精品解析：贵州省安顺市第二高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

贵州省安顺市第二高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试 高二 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷．草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：的倾斜角为，则（ ） A. B. 0 C. D. 3. 已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，焦距为，点在双曲线上，，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B. C. D. 4 4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ） A. 228里 B. 192里 C. 126里 D. 63里 5. 是等差数列的前项和，，，则首项（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数的导函数是（ ） A. B. C. D. 7. 对任意实数，有，则的值为（ ） A B. C. 22 D. 30 8. 某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ） A 0.155 B. 0.175 C. 0.016 D. 0.096 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（ ） A. 学生的身高与学生的化学成绩 B. 汽车行驶的里程与它的耗油量 C. 人的年龄与年收入 D. 水果的重量与它的总价 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则函数既不是奇函数也不是偶函数 B. 若，则函数的图象关于点对称 C. 若，则当时，的最小值为12 D. 若，则当时，的最大值为 11. 过抛物线C：上的一点作两条直线，，分别交抛物线C于A，B两点，F为焦点（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、4，则的取值范围为_____________ 13. 已知，则使恒成立的的范围是______ ． 14. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为___________． 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，设数列的前项和，求证：． 16. 当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表： 套餐 A B C D E F 月资费x（元） 38 48 58 68 78 88 购买人数y（万人） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 255 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近. （1）根据所给数据，求出关于的回归方程； （2）已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：对于一组数据，其回归方程斜率和截距的最小二乘估计值分别为. 17. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 18. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. （1）求的方程； （2）过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省安顺市第二高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试 高二 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷．草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得直线的方向向量为与平面的法向量垂直，由向量垂直的坐标运算即可求解． 【详解】，则有直线的方向向量为与平面的法向量垂直， 即， 解得． 故选：B． 2. 已知直线：的倾斜角为，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角为得直线与轴垂直，从而得系数关系. 【详解】由题意直线倾斜角为，则直线轴， 故方程中，的系数为， 即，解得．此时，直线符合题意. 故选：D． 3. 已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，焦距为，点在双曲线上，，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得为直角三角形，且，设，，利用双曲线的定义及勾股定理求出，再由的面积为求出，最后由焦距求出，即可求出离心率. 【详解】因为的面积为，所以的面积为. 又，所以，所以为直角三角形，且. 设，，所以， 所以， 所以，又，所以. 焦距为，所以，则， 所以，则离心率. 故选：C. 4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ） A. 228里 B. 192里 C. 126里 D. 63里 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意得，该人从第二天起每天所走路程构成以为公比的等比数列， 设该数列为，其前项和为， 则有，解得， 故选：B. 5. 是等差数列的前项和，，，则首项（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，利用“”法求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，， 所以，， 解得， 故选：A 6. 函数的导函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 7. 对任意实数，有，则的值为（ ） A. B. C. 22 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：B． 8. 某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ） A. 0.155 B. 0.175 C. 0.016 D. 0.096 【答案】B 【解析】 【分析】分别用事件，，表示“被保险人是‘谨慎的’，‘一般的’，‘冒失的’”， 事件表示“被保险人在一年内发生事故”，再利用条件概率求解. 【详解】设事件表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件表示“被保险人是‘一般的’”，事件表示“被保险人是‘冒失的’”，则，，.设事件表示“被保险人在一年内发生事故”，则，，.由全概率公式，得. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（ ） A. 学生的身高与学生的化学成绩 B. 汽车行驶的里程与它的耗油量 C. 人的年龄与年收入 D. 水果的重量与它的总价 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相关关系的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，选项A，为非确定性关系， 选项B为相关关系，且为正相关关系． 选项C，为非确定性关系， 选项D，为相关关系，且为正相关关系． 故选：BD 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则函数既不是奇函数也不是偶函数 B. 若，则函数的图象关于点对称 C. 若，则当时，的最小值为12 D. 若，则当时，的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用特殊点判断函数非奇非偶，判断A的真假；求函数解析式，再利用函数奇偶性的性质判断B的真假；求函数解析式，结合基本不等式可判断C的真假；集合C的结论，利用基本不等式判断D的真假. 