12 追根溯源，在变中寻找不变——以主体几何中的翻折问题为例-《中学生数理化》高考数学2025年4月刊

■江苏省天一中学 吴 艳 图形的翻折可以看成是将一个图形沿着 一条轴折叠,翻折是一个动态、变化的过程, 这个过程中充满着未知、不确定性。将平面 图形翻折后可以形成立体图形,因此,通过翻 折可以为平面几何和立体几何之间搭建桥 梁,常常受到命题者的青睐。本文以几道模 拟题为例,剖析翻折问题中的几类常见题型, 帮助大家解除处理此类问题时遇到的困扰。 一、翻折后有关线面位置关系的研究 在处理翻折问题中的位置关系时,要关 注翻折前后的变与不变,翻折前平面图形中 的垂直、平行等特殊位置关系在翻折后的立 体图形中是否依然成立,若成立,便可以成为 题目的隐含条件;若不成立,发生了怎样的变 化? 这是我们需要思考的。 例 1 如图1所示,在边长为4的菱形 ABCD 中,∠BAD= π 3 ,AC 与BD 相交于点 O,E 为线段 AO 上一点。如图2所示,将 △ABD 沿BD 折叠成三棱锥 A-BCD。证 明:BD⊥CE。 图1 图2 解析:在图1中,因为四边形 ABCD 是 边长为4的菱形,并 且∠BAD= π 3 ,所 以 △ABD,△CBD 均为等边三角形,故 AO⊥ BD,CO⊥BD,翻折后,依然成立。在图2 中,因为 AO⊂平面 ACO,CO⊂平面 ACO, 且AO∩CO=O,所以BD⊥平面ACO。又 因为CE⊂平面ACO,所以BD⊥CE。 点评:对于翻折后立体图形中位置关系 的证明,我们首先要分析翻折前平面图形中 线段之间的位置关系,并且关注这些位置关 系在翻折后的立体图形中是否仍然成立。一 般位于折痕同一侧的点、线、面之间的位置关 系不变,而位于折痕异侧的点、线、面之间的位 置关系会发生改变。因为图1中与BD 垂直 的AO,CO 在图2的立体图形中垂直关系保持 不变,所以可以运用这两个“不变”进行证明。 二、翻折后有关线段长度的研究 求解线段的长度也是翻折过程中的一类 典型问题。研究翻折前后图形中点、线、面的 位置变化和数量关系,进行有效的计算,是求 解线段长度的关键所在。有关线段长度的问 题大致分为两类:一类是可以围绕条件直接 对问题求解;另一类是需要对问题进行适当 的转化之后才能破解。 例 2 如图3所示,在 Rt△APB 中, ∠APB=90°,C 为PB 的中点,PA=PC= 1,取AC 的中点为D,连接 PD,BD。现把 △APC 沿着AC 翻折,形成三棱锥P-ABC, 如图4所示,此时PB= 3,取BC 的中点E, 连接PE,DE,记平面PAB 和平面PDE 的 交线为l,Q 为l上异于P 的一点。 图3 图4 (1)求证:PD⊥平面ABC; (2)若直线AQ 与平面PDB 所成角的正 弦值为 10 15 ,求PQ 的长度。 解析:(1)证明过程略。 (2)以 D 为坐标原点,DA,DP 所在直 线分别为x 轴,z轴,过D 垂直平面PAC 的 直线为y 轴,建立如图5所示的空间直角坐 标系 D-xyz,则 D(0,0,0),A 2 2 ,0,0 , P 0,0, 2 2 。 53 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年4月 图5 因 为 cos ∠BDC = BD2+CD2-BC2 2BD·CD = 5 2+ 2 2 2 -12 2× 10 2 × 2 2 = 25 5 ,所 以sin ∠BDC= 1-cos2 ∠BDC= 5 5 。 所以xB=-BDcos ∠BDC=- 10 2 × 25 5 =- 2 ,yB=BDsin ∠BDC= 10 2 × 5 5= 2 2 ,所以 B - 2, 2 2 ,0 ,于是 PB→= - 2, 2 2 ,- 2 2 ,PD→= 0,0,- 22 。 设平面PDB 的一个法向量为n=(x0,y0, z0),则 PD→·n=-22z0=0, PB→·n=-2x0+ 2 2y0- 2 2z0=0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 令 x0=1,得n=(1,2,0)。 设点Q 的坐标为(x1,y1,z1),则PQ→= x1,y1,z1- 2 2 ,AB→= -322 ,22,0 。 因为E 为BC 的中点,D 为AC 的中点, 所以 AB∥DE。又 AB⊄平面 PDE,DE⊂ 平面PDE,所以AB∥平面PDE。因为平面 PAB 和平面PDE 的交线为l,AB⊂平面 PAB,所以AB∥l。又Q 为l上异于P 的一 点,所以AB∥PQ,即PQ→ 与AB→ 共线。 设 PQ→=kAB→,则 x1=- 32 2 k ,y1= 2 2k ,z1= 2 2 ,故Q - 32 2k ,2 2k ,2 2 ,因此 AQ→= -322k- 2 2 ,2 2k ,2 2 。 设直线AQ 与平面PDB 所成角为θ,则 sin θ=|cos<AQ→,n>|=|n ·AQ→| |n||AQ→| = - 32 2k- 2 2+ 2k 5× 32 2k+ 2 2 2 + 1 2k 2+ 1 2 = 10 15 ,化 简得11k2-6k-5=0,解得k=1或k= - 5 11 。 