精品解析：黑龙江省哈尔滨市尚志市龙媒高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

尚志龙媒高级中学2024—2025学年度下学期期中考试 高二年级数学试题 卷面分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共2 页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题页指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号. 3.所有答案必须用黑色中性笔作答，并写在答题卡的相应位置上，写在试卷上无效. 4.请保持试卷及答题卡的清洁，不折叠、不破损.考试结束后，上交答题卡和试卷. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 将答案写在指定位置，其他区域视为无效作答. 1. 函数在时的瞬时变化率为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故时的瞬时变化率为， 故选：B 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数求导法则即可得解. 【详解】由题意，，，. 故选：C. 3. 集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在第二象限内的点的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合提供横坐标，集合提供纵坐标，则符合题意的点有，共2个； 若集合提供纵坐标，集合提供横坐标，则有，，共4个． 综上，符合题意的点的个数为. 故选：D． 4. 若，则的值为（ ） A. 286 B. 285 C. 219 D. 218 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数性质计算可得答案. 【详解】由，得或， 解得（舍）或， 则 . 故选：B. 5. 若数列的通项公式为，则其前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用裂项相消法求和即可求和. 【详解】由于 故其前项和为， 故选：C． 6. 已知各项均为正数的数列的前项和为，则（ ） A. 511 B. 93 C. 72 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】由已知递推关系求出数列的前10项，即可求解． 【详解】， ∴ ， 所以， 则， 故选：B． 7. 已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，则值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由与的关系，利用作差法求得，所以是首项为2，公差为的等差数列，求解即可. 【详解】当时， 所以，两式相减得：， 所以，即， 由于正项数列，所以，即， 所以是首项为2，公差为的等差数列， 所以. 故选：B 8. 如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】先涂，，，然后分类讨论的颜色，最后利用乘法原理与加法原理可得答案. 【详解】先涂，，，有种方法. 若的颜色不同于，，所涂颜色，有种涂法，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为. 综上，总涂法数为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 将答案写在指定位置，其他区域视为无效作答. 9. 已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用数列的单调性结合函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】数列满足，且是递增数列， 则分段函数为增函数，则， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是， 则选项中和在内， 故选： 10. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】运用导数几何意义，结合导数运算，点斜式可解. 【详解】求导得，设切点为， 则，切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，解得或. 当时，，切线方程为. 当时，，切线方程为. 故选：BC. 11. 在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第2项的系数为 B. 所有项的系数和为 C. 所有奇数项的二项式系数和为 D. 所有偶数项的二项式系数和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项式的展开式可求得第2项的系数，可判断A；利用二项式形式的性质，可判断BCD的正误. 【详解】在二项式展开式中， 第2项系数为，所以正确. 令，得所有项系数和为，正确. 因为奇数项的二项式系数和等于偶数项二项式系数和，为， 所以错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质，先求出，再得到则，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以；又， 则， 当且仅当，即，即，时，等号成立. 故答案为： 13. 已知函数，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求导，再将代入可求的值，最后将代入原函数即可得答案. 【详解】因为，则， 所以，所以， 故，因此． 故答案为：1. 14. 在的二项展开式中，项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，利用通项公式求指定项的系数即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令，可得，所以项的系数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算:; （2）. 【答案】（1）2；（2）0 【解析】 【分析】（1）根据排列数的计算公式即可求解， （2）根据排列数的阶乘形式的公式即可求解. 【详解】解:（1）， 16. 霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法． （1）男队员2名，女队员2名； （2）至少有1名男队员． 【答案】（1）30 （2）65 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答. （2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答. 【小问1详解】 从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为（种）. 【小问2详解】 从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种，所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）. 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）求的单调区间与最大值． 【答案】（1）， （2）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，求出，并根据得到； （2）求出定义域，求导，解不等式，得到函数单调性，求出最大值. 【小问1详解】 ， 所以，切线方程为， 又，所以，则． 【小问2详解】 的定义域为． ，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以的最大值为． 18. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为d， 由，得，即， 由，，成等比数列得，， 化简得，因为，所以． 所以． 综上． 【小问2详解】 由知，， 又为公比是3的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尚志龙媒高级中学2024—2025学年度下学期期中考试 高二年级数学试题 卷面分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共2 页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题页指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号. 3.所有答案必须用黑色中性笔作答，并写在答题卡的相应位置上，写在试卷上无效. 4.请保持试卷及答题卡的清洁，不折叠、不破损.考试结束后，上交答题卡和试卷. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 将答案写在指定位置，其他区域视为无效作答. 1. 函数在时的瞬时变化率为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在第二象限内的点的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若，则的值为（ ） A. 286 B. 285 C. 219 D. 218 5. 若数列的通项公式为，则其前项和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知各项均为正数的数列的前项和为，则（ ） A. 511 B. 93 C. 72 D. 41 7. 已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，则值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 8. 如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 将答案写在指定位置，其他区域视为无效作答. 9. 已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 2 10. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第2项的系数为 B. 所有项的系数和为 C. 所有奇数项的二项式系数和为 D. 所有偶数项的二项式系数和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______________. 13. 已知函数，则__________． 14. 在的二项展开式中，项的系数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算:; （2）. 16. 霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法． （1）男队员2名，女队员2名； （2）至少有1名男队员． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）求的单调区间与最大值． 18. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $