浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2023-2024 学年下学期八年级期末数学试卷

第 1页（共 23页） 2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期末 数学试卷 一、选择题：本大题有 10个小题，每小题 3分，共 30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．（3分）如所示图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（3分）下列方程中，一定是关于 x的一元二次方程是（ ） A．2ax2+x+1＝0 B． 1 � +x＝0 C．xy+x＝0 D．x2+x＝0 3．（3分）下列计算正确的是（ ） A． ( − 2)2 =−2 B．4 2 − 2 2 =2 C． 3 − 2 =1 D． 4 ÷ 2 = 2 4．（3分）若用反证法证明命题“在△ABC中，若 AC＞AB，则∠B＞∠C”，则应假设（ ） A．∠B＞∠C B．∠B≤∠C C．AC＞∠AB D．AC≤AB 5．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A．x2﹣2x+3＝0 B．x2+6x+9＝0 C．4x2＝3x+2 D．3x2﹣x+2＝0 6．（3分）小浙同学将一组数据准确地代入方差公式：S2= (6−�) 2+(5−�)2+(5−�)2+(4−�)2 4 ，下列对这组 数据的描述正确的是（ ） A．样本容量是 4 B．众数是 4 C．平均数是 4 D．中位数是 4 7．（3分）若反比例函数 y= ��的图象经过点 A（x1，y1），则下列结论中不正确的是（ ） A．图象一定不经过（1，0） B．图象一定经过（﹣y1，﹣x1） C．图象一定经过（x1+1，y1﹣1） 第 2页（共 23页） D．图象一定经过（﹣x1，﹣y1） 8．（3分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的中位线 DE于点 F，若 AC＝10，AB＝6，则 EF的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（3分）二次函数 y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且 a≠0）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 10．（3 分）如图，在矩形 ABCD中，点 E在 BC的延长线上，点 F在 CD的延长线上，AD平分∠EAF， 若要知道△AEF的面积，则需要知道（ ） A．CE的长 B．矩形 ABCD的面积 C．△ADF的面积 D．∠EAF的度数 二、填空题：本大题有 6个小题，每小题 3分，共 18分。 11．（3分）请写出一个 x的值： ，使二次根式 � − 2024在实数范围内有意义． 12．（3分）六边形的内角和等于 度． 13．（3分）学校男子篮球队的 10位队员的身高如表： 身高（单位：cm） 176 177 179 180 人数 1 4 3 2 第 3页（共 23页） 这 10位队员身高的中位数是 ． 14．（3分）在二次函数 y＝﹣x2+2x+3中，当 0＜x＜3时，则 y的取值范围是 ． 15．（3 分）如图，在菱形 ABCD中，E为边 AB上的一点，将菱形沿 DE折叠后，点 A恰好落在边 BC上 的 F处．若 EF垂直对角线 BD，则∠A＝ 度． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y1＝|x|与反比例函数 y2= � �（k≠0）的图象交于点 A（1，y1）．若 y1＞y2，则 x的取值范围是 ． 三、解答题：本大题有 8个小题，共 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算： （1） 2 × 6； （2）(2 − 2)(3 + 2 2)． 18．（6分）解方程： （1）x2+4＝4x； （2）x（x+1）＝x+1． 19．（8分）学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为 A， B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为 100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和 二班的成绩整理并绘制成如图的统计图． 第 4页（共 23页） 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中，一班成绩在 C级以上（包括 C级）的人数为 ； （2）将表格补充完整． 班级成绩 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 90 二班 87 80 （3）请根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由． 21．（10分）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度 h（米）适用公式 h＝20t﹣5t2． （1）经多少秒后足球回到地面？ （2）经多少秒时球的高度为 15米？ 22．（10分）在边长为 1的菱形 ABCD中，以点 B为圆心，BA长为半径画弧，交对角线 BD于点 E． （1）若 AE＝DE时，求∠ABD的度数； （2）设 AB＝k•AE， ①当 k＝2时，求 BD的长； ②用含 k的代数式表示 �� �� ． 