精品解析：　福建省龙岩市第二中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

龙岩二中2024-2025学年第二学期期中质置监测 八年级数学 考试时间：120分钟满分：150分 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝150°，则∠C度数是（ ） A. 30° B. 75° C. 100° D. 150° 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 4. 如图，在中，，且，则长为（　　） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 5. 如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（ ） A. B. C. D. 6. 如图，D、E、F分别为Rt△ABC三边的中点，AB=，则CD和EF的大小关系是（　　） A. B. C. D. 与AB的大小有关 7. 下列命题，其中是真命题的是（　　） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 8. 下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③ D. ②④ 9. 如图所示容器是由两个底面半径不相等的圆柱体构成，匀速向容器内注水，直至把容器注满．在注水过程中，水面高度随注水时间变化的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E，F不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④存在两个，使得周长是． 所有正确结论的序号是（ ） A ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③ 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 12. 在平行四边形中，周长为20，若，则_______． 13. 如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且，则点A表示的实数是___________． 14. 《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深_________尺． 15. 已知等腰三角形的周长为10，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式___________． 16. 如图，，矩形的顶点分别在边上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状大小保持不变，其中，在运动过程中，点D到点O的最大距离是_____________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 当，时，求代数式的值. 19. 如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距离，求树折断处与地面的距离（即的长）． 20. 如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：． 21. 在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． ． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，按要求在图①、图②、图③中以为边各画一个菱形． 要求：菱形的顶点C、D均在格点上，且所画的三个菱形不全等． 23. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作，，求证：四边形是菱形． 24. 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的一半？ 思路：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为．若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为①_______，此时新正方形的面积是②_______ 结论：③_______（“存在”或“不存在”）一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究， 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组④______________ 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据利用“凑完全平方”得方程的解的情况解决问题． 思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题． 结论：⑤_________（“存在”或不存在）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？若存在，请指出需要满足的条件，若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： （1）将①~⑤分别补充完整； （2）按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二选取其中一种，解决问题： （3）完成对【阶段二】中活动二的研究． 25. 阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）在图中，的度数是___________； （2）如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度； （3）如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩二中2024-2025学年第二学期期中质置监测 八年级数学 考试时间：120分钟满分：150分 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝150°，则∠C的度数是（ ） A 30° B. 75° C. 100° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C＝150°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键． 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在中，，且，则长为（　　） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出，代入求出即可． 【详解】解：∵中，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是能根据直角三角形的性质得出． 5. 如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∴可以表示平行线与之间的距离, 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键． 6. 如图，D、E、F分别为Rt△ABC三边的中点，AB=，则CD和EF的大小关系是（　　） A. B. C. D. 与AB的大小有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CD＝AB，根据三角形中位线定理得到EF＝AB，等量代换得到答案． 【详解】解：在Rt△ACB中，D为AB的中点， 则CD＝AB， ∵E、F分别为AC、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝AB， ∴CD＝EF， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 7. 下列命题，其中是真命题的是（　　） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是真命题，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定，熟知相关判定定理是解题的关键． 8. 下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 【详解】解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值， ①；③当取值时，有唯一的值对应； 即y是x的函数的是①③， 故选：C． 9. 如图所示容器是由两个底面半径不相等的圆柱体构成，匀速向容器内注水，直至把容器注满．在注水过程中，水面高度随注水时间变化的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据下面圆柱底面积更大，上面圆柱底面积更小，可知一开始水面高度上升的慢，后面上升的更快，而且前后呈直线上升，据此判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵下面圆柱底面积更大，上面圆柱底面积更小， ∴一开始水面高度上升的慢，后面上升的更快，而且前后呈直线上升， 故选：． 10. 如图，在正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E，F不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】证明，可得，可得①正确；当时，最小，此时，可得面积的最小值是，可得②错误；根据，可得，可得③正确；设，则，根据勾股定理可得，可得④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确； 当时，最小，此时， ∴面积的最小值是，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴的周长是， 设，则， ∴， 令， 解得，， ∴当或时，， ∴存在两个，使得的周长是，故④正确； 故正确的有：①③④， 故选C． 【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 在平行四边形中，周长为20，若，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．设，则，根据平行四边形的对边相等即可得到，，然后根据周长即可列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据题意得：， 解得：， 则． 故答案为：4． 13. 如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且，则点A表示的实数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，也就求出了的长，结合图中点A的位置确定点A表示的数． 