13 聚焦立体几何中的两大“关系”问题-《中学生数理化》高考数学2025年4月刊

■江苏省怀仁中学 王志英 立体几何是高中数学的重要组成部分, 也是高考的必考内容,题目主要涉及两大“关 系”:位置关系、度量关系。位置关系以线线、 线面、面面间平行或垂直的证明为重点进行 考查;度量关系则以点、线、面间的距离或角 度的计算为核心展开考查。同学们在复习的 过程中可以以这两条主线为载体,寻找自己 的知识盲区,在思维提升处下功夫。本文结 合一些典型例题进行分类剖析,以期为同学 们的复习备考提供一些帮助。 一、重视寻常证明中的不寻常处 在立体几何复习中,以证线线平行为例, 同学们经常用构造平行四边形、寻找中位线或 通过三角形中对应边比值相等的方法证线线 平行,但这些寻常方法并不适用于所有题目, 所以复习中要重视寻常证明中的不寻常处。 图1 例 1 如图1,在几何 体 ABCDE 中,底 面 ABC 是以AC 为斜边的等腰直角 三角形。已知平面 ABC⊥ 平面ACD,平面 ABC⊥平 面 BCE,DE∥平面 ABC, AD⊥DE,DM⊥AC,M 为垂足,EH⊥BC, H 为垂足。证明:DE⊥平面ACD。 解析:(1)因为平面 ACD⊥平面 ABC, 平面 ACD∩平面 ABC=AC,DM⊂平面 ACD,DM⊥AC,所以DM⊥平面ABC。同 理EH⊥平面ABC。所以DM∥EH,故D, E,H,M 四点共面。因为 DE∥平面 ABC, DE⊂ 平 面 DEHM,平 面 DEHM ∩ 平 面 ABC=MH,所以DE∥MH。又DM⊥平面 ABC,MH⊂平面ABC,所以DM⊥MH,所 以四边形 DEHM 为矩形,所以 DE⊥DM。 又DE⊥AD,DM∩DA=D,DM,DA⊂平 面ACD,所以DE⊥平面ACD。 点评:此题是证明线面垂直,看似是一个 很常规的证明,但此题的突破点却是两次证 明线线平行,第一次是利用两条直线同时垂 直于同一平面证出DM∥EH,第二次是利用 线面平行的性质定理证得DE∥MH,这两个 平行都是不常规的证明方法,是大部分同学 的盲区,很难想到,所以只有构建完善的知识 网络,才能应对更高思维要求的考查。 二、重视立体几何中的平面几何知识 在立体几何证明中经常会用到平面几何 知识,比如三角形的全等、相似等,在建系后, 有助于我们更准确地写出复杂点的坐标,为 向量法提供有力支撑。 图2 例 2 如图2,在四棱 锥P-ABCD 中,底面ABCD 为 正 方 形,PA ⊥ 平 面 ABCD,PD 与底面所成的角 为45°,E 为PD 的中点。 (1)求 证:AE ⊥ 平 面 PCD; (2)若AB=2,G 为△BCD 的内心,求直 线PG 与平面PCD 所成角的正弦值。 解析:(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂ 平面 ABCD,所以 PA⊥CD。同理 PA⊥ AD。因为 PD 与平面ABCD 所成的角为 45°,PA⊥平面ABCD,所以∠PDA=45°,且 ∠PDA=∠APD=45°,所以PA=AD。又 E 为PD 的中点,所以AE⊥PD。因为四边 形ABCD 为正方形,所以CD⊥AD。又CD ⊥PA,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, 所以 CD ⊥ 平 面 PAD。因 为 AE⊂ 平 面 PAD,所以CD⊥AE。因为PD∩CD=D, PD,CD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD。 (2)因为底面 ABCD 为正 方 形,G 为 △BCD 的内心,所以G 在对角线AC 上。 