内容正文:
当λ≠-
1
4
时,Δ=(4λ+3)2-4(4λ+1)(2λ
+1)≥0,解得-
5
4≤λ≤
5
4
且λ≠-
1
4
。
综上可得,-
5
4≤λ≤
5
4
。
所以对所有满足条件的平面α,点 M 都
落在某一条长为
5
2TB
的线段上。
点评:探究此类涉及立体几何中的综合
元素的存在性问题,需通过正确的数学运算
与科学的逻辑推理来判断综合元素的存在性
及其对应的应用问题,最终实现知识交汇与
综合能力等方面的提升。
基于立体几何场景下的存在性问题,通
过立体几何背景的巧妙设置,判断在某些确
定条件下的某一立体几何元素(点、线、数值
等)的存在性问题,全面考查立体几何中的位
置关系、图形特征、距离或夹角的大小关系
等。解决此类问题,往往先假设存在,再进行
数学运算或逻辑推理,若无矛盾则存在,若有
矛盾则不存在,可以全面考查同学们的空间
想象能力与逻辑推理能力,有利于考查同学
们的数学素质和创新能力,检测同学们的学
习潜能,具有很好的选拔性与区分度。
(责任编辑 王福华)
■江苏省启东中学 黄群力
立体几何模块是高考数学命题的一个基
本点与重点,其中空间角(包括异面直线所成
的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角
等)的计算与应用,成为高考命题与考查的重
中之重。在高考中,空间角的考查常常以解
答题的形式出现,其试题难度属于中高档。
一、异面直线所成的角问题
异面直线所成的角是空间中线线所对应
的角,借助定义及角的取值范围,经常可以通
过平面几何的平移法、空间图形的补形法、空
间向量的向量法或坐标法来处理,从而实现
空间角的求解与应用。
图1
例 1 如图1所示,在
正四面体A-BCD 中,棱BC,
AD 的中点分别为E,F,求异
面直线 AE,CF 所成角的余
弦值。
解法一:(平移法)通过添
图2
加辅助线,让异面直线 AE,
CF 所成的角在同一平面内,
再利用余弦定理求解。
如图2,连接DE,取DE
的中点M,连接 MC,MF,则
FM∥AE,所以∠MFC
就是
异面直线AE,CF 所成的角,设∠MFC=θ。
设BC=2,可求得AE=DE=FC= 3,
FM=
1
2AE=
3
2
,MC= EC2+EM2=
7
2
。
在△FMC
中,由余弦定理可得cos
θ=
FM2+FC2-MC2
2FM·FC =
3
2
2
+(3)
2
- 7
2
2
2×
3
2× 3
=
2
3
,即异面直线 AE,CF 所成角的余弦值
为
2
3
。
解法二:(基底法)选取模与夹角都已知
的一组向量作为基底,再利用夹角公式求解。
设正四面体A-BCD
的棱长为2,异面直
线AE,CF 所成角为θ,AD→=2a,AB→=2b,
AC→=2c,则AE→=b+c,FC→=2c-a。
因为|AE→|=|FC→|= 3,a·b=b·c=
c·a=
1
2
,所以可求得cos
θ=
|AE→·FC→|
|AE→||FC→|
=
|(b+c)·(2c-a)|
3 =
2
3
,即异面直线 AE,
CF 所成角的余弦值为
2
3
。
解法三:(坐标法)通过构造三条两两垂
22
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2025年4月
直的辅助线,建立空间直角坐标系,利用向量
的坐标运算求解。
在正四面体 A-BCD
中,作 AO⊥平面
图3
BCD 于点O,连接 BO 并延
长交CD 于点 H,以O 为坐
标原点,建立如图3所示的空
间直角坐标系O-xyz。
设OH=1,则OB=2,AE
=CF=BH=3,AO=22,CD
=AB=2 3,易 得 A(0,0,
22),B(0,-2,0),C(3,1,0),D(- 3,1,0),
E 3
2
,-
1
2
,0 ,F -32,12, 2 ,所以 AE→=
3
2
,-
1
2
,-22 ,FC→= 332 ,12,-2 。
设异 面 直 线 AE,CF 所 成 角 为θ,则
cos
θ=
|AE→·FC→|
|AE→||FC→|
=
2
3
,即异面直线 AE,
CF 所成角的余弦值为
2
3
。
点评:用向量法求异面直线所成角的一
般步骤:(1)根据空间线线的位置关系巧妙建
立空间直角坐标系;(2)确定对应点的坐标,
并确定两异面直线所对应的方向向量的坐
标;(3)利用空间向量的夹角公式求出向量夹
角的余弦值;(4)两异面直线所成角的范围是
0,
π
2 ,即两异面直线所成角的余弦值等于
两方向向量夹角的余弦值的绝对值。
二、直线与平面所成的角问题
直线和平面所成的角是空间中线面所对
应的角,借助定义及角的取值范围,经常可以
通过平面几何的定义法、空间几何体的等体
积法、空间向量的坐标法等来处理,从而实现
空间角的求解与应用。
图4
例 2 (2024年山东省
潍坊市高考数学模拟试卷)如
图4,在四棱锥P-ABCD 中,
底面 ABCD 为 矩 形,AD=
PD=2,CD=1,PC= 5,E
为棱PC 上的点,且BC⊥DE。
(1)证明:AD⊥PD;
(2)若
PE
CE=2
,求直线 DE 与平面PBC
所成角的正弦值。
解析:(1)因为四边形ABCD
为矩形,所
以BC⊥CD。又因为BC⊥DE,DE∩CD=
D,CD,DE⊂平面 PCD,所以 BC⊥平面
PCD。又因为 AD∥BC,所以 AD⊥平面