第 5页（共 23页） 23．（12分）已知反比例函数 y= ��（k≠0）． （1）若点（﹣1，a），（a+4，3）都在该反比例函数图象上； ①求 k的值； ②当 x＞1时，求 y的取值范围． （2）若点（x1，y1），（x2，y2）都在该反比例函数图象上，且 x1＞1，k＞0，x1+x2＜0，小浙同学说“此 时不能判断 y1﹣y2与 2k的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到 y1﹣y2＜2k”，你认为谁 的说法正确，请说明理由． 24．（12分）四边形 ABCD为正方形，点 E为线段 AC上一点，连接 DE，过点 E作 EF⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． （1）如图 1，求证：矩形 DEFG是正方形； （2）若 AB＝3，CE＝2 2，求 CG的长度； （3）当线段 DE与正方形 ABCD的某条边的夹角是 30°时，求∠EFC的度数． 第 6页（共 23页） 2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D B C A C B A B 一、选择题：本大题有 10个小题，每小题 3分，共 30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．（3分）如所示图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，关键掌握如果一个平面图形沿一条直线折 叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕 着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 这个点就是它的对称中心． 2．（3分）下列方程中，一定是关于 x的一元二次方程是（ ） A．2ax2+x+1＝0 B． 1 � +x＝0 C．xy+x＝0 D．x2+x＝0 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是 2；二 第 7页（共 23页） 次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数． 【解答】解：A．当 a＝0时，2ax2+x+1＝0不是关于 x的一元二次方程，故本选项不符合题意； B． 1 � +x＝0，分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意； C．xy+x＝0中未知数 x的最高次数是 1，不是关于 x一元二次方程，故本选项不符合题意； D．x2+x＝0是关于 x一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方 程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2． 3．（3分）下列计算正确的是（ ） A． ( − 2)2 =−2 B．4 2 − 2 2 =2 C． 3 − 2 =1 D． 4 ÷ 2 = 2 【分析】根据二次根式运算的法则逐项判断即可． 【解答】解： ( − 2)2 =|﹣2|＝2，故 A错误，不符合题意； 4 2 −2 2 =2 2，故 B错误，不符合题意； 3与 2不是同类二次根式，不能合并，故 C错误，不符合题意； 4 ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2，故 D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 4．（3分）若用反证法证明命题“在△ABC中，若 AC＞AB，则∠B＞∠C”，则应假设（ ） A．∠B＞∠C B．∠B≤∠C C．AC＞∠AB D．AC≤AB 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【解答】解：用反证法证明命题“在△ABC中，若 AC＞AB，则∠B＞∠C”， 应假设∠B≤∠C， 故选：B． 【点评】本题考查的是反证法、三角形三边关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论 不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种 情况，则必须一一否定． 5．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A．x2﹣2x+3＝0 B．x2+6x+9＝0 C．4x2＝3x+2 D．3x2﹣x+2＝0 第 8页（共 23页） 【分析】分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案． 【解答】解：A．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根，不符合题意； B．∵Δ＝62﹣4×1×9＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．方程化为 4x2﹣3x﹣2＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4×（﹣2）＝41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； D．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×3×2＝﹣23＜0， ∴方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 6．