上海市金山中学2024-2025学年高三下学期3月素养测试数学试卷二

2024-2025学年上海市金山中学高三年级下学期 学科素养数学试卷2 2025.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知全集， ，则________． 2. 设，函数是奇函数．若，，则______． 3. 设．若向量与向量平行，则______． 4. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为________． 5. 若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是_______． 6. 已知向量、满足，且在上的数量投影为，则__________ 7. 某次数学练习中，学生成绩X服从正态分布,若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是______． 8. 顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____．（精确到） 9. 如果关于的不等式的解集为一切实数，那么的取值范围是_________. 10. 双曲线的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为__________． 11. 若，已知数列中，首项，，，则_____. 12. 已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ） A. 是相互独立事件，不是互斥事件 B. 是互斥事件，不是相互独立事件 C. 既是相互独立事件又是互斥事件 D. 既不是互斥事件也不是相互独立事件 14. 某社区通过公益讲座宣传交通法规．为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分．他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ） 讲座前 讲座后 5 0 5 5 0 0 6 5 0 0 7 0 8 0 5 5 5 0 9 0 0 5 5 10 0 0 A. 讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B. 讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C. 讲座后答卷得分的第80百分位数为95 D. 讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 15. 已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 16. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ） A. 若为等差数列，则为内和数列 B. 若为等比数列，则为内和数列 C. 若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D. 若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 设，函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求的值． 18. 如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，． （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 19. 2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图： （1）求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望. 20. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 2024-2025学年上海市金山中学高三年级下学期 学科素养数学试卷2 2025.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 【1题答案】 【答案】； 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】2π 【5题答案】 【答案】45 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 【17题答案】 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间是； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，∴， ∵，， 又∵，∴， 又∵，∴． （2） 【19题答案】 【答案】（1）， （2）X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望： 【20题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 证明：设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：为定值. （ii） 【21题答案】 【答案】（1） 区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集且两集合交集非空， 所以区间不是函数的“美好区间” （2） （3） 对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $