北京市丰台区2024-2025学年高三下学期综合练习（二）数学试题

北京市丰台区2024~2025学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 2025.05 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分选择题（共40分) 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项。 1.已知集合A={x-1<x<2},B={x(x-10(x-3)>0},则A∩B= (A){x|-1<x<1} (B){x|1<x<2 (C){x|-1<x<2} (D){x|-1<x<3} 2.在复平面内，复数z=i(1-)的共轭复数z对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3. 已知向量a,b满足引a=l,b上2，且a2=ab,则a与b的夹角为 A)君 B)背 c)9 (D)5π 4.已知数列{a}的前n项和为Sn,且满足a=0,a+2Sn=n,则a= (A)-1 (B)0 (c)1 (D)2 5.已知直线y=c+1与圆x2+y2=4交于A,B两点.当k变化时，则|AB (A)有最小值2√3 (B)有最大值2√5 (C)有最小值√5 (D)有最大值V5 6.已知关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的两实根为x,x2,则“|x曰x2|”是 “关于x的不等式x2+br+c<0的解集为0”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 高三数学第1页（共6页） 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为L.过F的直线与C交于A,B两点， 过A,B作1的垂线，垂足分别为，B',若四边形A4'B'B的周长等于AB引，则直线 AB的斜率为 (B)±2 (C)t (D)5 3 8.如图，在棱台ABCD-A'B'CD'中，底面ABCD和A'B'CD D' 为正方形，AB=3,AB'=1,侧面均为等腰梯形，且侧面 与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为 (A)18 (B)10+82 (C)10+85 (D)34 9.“红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念.如果接收器接收到的光波的频率小于 波源发出的光波的频率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”：如果接收器接收 到的光波的频率大于波源发出的光波的频率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为 “蓝移”.记接收器接收到的光波的频率为正数∫'，波源发出的光波的频率为正数∫， ∫'和∫满足光的普遍多普勒效应公式了=∫，一P巴 1-Bcos0 (β∈(0，)为波源运动速率 与光速的比值，日∈[0，π为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角).某同学依 据该公式利用A1工具制作了“光的普遍多普勒效应计算器”，在给定范围内输入B 和日的值，点击“计算”按钮后，运行结果显示“红移”、“蓝移”或“无频移”.下列说 法正确的是 (A)输入日=0和任意B,运行结果显示“红移” (B)输入日=汇和任意B,运行结果显示“蓝移” 2 (C)输入B-号和任意0>君，运行结果显示“红移” 6 (D)输入B=2正和任意0<马，运行结果显示“蓝移” 3 高三数学第2页（共6页） 10.已知M={(x,y)川y=tlog2x-t+1,1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系xOy中的点 集.设d是M中两点间距离的最大值，k是M中的点与原点O连线的斜率，S是 M表示的图形的面积，给出下列四个结论： ①W2,eM:②d=2:③k∈0，]： 其中所有正确结论的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 第二部分非选择题（共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 1.函数f=-的定义域为_ √x 12. 已知双曲线C:-y 京京=1(a>0,6>0)的离心率为2，则C的渐近线方程为_ 13. 已知直线x=-于为函数∫)=cos(@x+孕(@>0)图象的一条对称轴，则满足条件 的一个0的取值为一；若f)在区间(-买，0)上有零点，则的最小值为一 14.已知(x-1)2(2x-1)=a+ax+a2x2+ax3+…+a6x,则a1=_ia+4+a5=一 (用数字作答) 15.已知数列{a,}满足4=1，a1=k√a,+1-1(k>0),给出下列四个结论： ①存在唯一的正实数k,使得{an}是常数列： ②当k=1时，{og2(an+1}是等比数列； ③若{a}是递增数列，则k∈(0，√2)： ④若对任意的正整数n,都有a,<3,则k∈(0,2]. 其中所有正确结论的序号为一 高三数学第3页（共6页） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 在△ABC中，√3 csin B+bsin2C=0. (I)求∠C: (Ⅱ)若a=1,b=√3，求AB边上的高. 17.(本小题14分) 如图，在四棱柱ABCD-A'B'CD'中，底面ABCD与侧面ADD'A'均为菱形， AB⊥平面ADDA',AD=2,E为CC的中点，DD与平面ABE交于点F. D (I)求证：F为DD的中点； (Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作 为已知，判断在线段AC上是否存在点G,使 3 得直线AG与平面ABE所成角的正弦值为子？ 若存在，求积的值：若不存在，说明理血。 条件①：AD=AD'; 条件②：DD'⊥BF, 注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分。 高三数学第4页（共6页） 18.(本小题13分) 为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名 学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外 活动时长在区间[0,1)内有70人，近视率为80%：日均户外活动时长在区间[1,2)内有 20人，近视率为40%：日均户外活动时长在区间[2,3]内有10人，近视率为20%. 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值， (I)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (Ⅱ)用频率估计概率.