（3分）小浙同学将一组数据准确地代入方差公式：S2= (6−�) 2+(5−�)2+(5−�)2+(4−�)2 4 ，下列对这组 数据的描述正确的是（ ） A．样本容量是 4 B．众数是 4 C．平均数是 4 D．中位数是 4 【分析】根据方差的计算公式可得，样本容量是 4，样本数据是 6，5，5，4，根据样本数据调查平均数、 众数以及中位数即可判断． 【解答】解：∵方差的计算公式， ∴样本数据是 6，5，5，4，样本容量是 4， ∴众数是 5， 平均数是 1 4 ×（6+5+5+4）＝5， 中位数是 5， 故选：A． 【点评】本题考查了总体，个体，样本容量，方差以及平均数、中位数以及众数，解题的关键是掌握方 差的定义． 7．（3分）若反比例函数 y= ��的图象经过点 A（x1，y1），则下列结论中不正确的是（ ） A．图象一定不经过（1，0） B．图象一定经过（﹣y1，﹣x1） 第 9页（共 23页） C．图象一定经过（x1+1，y1﹣1） D．图象一定经过（﹣x1，﹣y1） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵反比例函数 y= ��的图象与坐标轴没有交点， ∴图象一定不经过（1，0），故本选项正确，不合题意； B、∵反比例函数 y= ��的图象经过点 A（x1，y1）， ∴k＝x1y1， ∴y= �1�1� ， 当 x＝﹣y1时，则 y＝﹣x1， ∴图象一定经过（﹣y1，﹣x1），故本选项正确，不符合题意； C、把 x＝x1+1代入 y= �1�1 � ，得 y= �1�1 �1+1 ≠y1﹣1，故本选项不正确，符合题意； D、把 x＝﹣x1代入 y= �1�1 � ，得 y＝﹣y1，图象一定经过（﹣x1，﹣y1），故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质以及图象上点的坐标 满足解析式是解题的关键． 8．（3分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的中位线 DE于点 F，若 AC＝10，AB＝6，则 EF的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形的中位线得出 DE= 12AC＝5，DE∥AC，求出 AD＝3，根据平行线的性质和角平分 线的定义得出∠DAF＝∠DFA，根据等腰三角形的判定得出 AD＝DF＝3，再求出 EF即可． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，AC＝10，AB＝6， ∴BD＝AD＝3，DE= 12AC＝5，DE∥AC， ∴∠CAF＝∠DFA， ∵AF平分∠BAC， 第 10页（共 23页） ∴∠DAF＝∠CAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴DF＝DA＝3， ∴EF＝DE﹣DF＝5﹣3＝2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的中位线性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，能熟记三角 形中位线性质是解此题的关键． 9．（3分）二次函数 y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且 a≠0）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】求得抛物线的对称轴和与 y轴的交点即可判断． 【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且 a≠0）， ∴对称轴为直线 x=− �2� =− 1 2，在 y轴的左侧，与 y轴的交点为（0，c 2+1）在正半轴， 故图象可能是 A． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象，明确对称轴和与 y轴的交点位置是解题的关键． 10．（3 分）如图，在矩形 ABCD中，点 E在 BC的延长线上，点 F在 CD的延长线上，AD平分∠EAF， 若要知道△AEF的面积，则需要知道（ ） A．CE的长 B．矩形 ABCD的面积 C．△ADF的面积 D．∠EAF的度数 第 11页（共 23页） 【分析】过点 F作 AE的平行线，分别交 AD和 BE的延长线于点 M和 N，设 AB＝a，AD＝b，先证明 FA＝FM，由 DM＝AD＝b，再证明四边形 AMNE是平行四边形，求得 EN＝AM＝2b，根据 S△AEF＝S△AEN， 据此计算即可求解． 【解答】解：过点 F作 AE的平行线，分别交 AD和 BE的延长线于点 M和 N，连接 AN， 设 AB＝a，AD＝b， ∵AD平分∠EAF， ∴∠FAD＝∠GAD＝∠FMD， ∴FA＝FM， 又∵FD⊥AM， ∴DM＝AD＝b， ∵AM∥EN，AE∥MN， ∴四边形 AMNE是平行四边形， ∴EN＝AM＝2b， ∵AE∥FN， ∴S△AEF＝S△AEN， ∵�△��� = 1 2�� × �� = ��， ∴S△AEF＝ab＝S 矩形 ABCD， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是 掌握相关知识的灵活运用． 二、填空题：本大题有 6个小题，每小题 3分，共 18分。 11．（3分）请写出一个 x的值： 2024（答案无唯一） ，使二次根式 � − 2024在实数范围内有意义． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可求得 x的范围，即可写出 x的值． 