08 空间角的求解应用与策略-《中学生数理化》高考数学2025年4月刊

2025-05-06
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中学生数理化高中版编辑部
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资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高三
章节 -
类型 教案-讲义
知识点 -
使用场景 高考复习
学年 2025-2026
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 PDF
文件大小 657 KB
发布时间 2025-05-06
更新时间 2025-05-06
作者 中学生数理化高中版编辑部
品牌系列 中学生数理化·高考数学
审核时间 2025-05-06
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来源 学科网

内容正文:

􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨 当λ≠- 1 4 时,Δ=(4λ+3)2-4(4λ+1)(2λ +1)≥0,解得- 5 4≤λ≤ 5 4 且λ≠- 1 4 。 综上可得,- 5 4≤λ≤ 5 4 。 所以对所有满足条件的平面α,点 M 都 落在某一条长为 5 2TB 的线段上。 点评:探究此类涉及立体几何中的综合 元素的存在性问题,需通过正确的数学运算 与科学的逻辑推理来判断综合元素的存在性 及其对应的应用问题,最终实现知识交汇与 综合能力等方面的提升。 基于立体几何场景下的存在性问题,通 过立体几何背景的巧妙设置,判断在某些确 定条件下的某一立体几何元素(点、线、数值 等)的存在性问题,全面考查立体几何中的位 置关系、图形特征、距离或夹角的大小关系 等。解决此类问题,往往先假设存在,再进行 数学运算或逻辑推理,若无矛盾则存在,若有 矛盾则不存在,可以全面考查同学们的空间 想象能力与逻辑推理能力,有利于考查同学 们的数学素质和创新能力,检测同学们的学 习潜能,具有很好的选拔性与区分度。 (责任编辑 王福华) ■江苏省启东中学 黄群力 立体几何模块是高考数学命题的一个基 本点与重点,其中空间角(包括异面直线所成 的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角 等)的计算与应用,成为高考命题与考查的重 中之重。在高考中,空间角的考查常常以解 答题的形式出现,其试题难度属于中高档。 一、异面直线所成的角问题 异面直线所成的角是空间中线线所对应 的角,借助定义及角的取值范围,经常可以通 过平面几何的平移法、空间图形的补形法、空 间向量的向量法或坐标法来处理,从而实现 空间角的求解与应用。 图1 例 1 如图1所示,在 正四面体A-BCD 中,棱BC, AD 的中点分别为E,F,求异 面直线 AE,CF 所成角的余 弦值。 解法一:(平移法)通过添 图2 加辅助线,让异面直线 AE, CF 所成的角在同一平面内, 再利用余弦定理求解。 如图2,连接DE,取DE 的中点M,连接 MC,MF,则 FM∥AE,所以∠MFC 就是 异面直线AE,CF 所成的角,设∠MFC=θ。 设BC=2,可求得AE=DE=FC= 3, FM= 1 2AE= 3 2 ,MC= EC2+EM2= 7 2 。 在△FMC 中,由余弦定理可得cos θ= FM2+FC2-MC2 2FM·FC = 3 2 2 +(3) 2 - 7 2 2 2× 3 2× 3 = 2 3 ,即异面直线 AE,CF 所成角的余弦值 为 2 3 。 解法二:(基底法)选取模与夹角都已知 的一组向量作为基底,再利用夹角公式求解。 设正四面体A-BCD 的棱长为2,异面直 线AE,CF 所成角为θ,AD→=2a,AB→=2b, AC→=2c,则AE→=b+c,FC→=2c-a。 因为|AE→|=|FC→|= 3,a·b=b·c= c·a= 1 2 ,所以可求得cos θ= |AE→·FC→| |AE→||FC→| = |(b+c)·(2c-a)| 3 = 2 3 ,即异面直线 AE, CF 所成角的余弦值为 2 3 。 解法三:(坐标法)通过构造三条两两垂 22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年4月 直的辅助线,建立空间直角坐标系,利用向量 的坐标运算求解。 在正四面体 A-BCD 中,作 AO⊥平面 图3 BCD 于点O,连接 BO 并延 长交CD 于点 H,以O 为坐 标原点,建立如图3所示的空 间直角坐标系O-xyz。 设OH=1,则OB=2,AE =CF=BH=3,AO=22,CD =AB=2 3,易 得 A(0,0, 22),B(0,-2,0),C(3,1,0),D(- 3,1,0), E 3 2 ,- 1 2 ,0 ,F -32,12, 2 ,所以 AE→= 3 2 ,- 1 2 ,-22 ,FC→= 332 ,12,-2 。 设异 面 直 线 AE,CF 所 成 角 为θ,则 cos θ= |AE→·FC→| |AE→||FC→| = 2 3 ,即异面直线 AE, CF 所成角的余弦值为 2 3 。 点评:用向量法求异面直线所成角的一 般步骤:(1)根据空间线线的位置关系巧妙建 立空间直角坐标系;(2)确定对应点的坐标, 并确定两异面直线所对应的方向向量的坐 标;(3)利用空间向量的夹角公式求出向量夹 角的余弦值;(4)两异面直线所成角的范围是 0, π 2 ,即两异面直线所成角的余弦值等于 两方向向量夹角的余弦值的绝对值。 二、直线与平面所成的角问题 直线和平面所成的角是空间中线面所对 应的角,借助定义及角的取值范围,经常可以 通过平面几何的定义法、空间几何体的等体 积法、空间向量的坐标法等来处理,从而实现 空间角的求解与应用。 