从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的 学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率： (Ⅲ)为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口 号，计划在以下2项措施中选择1项实施 措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动： 措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动. 假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户 外活动时长的平均值为x,采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平 均值为歹，用样本估计总体，试比较x与歹的大小.（结论不要求证明） 19.（本小题15分) 已知椭圆E了×2 +京=1(a>b>0)的左顶点为4-2,0，焦距为25. (I)求椭圆E的方程： (Ⅱ)设O为原点，过点A且斜率为k的直线1与椭圆E的另一个交点为T,线段AT的 垂直平分线与x轴交于点M,与y轴交于点N.过点PI,0)且与1平行的直线与 y轴交于点2.若△OMN与△NP2的面积之比为4：3，求k的值. 20.(本小题15分) 已知函数f(x)=(x+2x)e+(a,beR)在点(-l,f(-)处的切线方程为y=1. (I)求a,b的值： (Ⅱ)求f(x)的单调区间； (Ⅲ)若f(x)≤-x2-2x,求x的取值范围. 21.(本小题15分) 设数列{a,}是1,2，，n(neN)的一个排列.由{a}中连续r项组成的集合称作“{a}的 长为r的子列集”，其中1≤r≤n.任取不大于n的正整数s,t,当st≥n时，若数列{a}的 任意长为s的子列集B={,,,b}和数列1,2，，n的任意长为t的子列集C={G,S…S}, 都有B∩C≠￠，则称数列{a}为“好数列”. (I)判断下列数列是否为“好数列”： ①1,3,5,2,4；②1,4,6,2,5,3. (I)证明：由1,2，n的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过马的“好 数列”([x]表示不超过x的最大整数)： (Ⅲ)若数列{a,}为“好数列”，求n的最大值. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高三数学第6页（共6页） 北京市丰台区2024~2025学年度第二学期综合练习（二） 高三数学参考答案 2025.05 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 1 2 3 6 8 o 答案 A D B B B C B D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.(0,D 12.y=√3x 13.1(答案不唯一)：4 14.-10:-162 15.①②④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.(本小题13分) 解：(I)在△ABC中，因为√5 csin B+bsin2C=0, 由正弦定理a=b。c sinA sin B sinC =及sin2C=2 sinCcosC,得 3sin Csin B+2sin Bsin CcosC=0, 因为sinB≠0，sinC≠0， 所以V3+2cosC=0, 所以cosC.- 2 所以∠C= 6分 6 (I)因为<c=答，a=l,b=5, 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,得 c1+3-2x1x5x-5=7, 所以c=√万. 设AB边上的高为h, 又△4BC的面积S=absinC=。 2 , 高三数学参考答案第1页（共8页） 所以h=absinC1xV5 2 2i c 14 所以AB边上的高为 13分 14 17.(本小题14分) 解：(I)在菱形ABCD中，CD∥AB 因为CDd平面ABEF,ABC平面ABEF, 所以CD∥平面ABEF. 又CDc平面CDD'C',平面CDD'C∩平面ABEF=EF, 所以CD∥EF. 又四棱柱ABCD-AB'C'D'中，CE∥DF, 所以四边形CEFD为平行四边形 所以DF=CB=CC=DD',所以F为DD的中点. 5分 2 2 (Ⅱ)选择条件①： 取AD中点H,连接AH, 在菱形ADDA中，AA=AD=AD 因为AD=AD, 所以△AAD为等边三角形. 因为H为AD中点， 所以AH⊥D,故AH⊥AD 因为AB⊥平面ADDA',且AD,AHC平面ABCD, 所以AB⊥AD,AB⊥AH. 所以AB,AD,AH两两垂直.如图建立空间直角坐标系A-3z, 则40,00，B2,00,C22,0,A0,-1,,F0,2,5 所以店=2,00，不=0,2,5，=0，-1，，A花=2,3，- 22 设平面ABE的一个法向量为n=(x,z), 高三数学参考答案第2页（共8页） n·AB=0, [2x=0, 则 即3 nA正=0， 22=0. 令z=5,则x=0y=-l.于是n=(0,-l,N5) 设AG=元C=(2元，32，-N5),0≤A≤1， 所以AG=+AG=(2,3-1,5-5): 设直线AG与平面ABE所成角为日， 所以s如0cs<AG.m+1MG则-4-63 14G442-34+14 解得入=3 所以存在符合条件的点G, A'G 1 A'C3 14分 选择条件②： 取D中点H,连接AH, 因为AB⊥平面ADDA,且AD,DD,AHc平面ABCD, 所以AB⊥AD,AB⊥DD,AB⊥AH. 又DD⊥BF,且AB,BFC平面ABEF,AB∩BF=B, 所以DD⊥平面ABEF 因为AFc平面ABEF, 所以DD⊥AF. 又因为F为DD中点， 所以AD=AD. 在菱形ADDA中，AA'=AD=AD, 所以△AAD为等边三角形 所以AH⊥AD,故AH⊥AD 所以AB,AD,AH两两垂直.如图建立空间直角坐标系A一z, 则4A0,0,0)C2,2,0),A(0,-1,V5. 高三数学参考答案第3页（共8页） 所以DD==0,-15),元=(2,3，- 因为DD'⊥平面ABEF, 所以取平面ABE的一个法向量为m=DD=(0,-1,): 设G=1A元=(21,3，-5)，0≤1≤1， 所以4G=+AG=(2,3-1,5-5) 设直线AG与平面ABE所成角为O, 所以sim0cos<G.n+4G.m。4-6=是 1AGnl4W42-3+4 解得=号 所以存在符合条件的点G, A'G_1 4C3 …14分 18.(本小题13分) 解：（I)由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有20+10-30人， 其中近视的学生有20×0.4+10×02=10人， 所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为 101 034分 (Ⅱ)设事件A仁“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中 各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”， 由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生 近锐的概率为号，从该校日均户外活动时长不低于1小时的￥生中随机选取1名， 这名学生近视的概率为了 则风-0-+G0-争G对0-r0-器 11分 (Π)x< 13分 高三数学参考答案第4页（共8页）