【解答】解：根据题意得：x﹣2024≥0，解得：x≥2024， 故答案为：2024（答案不唯一）． 第 12页（共 23页） 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 12．（3分）六边形的内角和等于 720 度． 【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 【解答】解：（6﹣2）•180＝720度，则六边形的内角和等于 720度． 【点评】解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 13．（3分）学校男子篮球队的 10位队员的身高如表： 身高（单位：cm） 176 177 179 180 人数 1 4 3 2 这 10位队员身高的中位数是 178 ． 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：10÷2＝5，第五，六位队员身高分别是 177，179， ∴12位队员身高的中位数是 177+179 2 =178， 故答案为：178． 【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数 是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的 平均数就是这组数据的中位数． 14．（3分）在二次函数 y＝﹣x2+2x+3中，当 0＜x＜3时，则 y的取值范围是 0＜y≤4 ． 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当 0＜x＜3时 y的取值范围． 【解答】解：∵二次函数 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该函数图象开口向下，当 x＝1有最大值 4， ∴当 x＝0时，y＝3，当 x＝3时，y＝0， ∵0＜x＜3， ∴y的取值范围为 0＜y≤4， 故答案为：0＜y≤4． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用 二次函数的性质解答． 15．（3 分）如图，在菱形 ABCD中，E为边 AB上的一点，将菱形沿 DE折叠后，点 A恰好落在边 BC上 的 F处．若 EF垂直对角线 BD，则∠A＝ 72 度． 第 13页（共 23页） 【分析】利用菱形的性质设∠��� = ∠��� = 12∠��� = �，求得∠EFD＝α，∠FED＝2α，∠CFD＝2α， 利用平角的性质计算即可求解． 【解答】解：连接 AC、BD， ∵四边形 ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD＝CD，∠��� = ∠��� = 12∠���， 设∠��� = ∠��� = 12∠��� = �， ∵EF垂直对角线 BD， ∴EF∥AC， ∴∠BEF＝∠BFE＝∠BAC＝∠BCA＝α， 由折叠的性质知∠EFD＝∠BAD＝2α，AD＝FD， ∴CD＝FD， ∴∠CFD＝∠FCD＝2α， ∵∠BFE+∠EFD+∠CFD＝180°， ∴5α＝180°， 解得 α＝36°， ∴∠BAD＝72°， 故答案为：72． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y1＝|x|与反比例函数 y2= � �（k≠0）的图象交于点 A（1，y1）．若 第 14页（共 23页） y1＞y2，则 x的取值范围是 x＜0或 x＞1 ． 【分析】观察函数图象，当 x＜0或 x＞1时，y1＞y2． 【解答】解：由图可知：当 x＜0或 x＞1时，y1＞y2． 故答案为：x＜0或 x＞1． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了观察函数图象的能力． 三、解答题：本大题有 8个小题，共 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算： （1） 2 × 6； （2）(2 − 2)(3 + 2 2)． 【分析】（1）用被开方数相乘，再化为最简二次根式即可； （2）先算乘法，再算加减． 【解答】解：（1）原式= 2 × 6 ＝2 3； （2）原式＝6+4 2 −3 2 −4 ＝2+ 2． 【点评】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 18．（6分）解方程： （1）x2+4＝4x； （2）x（x+1）＝x+1． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2+4＝4x， 移项得：x2﹣4x+4＝0， 分解因式得：（x﹣2）2＝0， 第 15页（共 23页） 解得：x1＝x2＝2； （2）x（x+1）＝x+1， 移项得：x（x+1）﹣（x+1）＝0， 分解因式得：（x+1）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝1． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准 方法即可． 19．（8分）学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为 A， B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为 100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和 二班的成绩整理并绘制成如图的统计图． 