图4 例 2 (2024年山东省 潍坊市高考数学模拟试卷)如 图4,在四棱锥P-ABCD 中, 底面 ABCD 为 矩 形,AD= PD=2,CD=1,PC= 5,E 为棱PC 上的点,且BC⊥DE。 (1)证明:AD⊥PD; (2)若 PE CE=2 ,求直线 DE 与平面PBC 所成角的正弦值。 解析:(1)因为四边形ABCD 为矩形,所 以BC⊥CD。又因为BC⊥DE,DE∩CD= D,CD,DE⊂平面 PCD,所以 BC⊥平面 PCD。又因为 AD∥BC,所以 AD⊥平面 PCD。又PD⊂平面PCD,所以AD⊥PD。 (2)在△PCD 中,由PC2=PD2+CD2, 可知PD⊥CD。又 PD⊥AD,CD∩AD= D,CD,AD⊂平面 ABCD,所以 PD⊥平面 图5 ABCD。以C 为坐标原点, 建立如图5所示的空间直 角坐标系 C-xyz,则 C(0, 0,0),B(0,2,0),A(1,2, 0),D (1,0,0),P (1, 0,2)。由 PE CE =2 ,可 知 E 13 ,0, 2 3 ,所以DE→= -23,0,23 ,CP→= (1,0,2),CB→=(0,2,0)。 设平面PBC 的一个法向量为n=(x,y, z),则 CB→·n=2y=0, CP→·n=x+2z=0。 令 x=-2,得 n=(-2,0,1)。 设直线DE 与平面PBC 所成角为θ,则 sin θ=|cos<DE→,n>|=|DE →·n| |DE→||n| = 4 3+ 2 3 22 3 × 5 = 3 10 10 ,即直线 DE 与平面PBC 所成角的正弦值为 3 10 10 。 点评:利用空间向量求线面角的解题步 骤:(1)建坐标系,根据图形与已知条件,构建 适当的空间直角坐标系;(2)求法向量,设直 线AB 与平面α所成的角为θ,求平面α的法 向量n 与直线AB 的方向向量AB→;(3)利用 公式,借 助 公 式cos<AB→,n>= AB →·n |AB→||n| 计 算;(4)得出结论,利用sin θ=|cos<AB→,n>| 及直线和平面所成角的取值范围为 0, π 2 , 32 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年4月 即可得出直线与平面所成的角。要特别注意 的是:线面角的正弦值对应向量角的余弦值 的绝对值。 三、二面角的平面角问题 二面角的平面角是空间中面面所对应的 角,借助定义及角的取值范围,经常可以通过 平面几何的定义法或射影法,以及空间向量 的坐标法来处理,从而实现空间角的求解与 应用。 图6 例 3 (2024年河南省 襄城县 高 考 数 学 模 拟 试 卷) 如图6,矩 形 ABCD 与 半 圆 柱O'O 相接,半圆柱的轴截 面 DCEF⊥平 面 ABCD,线 段 DC 的中点为 O,M 是 EF︵ 上一点,AD =1,AB=2,OM 与底面 ABCD 所成的角 为 π 4 。 (1)在线段AM 上有一点P 满足AP= 2PM,证明:MO∥平面PBD; (2)若FM︵=2ME︵,求平面AMD 与平面 ABCD 的夹角的余弦值。 图7 解析:(1)如 图 7,连 接 AO,交BD 于点Q,连接PQ。 因为 OD∥AB,由 条 件 可 知 △AQB∽△OQD,所以 AQ QO= AB DO=2 。因为 AP=2PM,所 以 AQ QO= AP PM ,所以 MO∥PQ。又因为 MO⊄ 平面PBD,PQ⊂平面PBD,所以 MO∥平面 PBD。 (2)作 MN⊥平面 ABCD 于点N,则点 N 在DC︵ 上,连接ON,则ON 为OM 在平面 ABCD 内的射影,所以∠MON 为OM 与底 面ABCD 所成的角,即∠MON= π 4 ,所以 ON=MN=1。 以O 为坐标原点,过点O 且与DA 平行 的直线为x 轴,OC,OO'所在直线分别为y 轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图 8所示。 图8 因为 FM︵=2ME︵,所 以 ∠CON= π 3 ,则D(0,-1,0), M - 3 2 ,1 2 ,1 ,A(1,-1, 0),所以DA→=(1,0,0),DM→ = - 3 2 ,3 2 ,1 。 设平面AMD 的一个法向量为n=(x, y,z),则 DA→·n=x=0, DM→·n=- 32x+ 3 2y+z=0 。 令 y=2,得n=(0,2,-3)。 易知平面 ABCD 的一个法向量为m= (0,0,1),设平面AMD 与平面ABCD 的夹 角为α,则cos α=|cos<n,m>|= |n·m| |n||m|= 3 13 = 3 13 13 ,即平面 AMD 与平面ABCD 的夹角的余弦值为 3 13 13 。 点评:二面角的求解方法:(1)找法向量 法:分别求出二面角的两个半平面所在平面 的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹 角得到二面角的大小,但是注意结合实际图 形判断所求角的大小。(2)找与棱垂直的方 向向量法:分别在二面角的两个半平面内找 到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则 这两个向量的夹角的大小就是二面角的大 小。易错点提醒:二面角的范围是[0,π],要 结合图形判断取锐角还是钝角;平面与平面 的夹角的范围是 0, π 2 ,两个平面法向量夹 角的余弦值的绝对值为平面与平面夹角的余 弦值。 总之,在求解空间角(异面直线所成的 角、直线与平面所成的角、二面角的平面角 等)时,根据具体问题的场景,选取与之对应 的技巧方法来分析与应用。同学们要掌握一 些基本的求解空间角的常见方法,使得问题 的求解更加灵活多变,巧妙实现空间想象能 力与数学运算能力的提升。 (责任编辑 王福华) 42 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年4月

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