【详解】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得， 直角三角形的斜边， 则， ∵如图，点A是以原点O为圆心为半径作弧与数轴的交点， ∴点A表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定的长度是解答本题的关键． 14. 《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深_________尺． 【答案】12 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深． 【详解】依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， ∵尺，芦苇生长在它的正中央， ∴尺， 在中，， 解得：， 即水深12尺， 故答案为：12． 15. 已知等腰三角形的周长为10，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，运用方程的思想列出关系式、根据三角形三边关系求得的取值范围是解答本题的关键．根据已知列方程，化为函数关系式，再根据三角形三边的关系确定的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 两边之和大于第三边， ，即， ， 综上可得，与的函数表达式为． 故答案为：． 16. 如图，，矩形的顶点分别在边上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状大小保持不变，其中，在运动过程中，点D到点O的最大距离是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系，勾股定理的应用，确定过点E时，点D到点O的距离最大．取的中点E，连接、、，根据直角三角形斜边中线定理可得，利用勾股定理求出，根据三角形任意两边之和大于第三边可知当过点E时，点D到点O的距离最大． 【详解】解：如图，取的中点E，连接、、， ∵，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系，， ∴当过点E时，等号成立，的值最大，最大值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先化简，再根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法、除法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 18. 当，时，求代数式的值. 【答案】 【解析】 【分析】将代数式化简，代入x，y即可得到答案； 【详解】解：原式 ∵，， ∴， ， ， ∴原式 = ； 【点睛】本题考查平方差公式的应用，已知字母值求代数式的值，解题的关键是将原式化简． 19. 如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距离，求树折断处与地面的距离（即的长）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由题意知，，，即，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，即， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴ 树折断处与地面的距离（即的长）为． 20. 如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，结合题意得出，，从而推出四边形为平行四边形，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴； 又点分别是的中点， ，， 四边形为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形）， （平行四边形的对边相等）． 21. 在解决问题“已知求值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． ． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分子、分母都乘以，化简得结果； （2）表示数的分子、分母都乘以，化简后代入代数式里，计算得结果． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 ． ． 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，按要求在图①、图②、图③中以为边各画一个菱形． 要求：菱形顶点C、D均在格点上，且所画的三个菱形不全等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据网格特点，利用勾股定理和菱形的判定解答即可． 【详解】 【点睛】本题考查勾股定理与网格问题、菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解答的关键． 23. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形及菱形的判定；先判定四边形是平行四边形，再利用平分与平行可得，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 24. 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的一半？ 思路：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为．若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为①_______，此时新正方形的面积是②_______ 结论：③_______（“存在”或“不存在”）一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究， 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组④______________ 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据利用“凑完全平方”得方程的解的情况解决问题． 思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题． 结论：⑤_________（“存在”或不存在）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 活动二：对于一般矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？若存在，请指出需要满足的条件，若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： （1）将①~⑤分别补充完整； （2）按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二选取其中一种，解决问题： （3）完成对【阶段二】中活动二的研究． 【答案】（1）①；②；③不存在；④；⑤不存在； （2）见解析 （3）当时，存在满足条件的新矩形． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，一元二次方程根的判别式等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据正方形的周长和面积公式，可作答①②③空；设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意列二元一次方程组求解，根据方程无解可作答④⑤空； （2）思路一：见（1）解析；思路二：根据以及平方的非负性即可求解； （3）设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意列二元一次方程组，利用代入消元法解方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为． 若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为， 此时新正方形的面积是， 即不存在一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半； 已知矩形的长和宽分别为4和2，若存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半， 设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意，得方程组， 整理得：， 由得：， 将③代入①得：， ， ， ， 方程组无解， 即不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 故答案为：①；②；③不存在；④；⑤不存在； 【小问2详解】 解：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组， 思路一：见（1）解析； 思路二：，且， 、不存在满足条件的情况， 即不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 【小问3详解】 解：设新矩形长和宽分别为x、y， 根据题意得， 由①得：， 将③代入②得：， 整理得：， ， 时，方程有实数解， 时，即，方程有解，存在满足条件的新矩形， 25. 阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）在图中，的度数是___________； （2）如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度； （3）如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3），最大值． 【解析】 【分析】（）根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； （）过点作交的延长线于点可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出，然后在中, 利用勾股定理列式进行计算即可得解； （）过点作，取，连接，，推导出，由可证，可得，当三点共线时，取最大值． 【小问1详解】 根据旋转知: ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 过点作交的延长线于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 根据上面结论可知， 设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 如图，过点作，取，连接，，如图 ∵，，∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴线段有最大值时，只需最大即可， 在中，， 当三点共线时，取最大值，此时， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵，最大，即最大值为， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$