【详解】对A选项：若，则，，， 因为且，所以既不偶函数，也不是奇函数，故A正确； 对B选项：若，则， 令，则， 因为是奇函数，其图象关于原点对称， 将其图象向下平移2个单位长度后得到的图象，所以的图象关于点对称，B正确； 对C选项：若，. 当时，，当且仅当时，等号成立，C正确； 对D选项：若，， 当时，，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，D错误． 故选：ABC 11. 过抛物线C：上的一点作两条直线，，分别交抛物线C于A，B两点，F为焦点（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】将代入抛物线方程，求出，即可判断A；分直线斜率是否为零讨论即可判断B；设，根据，求出，再根据焦半径公式即可判断C；设直线的方程为，则的方程为，联立方程，求出两点的坐标，再根据斜率公式即可判断D. 【详解】由题意可得，所以，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A正确； 当过点的直线斜率等于零时，直线方程为， 直线与抛物线的交点坐标为，只有一个交点， 当过点的直线斜率不等于零时，设直线方程为， 联立，消得， 当过点与抛物线有且只有一个公共点时，，解得， 综上所述，过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条，故B错误； 设，， 由，得， 所以，即， 所以，故C错误； 对于D选项，由题意，直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，则的方程为， 联立，消得， 则，所以， 则，所以， 同理可得， 则，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知MN是长方体外接球一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、4，则的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量结合极化恒等式求解即可. 【详解】根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示. 设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径， 设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合. 所以， 所以 ， 由P在长方体表面上运动，所以，故 所以，即. 故答案为： 13. 已知，则使恒成立的范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，再求出函数的最大值作答. 【详解】因，令，，依题意，， 当时，，求导得，当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，当时，， 当时，，求导得，在上单调递减， ，于得函数在上单调递减，， 因此，则，所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键. 14. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为___________． 【答案】##0.84375 【解析】 【分析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解. 【详解】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，，，由全概率公式可得： 故答案为： 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，设数列的前项和，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由是公差为2的等差数列，求得，结合和的关系，即可求解； （2）由（1）知，求得，结合关于单调递增，以及，即可求解． 【小问1详解】 解：因为，所以， 又因为是公差为2的等差数列，所以，即， 当时，， 又由，适合上式，所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 证明：由（1）知， 所以， 又由， 所以关于单调递增，所以， 又因为，所以，所以． 16. 当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表： 套餐 A B C D E F 月资费x（元） 38 48 58 68 78 88 购买人数y（万人） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近. （1）根据所给数据，求出关于的回归方程； （2）已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望= 【解析】 【分析】（1）根据数据和最小二乘法公式求出a和即可； （2）因为是一家4口购买不同的套餐，套餐的种类只有6种，所以X的取值为2,3,4，按照超几何分布的模式写出分布列和数学期望. 【小问1详解】 因为散点集中在一条直线附近，设回归方程为， 由，则， ，故变量关于的回归方程为.又， 故， 综上，关于的回归方程为； 【小问2详解】 由，解得， 而，所以即为“主打套餐”. 则四人中使用“主打套餐”的人数服从超几何分布，又：一共只有6种套餐，一家4口选择不同的套餐，所以X的取值只能是， 且， 分布列为 2 3 4 期望. 17. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）与平面所成的角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. 【小问1详解】 因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 18. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值是； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数在闭区间上的最值； （2）利用导数分类讨论函数的单调性； （3）利用导数的几何意义确定的值，接着分离参数得在上恒成立，令，利用导数求函数的最小值，实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 令时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ，所以在取得极小值，也是最小值， ， 又 . 在上的最大值为，最小值是； 【小问2详解】 当时，令，解得：， 令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立， 所以在上为减函数， 当时，在恒成立， 所以在上单调递减. 综上，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在上单调递减. 【小问3详解】 ，依题意：，解得：， 所以， 又对恒成立，即， 所以在上恒成立. 令， 当时，函数单调递减， 当时 函数单调递增， 时， 故， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. （1）求的方程； （2）过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及距离的最大值，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得； （ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再利用函数的单调性求出最大值. 【小问1详解】 由的离心率，则， ，设上的点， 则， ， ①当，即时，的最大值为， 由，则， 又，所以，所以此时椭圆方程为 ②当，即时，的最大值为， 由， 即，解得，不合题意. 综上可知，的方程为. 【小问2详解】 ①当直线斜率存在时，设直线的方程为， ，则， 由得， ，即 ， 直线方程为， 当时， ， 故直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线方程为也过. 故直线恒过定点. ②由题意知，此时的斜率一定存在. ， 由及， 所以 ， 因为，令， 所以在上单调递增. 故的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$