PCD。又PD⊂平面PCD,所以AD⊥PD。
(2)在△PCD
中,由PC2=PD2+CD2,
可知PD⊥CD。又 PD⊥AD,CD∩AD=
D,CD,AD⊂平面 ABCD,所以 PD⊥平面
图5
ABCD。以C 为坐标原点,
建立如图5所示的空间直
角坐标系 C-xyz,则 C(0,
0,0),B(0,2,0),A(1,2,
0),D (1,0,0),P (1,
0,2)。由
PE
CE =2
,可 知
E 13
,0,
2
3 ,所以DE→= -23,0,23 ,CP→=
(1,0,2),CB→=(0,2,0)。
设平面PBC 的一个法向量为n=(x,y,
z),则
CB→·n=2y=0,
CP→·n=x+2z=0。 令 x=-2,得
n=(-2,0,1)。
设直线DE
与平面PBC
所成角为θ,则
sin
θ=|cos<DE→,n>|=|DE
→·n|
|DE→||n|
=
4
3+
2
3
22
3 × 5
=
3 10
10
,即直线 DE
与平面PBC
所成角的正弦值为
3 10
10
。
点评:利用空间向量求线面角的解题步
骤:(1)建坐标系,根据图形与已知条件,构建
适当的空间直角坐标系;(2)求法向量,设直
线AB 与平面α所成的角为θ,求平面α的法
向量n 与直线AB 的方向向量AB→;(3)利用
公式,借 助 公 式cos<AB→,n>= AB
→·n
|AB→||n|
计
算;(4)得出结论,利用sin
θ=|cos<AB→,n>|
及直线和平面所成角的取值范围为 0,
π
2 ,
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2025年4月
即可得出直线与平面所成的角。要特别注意
的是:线面角的正弦值对应向量角的余弦值
的绝对值。
三、二面角的平面角问题
二面角的平面角是空间中面面所对应的
角,借助定义及角的取值范围,经常可以通过
平面几何的定义法或射影法,以及空间向量
的坐标法来处理,从而实现空间角的求解与
应用。
图6
例 3 (2024年河南省
襄城县 高 考 数 学 模 拟 试 卷)
如图6,矩 形 ABCD 与 半 圆
柱O'O 相接,半圆柱的轴截
面 DCEF⊥平 面 ABCD,线
段 DC 的中点为 O,M 是 EF︵ 上一点,AD
=1,AB=2,OM 与底面 ABCD 所成的角
为
π
4
。
(1)在线段AM 上有一点P 满足AP=
2PM,证明:MO∥平面PBD;
(2)若FM︵=2ME︵,求平面AMD 与平面
ABCD 的夹角的余弦值。
图7
解析:(1)如 图 7,连 接
AO,交BD
于点Q,连接PQ。
因为 OD∥AB,由 条 件 可 知
△AQB∽△OQD,所以
AQ
QO=
AB
DO=2
。因为 AP=2PM,所
以
AQ
QO=
AP
PM
,所以 MO∥PQ。又因为 MO⊄
平面PBD,PQ⊂平面PBD,所以 MO∥平面
PBD。
(2)作 MN⊥平面 ABCD 于点N,则点
N
在DC︵
上,连接ON,则ON
为OM
在平面
ABCD
内的射影,所以∠MON
为OM
与底
面ABCD
所成的角,即∠MON=
π
4
,所以
ON=MN=1。
以O
为坐标原点,过点O
且与DA
平行
的直线为x
轴,OC,OO'所在直线分别为y
轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图
8所示。
图8
因为 FM︵=2ME︵,所 以
∠CON=
π
3
,则D(0,-1,0),
M -
3
2
,1
2
,1 ,A(1,-1,
0),所以DA→=(1,0,0),DM→
= -
3
2
,3
2
,1 。
设平面AMD 的一个法向量为n=(x,
y,z),则
DA→·n=x=0,
DM→·n=- 32x+
3
2y+z=0
。 令
y=2,得n=(0,2,-3)。
易知平面 ABCD 的一个法向量为m=
(0,0,1),设平面AMD
与平面ABCD
的夹
角为α,则cos
α=|cos<n,m>|=
|n·m|
|n||m|=
3
13
=
3 13
13
,即平面 AMD
与平面ABCD
的夹角的余弦值为
3 13
13
。
点评:二面角的求解方法:(1)找法向量
法:分别求出二面角的两个半平面所在平面
的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹
角得到二面角的大小,但是注意结合实际图
形判断所求角的大小。(2)找与棱垂直的方
向向量法:分别在二面角的两个半平面内找
到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则
这两个向量的夹角的大小就是二面角的大
小。易错点提醒:二面角的范围是[0,π],要
结合图形判断取锐角还是钝角;平面与平面
的夹角的范围是 0,
π
2 ,两个平面法向量夹
角的余弦值的绝对值为平面与平面夹角的余
弦值。
总之,在求解空间角(异面直线所成的
角、直线与平面所成的角、二面角的平面角
等)时,根据具体问题的场景,选取与之对应
的技巧方法来分析与应用。同学们要掌握一
些基本的求解空间角的常见方法,使得问题
的求解更加灵活多变,巧妙实现空间想象能
力与数学运算能力的提升。
(责任编辑 王福华)
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