如图3,设正方形对角线的交点为O,所 以OG=GF,CG= 2OG,故CO=CG+OG =(2+1)OG,AC=2CO=2(2+1)·OG, 则AG=AO+OG=CO+OG=(2+2)· 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年4月 图3 OG= 2(1+ 2)OG,所以 AG = 2 2AC 。又因为AB=2,所以 AG=2。 由题意知 AB,AD,AP 两 两垂直,所以以A 为坐标原点, 图4 AB,AD,AP 所在直线分 别为x 轴,y 轴,z 轴,建立 如图4所示的空间直角坐 标系 A-xyz,所以 G(2, 2,0)。 由(1)知AP=AD,所 以P(0,0,2),D(0,2,0),E(0,1,1),所以 PG→=(2,2,-2)。 又因为AE⊥平面PCD,所以平面PCD 的一个法向量为AE→=(0,1,1)。 设直线PG 与平面PCD 所成角为θ,则 sin θ=|cos<AE→,PG→>|=|AE →·PG→| |AE→||PG→| = 2-2 4 。 点评:解决此题的关键是写出点G 的坐 标,底面ABCD 平面化后把圆与三角形内切 这一几何特征更直观地体现在平面图形中, 再利用平面几何知识可有效突破难点,此处 的降维处理为后续运算铺平道路。 三、综合法与向量法的灵活运用 对于空间角或距离问题,同学们比较擅 长用向量法来解决,但综合法有时也是一种 非常有效的方法。因此,在平时做题的过程 中,同学们可根据题意选择更恰当的方法来 简化计算与证明。 例 3 已知四面体A-BCD,AB=AD =BC=CD=2,AC= 3。 (1)证明:AC⊥BD; (2)若 BD=2 3,求直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值。 图5 解析:(1)如图5,取BD 的 中点为 M,连接AM,CM。因 为AB=AD=BC=CD,所以 BD⊥AM,BD⊥CM。又因为 AM∩CM=M,AM,CM⊂平 面 ACM,所 以 BD ⊥ 平 面 ACM。因为AC⊂平面ACM,所以AC⊥BD。 (2)方法一(综合法):因为BD=23,所 以 AM=CM=1。又 AC= 3,在△AMC 中,由余弦定理可求得∠AMC=120°。 由(1)可得BD⊥平面 ACM,所以平面 BCD⊥平面ACM。 图6 如图6,作 AH⊥CM 交 CM 的延长线于点H,因为平 面BCD⊥平面 ACM,平面 BCD ∩ 平 面 ACM =CM, AH⊂平面 ACM,所以 AH ⊥平面BCD,且AH= 3 2 。 设点B 到 平 面 ACD 的 距 离 为h,由 VB-ACD=VA-BCD,即 1 3S△ACD ·h= 1 3S△BCD · 3 2 ,可得h= 23 13 。 设直线AB 与平面ACD 所成角为θ,则 sin θ= h AB= 39 13 ,即直线 AB 与平面ACD 所成角的正弦值为 39 13 。 方法二(向量法):因为BD=23,所以 AM =CM =1。又 因 为 AC = 3,所 以 ∠AMC=120°。 由(1)可得BD⊥平面ACM,又BD⊂平 面BCD,所以平面BCD⊥平面ACM。 作AH⊥CM 交CM 的延长线于点 H, 因为平面BCD⊥平面ACM,平面BCD∩平 面ACM=CM,AH⊂平面 ACM,所以 AH ⊥平面BCD,且AH= 3 2 。 图7 如图7,以MB 为x轴, MC 为y 轴,在平面 ACH 中过 M 作z 轴∥AH,建立 空间直角坐标系 M-xyz,则 A 0,- 1 2 ,3 2 ,B(3,0, 0),C(0,1,0),D(- 3,0,0),所以 AC→= 0, 3 2 ,- 3 2 ,DC→ = (3,1,0),AB→ = 93 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年4月 3, 1 2 ,- 3 2 。 