求得直线的解析式，设，则，，其中，可得，再根据列方程求解即可解答； （3）如图：分别连接BN，根据可得，由（1）（2）易知， ，然后根据二次函数的性质求得的最大值，进而求得的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵将两点在抛物线的解析式上， ∴解得， 抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即， ∵，点D在y轴负半轴， ∴，即； 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的关系表达式为， 设，则，，其中， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，解得： ， (舍去)， 故当四边形是平行四边形时，． （3）解：如图：分别连接， ∵ ， 由（1）（2）易知， ， ∴当最大时，最大，即， ∵点E在线段上运动， ∴， ∴当 时， 最大面积．即，最大面积为． 13．(1)，； (2)①的坐标为或；②见解析； (3)． 【分析】（1）联立抛物线与直线的解析式，求出点、的坐标． （2）①如答图1所示，求出点坐标，设．作辅助线，构造直角梯形，为中位线，求出点的坐标（用含的代数式表示），然后代入抛物线的解析式求出的值； ②与①解题思路一致．设，．作辅助线，构造直角梯形，为中位线，求出点的坐标（用含、的代数式表示），然后代入抛物线的解析式得到关于的一元二次方程，根据其判别式大于0，可证明题中结论成立． （3）的外心在边上，则为外接圆的直径，．设，．作辅助线，证明，得到．再联立直线与抛物线的解析式，由根与系数关系得到：，所以；由此得到、的长度，从而得到的长度；作辅助线，构造，由勾股定理求出点的坐标． 【详解】（1）点、是抛物线与直线的交点， ， 解得或． 当时，；当时，， ，． （2）点在直线上， ， ． 设，如答图1所示，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为点、、．    ， 是梯形的中位线， ，． ，， ， ， ，． ． 点在抛物线上， 解得：或， 当时，；当时， 点的坐标为或． ②设，． 如答图1所示，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为点、、． 与①同理可求得：． 点在抛物线上， 整理得：． △， 无论为何值时，关于的方程总有两个不相等的实数根．即对于任意给定的点，抛物线上总能找到两个满足条件的点，使得成立． （3）的外心在边上， 为外接圆的直径， ． 设，， 如答图2所示，过点、分别作轴的垂线，垂足为、，则易证．      ， 即， 整理得：， ， ， 即． 设直线的解析式为，联立， 得：． ，是方程的两个根， ． ． 设直线与轴交于点，则． 易知，， ． ， ． 设， 过点作轴于点， 则，． 在中，由勾股定理得：， 即：， 整理得：， 解得（舍去）或， 当时，， ． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、梯形及梯形中位线、勾股定理、相似三角形、一元二次方程等知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意根的判别式的应用，第（3）问中，注意根与系数关系的应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $