2025年中考数学二次函数压轴专题练专题03 线段问题

专题03 线段问题 一、横竖线段 1．横线段∵AB//x轴 ∴AB=|xA-xB| 2．竖线段∵AB//y轴 ∴AB=|yA-yB| 二、斜线段（化斜为直） 1．勾股转化： 2．特殊角转化：∵∠OBC=45° ∴ 3．相似三角形转化：∵DF∥OC， ∴△DEP∽△OEC， ∴ 一、横竖线段 1．（2024秋•绥中县期中）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求直线的函数表达式及点C的坐标； (2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．当时，求m的值． 2．如图，抛物线与轴交于点，两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)写出线段的长（用含有的代数式表示）； (3)若，求的值； 3．（2024•咸丰县模拟）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)若，求m的值． 4．如图， 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧） ，与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点， 设点的横坐标为，过点作轴的垂线， 交轴于点，交于点． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 5．（2024秋•西岗区校级月考）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数和直线的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作轴于点Q，交于点H，当的长度最大时，求点P的坐标 6．（2024•重庆模拟）如图，抛物线交轴于点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标． 7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 二、斜线段 8．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 9．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．    (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 10．（2024•达州模拟）如图，抛物线(为常数)与轴交于点（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，点的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点为轴上任意一点；在(2)的结论下，当的值最小时，请直接写出点的坐标和此时的最小值． 参考答案 1．(1)直线的函数表达式为，点C的坐标为； (2)的值为或2或3． 【分析】本题考查了二次函数综合，熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程是解题的关键． （1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式，进而可得点C的坐标； （2）由题意得，点P的坐标为，可得，分两种情况：①点P在点D上方时；②点P在点D下方时，结合列出方程求解m的值即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， 解得：，， 点A的坐标为， 设直线的函数表达式为， 代入和得，， 解得：， 直线的函数表达式为， 对于，令，则， 解得：， 点C的坐标为， 综上所述，直线的函数表达式为，点C的坐标为． （2）由题意得，点P的坐标为， 直线轴于点E，与直线交于点D， 点D的坐标和点P的横坐标相同，即， 由（1）得，直线的函数表达式为， ， 点C的坐标为， ， ； ①当点P在点D上方时， 则， ， 解得：，， ， 的值为； ②当点P在点D下方时， 则， ， 解得：，， 的值为2或3； 综上所述，的值为或2或3． 2．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式； （2）先根据坐标轴上点的坐标特征确定，，则，设，则，，根据平行线分线段成比例定理，由得到，可得结论； （3）先用表示、得到，，再利用得，然后讨论得到两个关于的一元二次方程，再解方程求出满足条件的的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，两点， ∴抛物线解析式为，即； （2）∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，则， 当时，，解得，则， ∴，， ∴， 设， ∵轴， ∴，，， ∴，即， ∴； （3）存在． ∵，， 又∵， ∴， 当，解得：（舍去），； 当，解得：（舍去），， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，平行线分线段成比例定理，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用等知识点．利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 3．(1)，，，直线的解析式为 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． （1）根据函数图象的特点求A、B、C的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题可知，则，，再由，得到方程，求出m的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入可得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点P的横坐标为m， ∴，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 4．(1)PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），取最大值 (2)点P的坐标为 【分析】（1）由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点、、的坐标， 再利用待定系数法求出直线的解析式， 根据点的横坐标， 找出点、的坐标， 由此即可得出关于的函数关系式， 利用配方法即可得出最值； （2）根据、的坐标即可得出、的长度， 结合即可得出的值， 将其代入点的坐标中即可得出结论 ． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出点、的坐标；（2）根据求出的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时， 根据二次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，， ； 当时， 有， 解得：，， ，． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为． 点的横坐标为， ． 当时，， ． ． ，， ， 当时，取最大值． （2）解：，轴， ， ， ， 此时点的坐标为． 5．(1)二次函数的解析式为，直线BC的解析式为 (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由（1）知直线的解析式，设，得到，利用二次函数的性质求解即可得 【详解】（1）解：将，代入中得： ， 解得：， 二次函数的解析式； 令，则， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， （2）由（1）知直线的解析式为， 设点， 轴于点Q交于点H， ， ， ， 当时，的长度最大， 将代入得． 6．(1) (2)最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，即可得直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，，进而可得，利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 ． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点、点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线交轴于点， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为，代入得， ， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，此时，点的坐标为． 7．(1) (2)最大值， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 点坐标为，点坐标为， ； （2）解：当时，， ， 设直线为， ， 解得， 直线为， 设， ， ， ， 当时，有最大值， 此时． 8．【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【解析】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴； （2）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 9．【答案】(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【解析】（1）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵  ，   ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 10．(1)，； (2)最大面积为：，； (3)，最小值为：． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）利用图形面积和差，转化为二次函数求最值即可； （3）先过点作垂线段，当三点共线时，再根据垂线段最短，最后用等面积法求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∵抛物线和一次函数的图象都经过点、 ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为：，一次函数解析式为：， （2）如图，过作轴，交轴于点，交于点， 设，则， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴当时，面积最大，最大值为， 此时，即点； （3）如图，过作轴，交轴于点，交于点，过作于点， 由（2）可知：，∴， ∴， 由得：当时，，∴， 则有， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，， 则当点三点共线时有最小值， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数、图形面积计算等，解题的关键是如何找到等线段． 学科网（北京）股份有限公司 $$