精品解析：2025年江苏省南通市海安市中考一模数学试题

2025届初三学业质量监测试卷 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 实数，，0，中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 当时，代数式的值是（ ） A. B. 3 C. 10 D. 11 4. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 13 6. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间t（单位：天）与入库平均速度v（单位：吨/天）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若每天最多可入库300吨玉米，则玉米全部入库所需时间t的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 10. 如图，以矩形的顶点A为圆心，以长为半径作弧，交于点F，交于点E，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：_________________ ． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为____________． 13. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 ________． 14. 已知一个长方体，其长、宽、高之比为4：2：1，底面积为，则这个长方体的体积为______． 15. 如图，要测量塔的高度，在塔前平地上C处，用测角仪测得塔顶B的仰角，沿方向走到E处，测得塔顶点B的仰角，且量得长为，测角仪的高度为，点C、E、A在同一直线上，则塔的高度为______m（参考数据：，，）． 16. 如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为______°． 17. 如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为______． 18. 如图，是半圆O的直径，是半径，且，弦经过的中点E，连接，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； （2）解方程： 20. 如图，已知，点A，B分别在，上，用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形． （1）保留作图痕迹，并根据作图痕迹说明四边形是菱形的理由； （2）若菱形的周长为，，求该菱形的高． 21. AI与人们的生活联系越发紧密，某校为了解七、八年级学生对AI的了解情况，举办了相关知识竞赛，并将最终成绩分为6分，7分，8分，9分，10分五个等级．学校在两个年级各随机抽取50人的成绩进行分析，将成绩整理并绘制成统计图如下， 两个样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7.6 8 8 1.08 八年级 a b 7 1.08 （1）m，a，b的值分别为______，______，______； （2）若八年级有1000名学生，求八年级得分不低于8分的人数； （3）小明认为七年级的成绩更好，你同意他的说法吗？简要说明理由． 22. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 23. 如图，为的直径，是的切线，C为切点，，，垂足为D． （1）若，求的直径． （2）延长，相交于点F．若，求，，围成图形的面积． 24. 五一假期，徐师傅一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．徐师傅在满电状态下出发，汽车的剩余电量y（%）与行驶路程x（）之间的关系如图所示． （1）当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为 ； （2）若行驶一段时间后，徐师傅发现电量还有，离景区有，徐师傅能到达景区吗？请说明理由． （3）已知汽车快速充电功率为．徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量（kwh）=充电功率（kw）×充电时间（h）】 25. 平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． （1）若轴，求抛物线的对称轴； （2）点为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有． ①求a的取值范围； ②若，点，在抛物线上，当时，都有，求a的值． 26. 综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届初三学业质量监测试卷 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 实数，，0，中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，即可得出结果． 【详解】解：， ∴最小的是， 故选：D． 2. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：1582亿． 故选：C． 3. 当时，代数式的值是（ ） A. B. 3 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，代入数值时注意符号，负数相乘结果为正， 把直接代入代数式计算即可． 【详解】解：当时，， 故选D． 4. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，先根据直角三角形两锐角互余求出，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵的直角顶点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，由垂径定理可得，由，，可得，在中，由即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ， ， 在中， ， ∵是的直径，弦， ∴ 故选C． 6. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，解题的关键是先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线， 其图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴右侧随的增大而减小， 点，，都在抛物线上， 点关于直线的对称点在抛物线上，且， ， 故选：A． 7. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 8. 