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中，一班成绩在 C级以上（包括 C级）的人数为 18 ； （2）将表格补充完整． 班级成绩 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 87 90 90 二班 87 85 80 （3）请根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由． 【分析】（1）根据条形图即可得出答案； （2）分别根据平均数、众数和中位数的定义求解即可； （3）只要答案符合题意即可．（答案不唯一） 【解答】解：（1）一班成绩在 C级以上（包括 C级）的人数为 3+10+5＝18（人）， 故答案为：18； 第 16页（共 23页） （2） 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 87 90 90 二班 87 85 80 （3）选一班级参加市知识竞赛， 理由：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩 好（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小．同时考查了平均数、中位数、众数的定义及其应用． 21．（10分）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度 h（米）适用公式 h＝20t﹣5t2． （1）经多少秒后足球回到地面？ （2）经多少秒时球的高度为 15米？ 【分析】（1）令 h＝0得关于 t的一元二次方程，解得 t的值并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）令 h＝15得关于 t的一元二次方程，解得 t的值即可． 【解答】解：（1）令 h＝0得：20t﹣5t2＝0， 解得：t1＝0（舍去），t2＝4． 答：经 4秒后足球回到地面． （2）令 h＝15得：20t﹣5t2＝15， 解得：t1＝1，t2＝3． 答：经 1秒或 3秒时球的高度为 15米． 【点评】本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，将生活实际转化为数学问题是解题的关键，本 题难度不大． 22．（10分）在边长为 1的菱形 ABCD中，以点 B为圆心，BA长为半径画弧，交对角线 BD于点 E． （1）若 AE＝DE时，求∠ABD的度数； （2）设 AB＝k•AE， ①当 k＝2时，求 BD的长； ②用含 k的代数式表示 �� �� ． 第 17页（共 23页） 【分析】（1）根据圆的性质 AB＝BE，则∠BAE＝∠AEB，根据菱形的性质∠ABD＝∠ADB，又 AE＝DE， ∠ADB＝∠DAE，设∠ABD＝x°，根据三角形的内角和即可求出 x，进而作答即可； （2）①过点 B作 BM⊥AE于点 M，连接 AC交 BD于点 O，根据菱形性质 AC⊥BD，根据 k＝2，在直 角三角形 ABM中，根据勾股定理求出 BM，根据等面积求出 AO的长，再根据勾股定理求出 BO的长， 根据 BD＝2BO，即可作答； ②过点 B作 BT⊥AE于点 T，连接 AC交 BD于点 Q，根据菱形性质 AC⊥BD，在直角三角形 ABT中， 根据勾股定理求出 BT，根据等面积求出 AQ的长，再根据勾股定理求出 BQ和 QE的长，根据 DE＝QD ﹣QE＝QB﹣QE，即可作答； 【解答】解：（1）∵以点 B为圆心，BA长为半径画弧，交对角线 BD于点 E， ∴AB＝BE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∵菱形 ABCD， ∴∠ABD＝∠ADB， 又 AE＝DE， ∴∠ADE＝∠DAE， 设∠ABD＝x°， 则∠ADE＝∠DAE＝x°， ∴∠AEB＝∠EAB＝（2x）°， ∠ABD+∠EAB+∠AEB＝180°， 即 x+2x+x＝180， 解得 x＝36°， ∴∠ABD的度数为 36°； （2）①过点 B作 BM⊥AE于点 M，连接 AC交 BD于点 O， 第 18页（共 23页） ∵AC和 BD是菱形 ABCD对角线， ∴AC⊥BD，且 BD＝2BO， ∵k＝2，AB＝k•AE，AB＝1， ∴AE= 12， 又∵AB＝BE， ∴AM= 12AE= 1 4， 在直角三角形 ABM中， AB2＝AM2+BM2， ∴BM= 12 − ( 14 ) 2 = 154 ， S△ABE= 1 2AE•BM= 1 2BE•AO， 即 1 2 × 1 2 × 15 4 = 1 2 ×1×AO， ∴AO= 158 ， 在 Rt△AOB中， AB2＝AO2+BO2， ∴BO= 12 − ( 158 ) 2 = 78， ∴BD＝2BO= 74， ∴BD的长为 7 4 ； ②过点 B作 BT⊥AE于点 T，连接 AC交 BD于点 Q， 第 19页（共 23页） ∵AC和 BD是菱形 ABCD对角线， ∴AC⊥BD，且 BD＝2BQ， ∵AB＝k•AE，AB＝1， ∴AE= 1�， 又∵AB＝BE， ∴AM= 12AE= 1 2�， 在直角三角形 ABM中， AB2＝AT2+BT2， ∴BT= 12 − ( 12� ) 2 = 4� 2−1 2� ， S△ABE= 1 2AE•BT= 1 2BE•AO， 即 1 2 × 1 � × 4�2−1 2� = 1 2 ×1×AO， ∴AQ= 4� 2−1 2�2 ， 在 Rt△AQB中， AB2＝AQ2+BQ2， ∴BQ= 12 − 4� 2−1 (2�2)2 = 2�2−1 2�2 ， 在 Rt△AQE中， AE2＝AQ2+QE2， ∴QE= ( 1� ) 2 − 4� 2−1 (2�2)2 = 1 2�2， ∴DE＝QD﹣QE＝QB﹣QE= 2� 2−1 2�2 − 1 2�2 = �2−1 �2 ， ∴ �� �� = �2−1 �2 ． 