设平面 ACD 的一个法向量为n=(x, y,z),则 n·AC→=32y- 3 2z=0 , n·DC→= 3x+y=0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 令x=1, 得n=(1,- 3,-3)。 设直线AB 与平面ACD 所成角为θ,则 sin θ=|cos<AB→,n>|=|AB →·n| |AB→||n| = 39 13 ,即直 线AB 与平面ACD 所成角的正弦值为 39 13 。 点评:此题从运算量与书写简洁性的角 度来衡量可知综合法会略胜一筹。除了线面 角,还有线线角、面面角,以及点线距、点面距 等问题,求解时都有综合法的应用。因此,同 学们在复习度量关系时,不仅要掌握向量法, 还要学会灵活运用综合法,在不同的情境下 选取更恰当的方法,可以大大提高解题效率。 四、建立合适的空间直角坐标系 用向量法计算角或距离时,经常会遇到 如何建系的问题,建系的两大原则是把两两 垂直的三条直线作为坐标轴;尽可能地使更 多的点落在坐标轴上。在此基础上点的坐标 尽量简洁化,法向量要方便运算。 图8 例 4 如图8,在四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,BC⊥ CD,BC =2CD =2AD = 22,平 面 ABCD ⊥ 平 面 PAC。 (1)证明:PC⊥AB; (2)若PA=PC= 5 2AC ,M 是PA 的中 点,求平面MBC与平面PAC夹角的余弦值。 图9 解析:(1)如图9,取 BC 的中 点 为 N,连 接 AN,则 CN=AD=CD= 2。又AD ∥CN,BC⊥CD,所以四边形 ANCD 为正方形,则∠ANB = ∠ANC=90°,∠NAC= 45°。又在△ANB 中,AN =BN = 2,则 ∠BAN= π 4 ,所 以∠BAC= π 2 ,即 AB⊥ AC。又因为平面 ABCD⊥平面PAC,平面 ABCD ∩ 平 面 PAC =AC,AB ⊂ 平 面 ABCD,所以AB⊥平面PAC。又PC⊂平面 PAC,所以PC⊥AB。 图10 (2)如图10,连接DN, 交AC 于O,连接OP,因为 AD∥BN,AD=BN,所以 四边形ABND 是平行四边 形,所 以 ON∥AB。因 为 AB⊥平面 PAC,所以 ON ⊥平面PAC。又因为OP,OC⊂平面PAC, 所以ON⊥OP,ON⊥OC。 因为 PA=PC,所 以 OP⊥AC,所 以 ON,OC,OP 两两垂直。 以O 为坐标原点,ON,OC,OP 所在直 线分别为x 轴,y 轴,z轴,建立如图10所示 的空间直角坐标系 O-xyz,则 C(0,1,0), B(2,-1,0),M 0,- 1 2 ,1 ,所以CB→=(2, -2,0),CM→= 0,-32,1 。 设n=(x,y,z)是平面 MBC 的一个法 向量,则 n·CB→=2x-2y=0, n·CM→=-32y+z=0。 令x=2, 得n=(2,2,3)。 易知平面PAC 的一个法向量为m=(1, 0,0),所以cos<m,n>= 2 17 = 2 17 17 ,所以平 面MBC与平面PAC夹角的余弦值为 2 17 17 。 点评:因为BC⊥CD,所以此题有部分同 学以C 为坐标原点,CB、CD 所在直线为坐标 轴建系,此时B、D 两点的坐标中都会含有 2, 使法向量的运算量大大增加,徒增烦恼。解答 此题的关键是揭示ON,OC,OP 两两垂直。 总之,立体几何对同学们的空间想象能 力提出了一定要求,大家在平时复习中要厘 清概念,掌握定理;抓住主干,夯实基础;注重 通性通法,建立知识网络,同时也要注意思维 能力的培养。 (责任编辑 王福华) 04 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年4月