某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间t（单位：天）与入库平均速度v（单位：吨/天）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若每天最多可入库300吨玉米，则玉米全部入库所需时间t的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系． 把点代入，求得k的值，再把代入，求出t的值即可． 【详解】解：设， 由题意得，函数经过点， 把代入，得， 则解析式为， 再把代入，得， 则玉米全部入库所需时间t的范围是． 故选：A． 9. 甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知图1可得，进而求出，再由甲乙两个正方形的面积和为10列方程求出当时，，即可求解． 【详解】解：甲乙两个正方形的边长分别为，，且 依题意得：， 由图1得：， ∴， ∴，（不合题意舍去） ∴， ∴， 解得：，， 当时，，， 当时，，不合题意舍去， 综上所述：按图2放置，阴影部分面积为8， 故选C． 10. 如图，以矩形 的顶点A为圆心，以长为半径作弧，交于点F，交于点E，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质和解直角三角形，构造直角三角形，利用三角函数转化线段关系是解题关键． 过点 作，垂足为交于 过点作，垂足为，设，根据等腰三角形性质可得，，再利用，证明，可得，，进而表示各条线段长，最后利用列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵在矩形 中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴过点 作，垂足为交于 过点作，垂足为， ∵在矩形 中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ， ， ∴， ， ∵在矩形 中，，， ∴， ∵， ∴， 解并检验得：， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零即可求解． 【详解】解：方程 的判别式为 ， 由于有两个相等的实数根， 因此 ，即 ， 解得 ． 故答案为：1． 13. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的公式，掌握圆锥侧面积的公式是解答本题的关键． 根据圆锥侧面积的公式计算即可解答． 【详解】解：圆锥的侧面积， 故答案为：． 14. 已知一个长方体，其长、宽、高之比为4：2：1，底面积为，则这个长方体的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据比例设正方形的边长，由底面积为，求出值，进而求出长方体体积． 【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为 cm、 cm、 cm（根据比例4∶2∶1）． ∴， 解得：，（负值舍去） 长方体的体积为（立方厘米） 故答案为． 15. 如图，要测量塔的高度，在塔前平地上C处，用测角仪测得塔顶B的仰角，沿方向走到E处，测得塔顶点B的仰角，且量得 长为，测角仪的高度为，点C、E、A在同一直线上，则塔的高度为______m（参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键． 设，则，在中，，由求出，根据在中，，即可列方程求解． 【详解】解：如图，依题意得：四边形、四边形都是矩形， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴ ∵在中，，， ， 解得． 塔的高度约为米． 故答案为. 16. 如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明是等边三角形，再求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识点，解题关键是利用相似求出，设点，用坐标表示三角形面积． 根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，利用位似可得，由轴，结合反比例函数性质可得，进而可，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 18. 如图，是半圆O的直径，是半径，且，弦经过的中点E，连接，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆与解直角三角形综合，解题关键是过点 作，构造直角三角形，利用解直角三角形转化线段关系． 过点 作，垂足为，设，由勾股定理求出，可得，进而在中可求，再在中求出，由此即可求解． 【详解】解：过点 作，垂足为， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． （2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：； 数轴上表示如图： （2）， 去分母，得：， 解得： 检验：当时，， ∴是原方程的根． 20. 如图，已知，点A，B分别在，上，用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形 是菱形． （1）保留作图痕迹，并根据作图痕迹说明四边形 是菱形的理由； （2）若菱形 的周长为，，求该菱形的高． 【答案】（1） 解：如图；在上取点C，使，在上取点D，使，则四边形 是菱形． 证明：∵，， ∴四边形 是平行四边形． 又∵， ∴四边形 是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形判定和性质，解三角形等． （1）在上取点C，使，在上取点D，使，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）作高，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵过点作，垂足为， ∵菱形 的周长为， ∴， 又∵， ∴， 即菱形的高为． 21. AI与人们的生活联系越发紧密，某校为了解七、八年级学生对AI的了解情况，举办了相关知识竞赛，并将最终成绩分为6分，7分，8分，9分，10分五个等级．学校在两个年级各随机抽取50人的成绩进行分析，将成绩整理并绘制成统计图如下， 两个样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7.6 8 8 1.08 八年级 a b 7 1.08 （1）m，a，b的值分别为______，______，______； （2）若八年级有1000名学生，求八年级得分不低于8分的人数； （3）小明认为七年级的成绩更好，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）12，，7 （2）八年级得分不低于8分的人数为人 （3） 解：同意小明的说法，七年级学生的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数和中位数相同，而七年级的众数均高于八年级， 所以七年级学生的成绩更好． 