2025年中考数学专项突破练：解一元二次方程

2025年中考数学专项突破练：解一元二次方程 1．解方程 (1) (2) 2．解方程． (1)； (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 4．解下列方程： (1)； (2)． 5．用恰当的方法解下列方程： (1) (2) 6．解方程： (1) (2) 7．解下列方程 (1)； (2)． 8．解下列方程： (1)； (2)． 9．解方程：(用适当的方法解方程) (1)； (2)； (3)； (4)． 10．解方程． (1)． (2)． 11．解下列方程； (1)； (2)． 12．用公式法解方程： (1)； (2)． 13．解方程： (1)； (2)． 14．解方程： (1) (2)． 15．解方程： (1)； (2)． 16．解一元二次方程． (1)； (2)． 17．解方程： (1)； (2)． 18．解下列方程： (1)； (2)． 19．解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 20．解方程 (1)； (2)． 21．解方程： (1)； (2)． 22．解方程 (1)（公式法）； (2)（配方法）； (3)； (4)． 23．解下列方程： (1)； (2) 24．按要求解下列方程： (1)（公式法） (2)（因式分解法） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学专项突破练：解一元二次方程》参考答案 1．(1)， (2)，． 【分析】本题考查了用公式法和因式分解法解一元二次方程，解题关键是牢记公式和找公因式． （1）先将方程化为一般形式，再利用公式求解； （2）先将右边提出3，得到，再移项后提出即可用因式分解法进行求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴； （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， 即， ∴或， 解得：． 3．(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：整理得：，                     ，                     ∴或，                     ∴，． （2）解：∵，， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根                     ∴ ∴，． 4．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴． 5．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； 【详解】（1）解：， ∴， 即， ， 解得：； （2）解：， 即， ， ， 解得：． 6．(1) (2) 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， ， 或， 解得：，． 7．(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）将常数项移到等式的右边，利用配方法进行求解即可； （2）利用提公因式法因式分解，进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ， ∴． 8．(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 9．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：，即：， ∴或， ∴，； （2）解：， 则 ∴， ∴， ∴，； （3）解：，即： ∴或， ∴，； （4）解：，即， ∴或， ∴，． 10．(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程用直接开平方法求解即可； （2）方程用配方法求解即可． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： ． 解得：． 11．(1) (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，理解因式分解法是解答关键． 利用因式分解法将方程变形为两个因式的积的形式，再根据这两个因式分别等于0求解． 【详解】（1）解：将变形为 ， 或 解得， （2）解：将变形为 ， 或， 解得，． 12．(1) (2) 【分析】（1）先算出，再代入公式进行计算，即可得到答案； （2）先算出，再代入公式进行计算，即可得到答案； 本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∴； 13．(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解一元二次方程”是解本题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 整理得， 配方得，即； ， ； （2）解：， 整理得， ， ． 14．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程． 用十字相乘法分解因式可得，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程求出一元二次方程的两个根； 用提公因式法分解因式可得，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程求出一元二次方程的两个根． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 或， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 提公因式得：， 或， 解得：，． 15．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）将方程左边进行因式分解，然后解方程即可得出答案； （2）将方程略作整理，然后用直接开平方法解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， 整理，得：， 直接开平方，得：， ，． 16．(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程得解法，能够根据方程的特点选择合适的方法解方程是本题的关键． （1）方程左边是完全平方的形式，右边亦可进行开方运算，故选择直接开平方法进行解方程即可． （2）一次项系数为，若使用配方法则需配，分数运算并不简单；再观察各项系数，因式分解法亦不能使用；由于各项系数数值不大，便于计算，故选择公式法解方程即可． 【详解】（1）解：． 直接开平方，得：， 解得：，． （2）解：． ，，． ， 方程有两个不相等的实数根． ． 即：，． 17．(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程． （1）直接利用因式分解法解答即可； （2）先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用公式法解答即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 19．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）将常数项移至方程右边，然后在方程加上，方程左边配成完全平方，然后利用直接开平方法求解即可； （2）将方程化为一般形式，然后确定、、，求出的值，再代入即可； （3）将方程化为，方程左边利用平方差分解因式，将原方程化为两个一元一次方程进行求解即可； （4）将原方程化为，方程左边分解因式，将原方程化为两个一元一次方程进行求解即可； 解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法：直接开平方法，配方法，公式法以及因式分解法． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 解得：，； （2）， ， 此时、、， ∴， ∴， ∴，； （3）， ， ，即， ∴或， ∴，； （4）， ， ， ， ， ， ， ∴或， ∴，． 20．(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先整理成一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：，． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 或， ； （2）解：， ， 或， ． 22．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（）利用公式法求解即可； （）利用配方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； （）利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解：由， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ↑， ∴， ∴或， 解得． 24．(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉并掌握方程的解法步骤是解题的关键． （1）利用公式法运算求解即可； （2）利用因式分解法运算求解即可． 【详解】（1） 解： ∵，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴，； （2） 解： ∴，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$