【点评】本题是菱形综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，三角形内角和和等腰三角 形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理知识，作辅助线． 第 20页（共 23页） 23．（12分）已知反比例函数 y= ��（k≠0）． （1）若点（﹣1，a），（a+4，3）都在该反比例函数图象上； ①求 k的值； ②当 x＞1时，求 y的取值范围． （2）若点（x1，y1），（x2，y2）都在该反比例函数图象上，且 x1＞1，k＞0，x1+x2＜0，小浙同学说“此 时不能判断 y1﹣y2与 2k的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到 y1﹣y2＜2k”，你认为谁 的说法正确，请说明理由． 【分析】（1）①根据点（﹣1，a），（a+4，3）都在该反比例函数图象上可以求出 a的值，从而得出 k 的值； ②x＝1时，y＝3，故可以根据反比例函数的性质得到当 x＞1时，y的取值范围是 0＜y＜3． （2）利用反比例函数的性质得出当 x1＞1时，y的取值范围是 0＜y1＜k，当 x2＜﹣1时，y的取值范围 是﹣k＜y2＜0，即可求得 y1﹣y2＜2k． 【解答】解：（1）①∵点（﹣1，a），（a+4，3）都在该反比例函数图象上， ∴﹣a＝3（a+4）， ∴a＝﹣3， ∴反比例函数 y= ��（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3）， ∴k＝﹣1×（﹣3）＝3； ②∵k＝3＞0， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，y随 x的增大而减小， ∵x＝1时，y= 31 =3， ∴当 x＞1时，y的取值范围是 0＜y＜3． （2）小江同学说法正确； ∵k＞0， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，y随 x的增大而减小， ∴当 x1＞1时，y的取值范围是 0＜y1＜k． ∵x1＞1，x1+x2＜0， ∴x2＜﹣1， ∴当 x2＜﹣1时，y的取值范围是﹣k＜y2＜0． ∴y1﹣y2＜2k， 第 21页（共 23页） ∴小江同学说法正确． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 24．（12分）四边形 ABCD为正方形，点 E为线段 AC上一点，连接 DE，过点 E作 EF⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． （1）如图 1，求证：矩形 DEFG是正方形； （2）若 AB＝3，CE＝2 2，求 CG的长度； （3）当线段 DE与正方形 ABCD的某条边的夹角是 30°时，求∠EFC的度数． 【分析】（1）作 EP⊥CD于 P，EQ⊥BC于 Q，证明 Rt△EQF≌Rt△EPD，得到 EF＝ED，根据正方形 的判定定理证明即可； （2）由正方形的性质可得 AD＝CD＝3，AC＝3 2，AD＝3，DE＝DG，∠EDG＝90°＝∠ADC，由“SAS” 可证△ADE≌△CDG，可得 CG＝AE= 2； （2）分两种情况讨论即可． 【解答】（1）证明：如图 1，作 EP⊥CD于 P，EQ⊥BC于 Q， ∵∠DCA＝∠BCA＝45°， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠PEF＝90°，∠PED+∠PEF＝90°， ∴∠QEF＝∠PED， 在 Rt△EQF和 Rt△EPD中， ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ， 第 22页（共 23页） ∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形 DEFG是正方形； （2）解：∵四边形 ABCD是正方形，AB＝3， ∴AD＝CD＝3，∠ADC＝90°，AC= 2AD＝3 2， ∵CE＝2 2， ∴AE= 2， ∵四边形 DEFG是正方形， ∴DE＝DG，∠EDG＝90°＝∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴CG＝AE= 2； （3）解：①当 DE与 AD的夹角为 30°时， 如图 2， ∵∠ADE＝30°，∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝60°， ∵∠EDC+∠DEF+∠EFC+∠FCD＝360°， ∴∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°； ②当 DE与 DC的夹角为 30°时， 如图 3 第 23页（共 23页） ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴点 D，点 E，点 C，点 F四点共圆， ∴∠EDC＝∠EFC＝30°， 综上所述：∠EFC＝30°或 120°． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利 用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2025/5/6 10:47:24；用户：理科；邮箱： 13567591438；学号： 55669816