【解析】 【分析】本题考查中位数、平均数、优秀率以及样本估计总体，掌握平均数、中位数的计算方法和意义是正确解答的关键． （1）根据平均数、中位数的计算方法进行计算即可； （2）求出八年级得分不低于8分的人数所占的百分比即可解答； （3）比较平均数、中位数、众数、优秀率得出答案． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得， ， 八年级成绩的平均数（分）， 由扇形统计图知八年级成绩中：6分的有人，7分的有人， 中位数是第25,26个数， ∴； 【小问2详解】 解：（人， 答：八年级得分不低于8分的人数为人． 【小问3详解】 略 22. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【答案】（1）抽到丙款的概率是 （2）两人选择的聊天机器人互不相同的概率是 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先用树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人， ∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图，如图， 共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 23. 如图，为的直径，是的切线，C为切点，，，垂足为D． （1）若，求的直径． （2）延长，相交于点F．若，求，，围成图形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题为圆的综合题．考查切线的性质，勾股定理、矩形的判定和性质，不规则图形面积求法以及解三角形．作出常用的辅助线是解答本题的关键． （1）连接，过点作，垂足为，则，构造矩形和 ，根据勾股定理可得，由此列方程即可求出的半径； （2）同（1）作辅助线，利用解三角形求出的半径，再根据，，围成图形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：设的半径为，连接，过点作，垂足为，则，， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的直径． 【小问2详解】 连接，过点作，垂足为， 同理（1）可得：四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，围成图形的面积 24. 五一假期，徐师傅一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．徐师傅在满电状态下出发，汽车的剩余电量y（%）与行驶路程x（）之间的关系如图所示． （1）当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为 ； （2）若行驶一段时间后，徐师傅发现电量还有，离景区有，徐师傅能到达景区吗？请说明理由． （3）已知汽车快速充电功率为．徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量（kwh）=充电功率（kw）×充电时间（h）】 【答案】（1）450 （2） 解：∵电池剩余电量为，相当于电量 ， ∴， 解得：． ∵， ∴徐师傅能到达景区并且汽车电池剩余的电量大于． （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，读懂题意，准确求出与之间的函数表达式是解决问题的关键． （1）设与之间的函数表达式为，把  时  ，  时 ，代入可得出关于、的二元一次方程组，求出解析式，再根据当电量灯变为红色时，即时求出即可．； （2）先计算出电池剩余电量为，即汽车的剩余电量为，把代入（1）中所求解析式，求出的值，加上还要行驶的路程，然后与满电状态可以行驶的总路程比较即可得答案． （3）根据行程需要的电量求出需要停车充电电量，再根据快速充电功率计算充电的时长即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为（、为常数，且）． 将  时  ，  时 ，分别代入， 得， 解得， ∴与之间的函数表达式为． 当时，，解得：， 故答案为450 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 即：徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，当到达景区时电量灯恰好变为红色，需要停车充电电量为， 故充电电量为， 充电时间为：， 答：在充电站充电的时长为． 25. 平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． （1）若轴，求抛物线的对称轴； （2）点为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有． ①求a的取值范围； ②若，点，在抛物线上，当时，都有，求a的值． 【答案】（1）直线 （2）① 或②． 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质、增减性，熟练掌握二次函数图象性质和利用不等式求参数的范围是解题的关键． （1）根据轴，可得，由此得出点，点是关于抛物线的对称轴的对称，即可求出对称轴， （2）①分和两种情况，根据二次增减性结合图象即可判断；②根据点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，列不等式即可解得． 【小问1详解】 解：∵轴， ∴的纵坐标与相同，即， ∴点，点是关于抛物线的对称轴的对称， ∴抛物线的对称轴为直线  【小问2详解】 解：①∵抛物线经过点， ∴， ∴函数解析式为， ∴， ∴对称轴为， I．当 时，开口向上，抛物线在A、B之间的部分图象位于对称轴右侧，随增大而增大， 最低点出现在端点时，，如图： 故当时，都有． II．当时，开口向下，顶点为最高点，最低点出现在端点或，如图： ∴当时，，即：，解得：， 综上， 的取值范围为 或 ． ②当时，开口向下，点  和  在抛物线上，当时，都有， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 由①得 ． ∴时，当时，都有． 综上所述：当时，都有，． 26. 综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）>； （2）证明：如图3，延长到点 ，使，连接 ， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质、等边对等角．相似三角形的判定和性质，“截长补短”或通过轴对称构造全等三角形，是将未知转化成可用已有知识求解的常见策略． （1）在内作，交于点 ，根据等角对等边可得，由三角形两边之和大于第三边即可得出结论； （2）延长到点 ，使，连接 ，可得，由等角对等边易得，即可得，再证明，可得，由此证明结论． （3）由已知易得，设相似比为，可得，，，通过求差法比较和的大小即可 【详解】解：（1）如图2，在内作，交于点 ， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）略 （3）∵，， ∴， ∴， 设与相似比为， ∴，，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $