北京市东城区2024-2025学年高三下学期第二次综合练习数学试题

北京市东城区2024一2025学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 2025.5 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项。 (1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={xx十1>0}，则A∩B= (A){0,1,2} (B){-2} (C){-2,-1} (D)-1,0,1,2} (2)已知(1一i)z=2十i,则复数之的实部为 (A)号 (B)1 (c)多 (D)3 (3)已知单位向量a,b的夹角为0，若|a+b|>1,则0的取值范围为 (n)[0,) (B)[0,) (C)爱，) (D)) (4)某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一 轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训 练的模型参数增加的数量可以看成一个以t为首项，公比为3的等比数列，则 第五轮训练的模型参数的数量为 （A)121E (B)81t (C)41t (D)27t 高三数学第1页（共6页） (5)若双曲线需-了=1的离心率大于尼，则m的取值范图为 (A)(W3,+∞) (B)(1,+o) (C)(0,N3) (D)(0,1) 0已知fe)--ge,2<0, g(x),x>0, 下列选项中能使f(x)既是奇函数又是增函数的是 (A)&(x)=x (B)g(x)=x2 (C)g(x)=e* (D)g(x)=Inlzl (7)已知a,B∈R,则“cos2a=cos2B”是“p=(-1)a十kπ(k∈Z)”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)已知直线1过点(0，一1)，且1上至少有一点到点(0,3)的距离为2，则1的倾斜 角的最大值为 (A)晋 (B)登 (c)餐 (D)晋 (9)马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行 器的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、飞行器（除燃料外）的质 量m(单位：kg)的函数关系是=290l(1+兴.已知当该飞行器所处高空的音 速为290m/s,最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为M 和M2,则下列结论一定正确的是 (a)总-后 (c)mtM= (D)n+4=e m+M m+M (l0)设无穷数列{an}满足an+1=an十sina,则 (A)存在a1∈(0，x),{a.}为等差数列 （B)存在a1∈(0，π)，{an}为等比数列 (C)存在a1∈(0，π)，{a}为递减数列 (D)存在a1∈(0，x),{an}为递增数列 高三数学第2页（共6页） 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)在△ABC中，a=1,b=√5，B=60°，则A= (12)已知(1+x)5=1一2C+4C号-8C号+16C号-32C%,则实数x= (13)已知直线y=x与抛物线y2=2px(p>0)在第一象限交于点M,过点M作x 轴的垂线，垂足为抛物线的焦点F,则k=；若该抛物线的准线卜的 点到点M与点F的距离之和的最小值为√5，则p= (14)《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问 题.某工程要完成一个形如直四棱柱ABCD一A1B,CD的“堑”型沟渠的土方作业 (如图)，其中AD,BC与平面AABB所成的角均为，AB∥DC,AB=4米， DC=8米，AA1=20米，则需要挖土 立方米。 D D C (15)已知曲线C:xy一x2+x一y+1=0.给出下列四个结论： ①曲线C为中心对称图形； ②曲线C与直线y=x十1有两个交点： ③曲线C恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线C上任意两点A(,y1),B(x2,y),当1<1<x2时，|AB|≥2. 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 如图，长方体ABCD-A1B,CD,的底面ABCD是正方形，AB=1,AA1=2, 点M在棱CC1上，AC1∥平面BDM. D C B (I)求证：M为CC1的中点； (Ⅱ)求平面BDM与平面B1DM夹角的余弦值 (17)(本小题14分) 已知函数f(x)=4sin(aux+)cOSwx十b(u>0). (I)若f(x)的最小值为5，求b的值； (Ⅱ)若f(0)=√3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已 知，使得函数f(x)存在且唯一，求f(x)在区间[0，牙]上的取值范围， 条件①：f(x)的图象关于x=一爱和x=登对称， 条件②：f心x)在区间登，登上单调，且)的图象关于点（学，0）对称： 条件③：f(x)的最小正周期T≥元，且f(-)=一尽. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分：如果选择多个符合要求 的条件分别解答，按第一个解答计分 (18)(本小题13分) 已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示， ↑气温（摄氏度） 气温（摄氏度） 6 平均 平均 高温 高温 平均 平均 低温 低温 -6 2”年份 年份 图1北京市1月历史气温 图2北京市1月历宋气温 (I)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平 均低温都低于前一年的概率， (Ⅱ)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平 均低温的差值为α（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为 b(单位：摄氏度).从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个， 求至少有2个冬季周期中a=b的概率： (Ⅲ)依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度？ 请说明理由 (19)(本小题15分) 已知椭圆E荐+芳=1e>6>0)的-个顶点为A0,1).且过点1，停).。 (I)求椭圆E的方程及焦距 (Ⅱ)过点(0,2)的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC的斜率 分别记为1与，当十：=号时，求△ABC的面积 高三数学第5页（共6页） (20)(本小题15分) 设函数f(x)=(x2十ax)lnx,其中a∈R. (I)当a>0时，求f(x)的零点： (Ⅱ)当a=一1时，证明： (i)1为f(x)的极小值点， (对于任意m∈(，1)，存在n∈(1,2)，使得曲线y=f(x)在点 A(m,f(m))处的切线斜率与在点B(n,f(n))处的切线斜率互为相 反数 (21)(本小题15分) 已知有穷整数数列A:a1,a2,…,an(n≥4)，满足a1=an=1.记集合2为 (B:b,b2,…,bnlb=bn=1,b=a4+1-a4-1,或b=a--a+1,或b=a4-1十a+1, =2,3,…,n一1).若数列A∈，则称数列A是的“恒元”. (I)已知数列A:1,3,4,1,请写出2中所有满足b2<b的数列； (Ⅱ)当n=3m十2(m∈N")时，是否存在数列A满足a2=2,且A是2的“恒 元”？若存在，请写出一个满足条件的数列A,若不存在，请说明理由； (Ⅲ)当数列A是2的“恒元”时，若a2,a,·,a-1是n一2个连续正整数的一个 排列，求数列A的项数n的最大值. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高三数学第6页（共6页）