05 基于空间向量，妙解图形折叠-《中学生数理化》高考数学2025年4月刊

■山东省威海市实验高级中学 高 瑜 立足立体几何,借助平面几何图形折叠成 空间几何体,成为立体几何与空间向量知识模 块中比较特殊的一个基本应用场景,通过将一 平面图形翻折后变成空间图形,根据平面图形 的数量关系研究空间图形中各元素间的数量 关系、位置关系等综合应用问题,成为此知识 模块考查中的一个创新类型。解决此类涉及 图形折叠问题的关键是确定翻折前后相关元 素的不变与改变,结合几何推理或空间向量加 以分析与应用。 一、空间距离的计算 在图形折叠变化过程中,空间距离的计 算主要包括点到平面的距离或直线到平面的 距离等,经常采用空间向量法进行解答。 例 1 如图1,已知△ABC 为等边三角 形,D,E 分别为AC,AB 边的中点。如图2, 把△ADE 沿DE 折起,使点A 到达点P 的位 置,平面PDE⊥平面BCDE,若BC=4,求直 线DE 到平面PBC的距离。 图1 图2 解析:如图3,设DE 的中点为O,BC 的 图3 中点 为 F,连 接 OP,OF, OB,则OP⊥DE。 因为平面 PDE⊥平面 BCDE,平 面 PDE∩平 面 BCDE=DE,所以OP⊥平 面BCDE。 在△ABC 中,因为D,E 分别为AC,AB 边的中点,所以DE∥BC。 因为DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC, 所以DE∥平面PBC。 又因为 OF⊥DE,所以以 O 为坐标原 点,OE,OF,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴, z轴,建立如图3所示的空间直角坐标系O- xyz,则O(0,0,0),P(0,0,3),B(2,3,0), C(-2,3,0),F(0,3,0)。所以PB→=(2, 3,- 3),CB→=(4,0,0)。 设平面PBC 的一个法向量为n=(x,y, z),则 n·PB→=2x+ 3y- 3z=0, n·CB→=4x=0。 令y= 1,得n=(0,1,1)。 因为OF→=(0,3,0),所以点O 到平面 PBC 的距离d= |OF→·n| |n| = 3 2 = 6 2 。 因为点O 在直线DE 上,DE∥平面PBC, 所以直线DE 到平面PBC的距离为 6 2 。 点评:解决此类涉及图形折叠场景下空 间距离的计算问题的关键在于合理构建空间 直角坐标系,抓住图形折叠中的位置、数量等 方面的变化情况,确定对应向量的坐标、平面 的法向量,为进一步利用点到平面的距离公 式来分析与计算创造条件。 二、空间夹角的确定 在图形折叠变化过程中,空间夹角的确 定主要包括异面直线所成的角、直线与平面 所成的角、二面角的平面角等,一般采用空间 向量法进行解答。 例 2 (2024年江苏省苏北四市高考 数学质检试卷)已知一圆形纸片的圆心为O, 直径AB=2,圆周上有C,D 两点。如图4, OC⊥AB,∠AOD= π 6 ,P 是BD︵ 上的动点。 如图5,沿 AB 将纸片折为直二面角,连接 PO,PD,PC,CD。 图4 图5 51 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年4月 (1)当AB∥平面PCD 时,求PD 的长; (2)当三棱锥P-COD 的体积最大时,求 平面OPD 与平面CPD 夹角的余弦值。 解析:(1)因为AB∥平面PCD,AB⊂平 面OPD,平面OPD∩平面PCD=PD,所以 AB∥PD。 又因 为 ∠AOD = π 6 ,所 以 ∠ODP = ∠OPD= π 6 ,所以∠POD= 2π 3 。 又因为OD=OP=1,所以PD= 3。 (2)由题意知 OC⊥平面 POD,又因为 S△DOP= 1 2 ·OD·OP·sin ∠DOP,所以当 OD⊥OP 时,三棱锥P-COD 的体积最大。 图6 易知OC,OD,OP 两两垂 直,以O 为坐标原点,OC→,OP→, OD→ 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图6所示 的空间直角坐标系O-xyz,则 C(1,0,0),D(0,0,1),P(0,1,0),故 PC→= (1,-1,0),DP→=(0,1,-1)。 设平面CPD 的一个法向量为n1=(x, y,z),则 n1·PC→=x-y=0, n1·DP→=y-z=0。 取y=1,得n1 =(1,1,1)。 易知平面OPD 的一个法向量为n2=(1, 0,0),设平面OPD 与平面CPD 的夹角为θ, 则cos θ=|cos<n1,n2>|= |n1·n2| |n1||n2| = 3 3 。 所以平面 OPD 与平面CPD 夹角的余 弦值为 3 3 。 点评:解决此类涉及图形折叠场景下空 间夹角问题的关键在于合理构建空间直角坐 标系,通过空间坐标运算与数形结合,分析折 叠前后对应直线的平行、垂直关系,以及线段 的长度等,确定对应的向量坐标、平面的法向 量等,借助空间夹角(包括异面直线所成的 角,直线与平面所成的角,二面角的平面角 等)的类型,利用相应的计算公式来分析与求 解。 三、空间关系的证明 在图形折叠变化过程中,空间关系的证 明主要包括直线与平面的平行或垂直关系 等,可采用几何法进行逻辑推理,也可采用空 间向量法加以数学运算。 例 3 (2024年四川省成都市高考数 学诊断测试)如图7,在等腰 Rt△ABC 中, CD 是斜边AB 上的高。如图8,以CD 为折 痕把△ACD 折起,使点A 到达点P 的位置, 且∠PBD=60°,E,F,H 分别为PB,BC, PD 的中点,G 为CF 的中点。 图7 图8 (1)求证:GH∥平面DEF; (2)求直线GH 与平面PBC 所成角的正 弦值。 图9 解析:(1)如图9,连接 BH,与 ED 相交于点 M, 连接 MF。 在等腰Rt△ABC 中,因 为CD 是斜边AB 上的高,所 以AD=DB,即PD=DB。 因为∠PBD=60°,所以△PBD 是等边 三角形。 又因为E,H 分别为PB,PD 的中点,所 以DE,BH 是△PBD 的中线,BM= 2 3BH 。 因为F 为BC 的中点,G 为CF 的中点, 所以BF= 2 3BG ,所以 MF∥GH。 因 为 MF ⊂ 平 面 DEF,GH ⊄ 平 面 DEF,所以GH∥平面DEF。 图10 (2)因为CD⊥DB,CD⊥ DP,DB∩DP=D,DB,DP ⊂平面DBP,所以CD⊥平面 DBP。 如图10,过点 D 作直 线垂直平面BDC,建立空间 直角坐标系D-xyz。 61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年4月