当k=1时,PQ→=AB→= -322 , 2 2 ,0 ,则 |PQ|=|AB→|= 92+ 1 2=5 ; 当k=- 5 11 时,PQ→=-511AB →,则|PQ→| = 5 11|AB →|=5511。 综上可得,PQ= 5或PQ= 55 11 。 点评:由于点 Q 的位置不确定,无法直 接解出PQ。此时就需要我们充分研究翻折 后图形中点、线、面的位置关系,挖掘翻折前 后没有发生变化的量,将所要求解的长度问 题转化为研究点 Q 在线段PB 上的位置问 题,设置比例系数,将题设中直线AQ 与平面 PDB 所成角的正弦值用参数表示后,求得参 数的值,进而得到线段PQ 的值。 三、翻折后有关角度的研究 立体几何中有关角度的计算,常常会涉及 线线角、线面角、面面角,关注翻折前后图形的 变与不变,仍然是解决问题的突破口。在解答 题中,坐标法是处理角度问题的一种常用手 段,不管是线线角,还是线面角、面面角,最后 都可以转化为研究两个向量所成的角。 例 3 如图6,已知正△ABC 的边长为 4,其中AD→=3DB→,AE→=3EC→。如图7,现沿着 DE 翻折,将点 A 翻折到点 A'处,使得平面 A'BC⊥平面DBC,M 为A'C的中点。 图6 图7 (1)求异面直线A'D 与EM 所成角的余 弦值; (2)求平面 A'BC 与平面DEM 夹角的 余弦值。 解析:(1)取BC 的中点为O,DE 的中点 63 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年4月 图8 为O',连接A'O 与OO',如图 8。在正△ABC 中,因为 AD→ =3DB→,AE→=3EC→,所以DE ∥BC,DE= 3 4BC ,所以四边 形 DECB 为 等 腰 梯 形,故 OO'⊥DE,OO'⊥BC。由翻折性质可得A'E =A'D,∠A'EC=∠A'DB,EC=DB,则 △A'EC≌△A'DB,所以A'C=A'B。因为 O 是BC 的中点,所以A'O⊥BC。因为平面 A'BC⊥平面DBC,平面 A'BC∩平面 DBC =BC,A'O⊂平面 A'BC,所以 A'O⊥平面 DBC。因为 OO'⊂平面 DBC,所以 A'O⊥ OO'。 以O 为坐标原点,OC,OO',OA'所在直 线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图8所示 的空间直角坐标系O-xyz。 因为正△ABC 的边长为4,DE∥BC, DE= 3 4BC ,所以△A'DE 为正三角形,边长 为3,则A'O'⊥DE,所以A'O'= 33 2 ,OC= OB=2,OO'= 3 2 。 连接A'O',在△A'OO'中,由勾股定理 得 OA'= 33 2 2 - 3 2 2 = 6,所 以 A'(0,0,6),D - 3 2 ,3 2 ,0 ,E 32,32,0 , C(2,0,0),M 1,0, 6 2 。 所以 A'D→ = -32, 3 2 ,- 6 ,EM→ = - 1 2 ,- 3 2 ,6 2 ,所 以 cos<A'D→,EM→>= A'D→·EM→ |A'D→||EM→| = -3 3× 5 2 =- 10 5 。 因为 异 面 直 线 所 成 角 的 取 值 范 围 为 0, π 2 ,所以异面直线A'D 与EM 所成角的 余弦值为 10 5 。 (2)由(1)得A'(0,0,6),B(-2,0,0), C(2,0,0),D - 3 2 ,3 2 ,0 ,E 32,32,0 , M 1,0, 6 2 ,所 以 DE→=(3,0,0),DM→= 5 2 ,- 3 2 ,6 2 。 设平面DEM 的一个法向量为n=(x, y,z),则 DE→·n=3x=0, DM→·n=52x- 3 2y+ 6 2z=0 。 令 z=1,得n=(0,2,1)。 易知平面 A'BC 的一个法向量为m= (0,1,0),所以|cos<m,n>|= |m·n| |m||n|= 6 3 。 所以平面A'BC 与平面DEM 夹角的余 弦值为 6 3 。 点评:本题两个小问的求解都是建立坐 标系,用坐标的思想来处理所求的角,虽然一 个是求异面直线所成角,一个是求平面与平 面所成角,但是最后都转化成了求两个向量 所成角。当然,也可以用综合法去找到异面 直线A'D 与EM 所成角,以及平面A'BC 与 平面DEM 所成角的平面角,但是过程会烦 琐很多。 总之,研究翻折后立体图形中点线面的 位置关系问题、线段长度问题、角度问题一直 是命题的热点。处理这些问题的核心是要能 够抓住翻折前后关键点的位置,以点带线,以 线带面,关注翻折前后位置关系和数量关系 的“变”和“不变”,特别要关注在翻折这一动 态变化过程中“不变”的是什么,从已知条件 出发,追溯翻折后图形中的一些隐含条件,进 而进行有效的证明和运算。在复习立体几何 时,对动态翻折模型的深入研究,不仅能帮助 同学们更好地理解空间图形的形状和结构, 还能培养同学们的数学抽象、空间想象和逻 辑思维能力。在平面几何和立体几何之间灵 活转化,让立体几何尽量向平面几何转化,借 助平面几何的相关知识加以分析和处理,可 以事半功倍。 (责任编辑 王福华) 73 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年4月