04 例析立体几何中的最值问题-《中学生数理化》高考数学2025年4月刊

■广东省汕头市澄海中学 陈焕涛 立体几何中的最值问题一直是高考考查 的热点问题,也是难点问题,该类问题综合性 较强,解决思路比较灵活,考题主要以中档题 为主,偶尔以基础题或压轴题的形式出现。 下面结合实例,对立体几何中常见的最值问 题进行梳理,分析求解思路,提炼思想方法, 以期为同学们的复习备考提供一些帮助。 一、线段之和最小问题 此类问题的求解思路一般是将所求目标 线段通过翻折后放到同一个平面内,然后根 据两点之间线段最短的原理将问题转化为求 线段长度问题,再将线段置于三角形中,最后 利用正、余弦定理等解三角形知识进行求解。 图1 例 1 如图1所示,在 四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是 正 方 形,△PAB 是边长为1的正三角形,且 ∠PBC=∠PAD= π 2 ,E, F 分别是棱PD,PC 上的动点,H 为AB 的 中点。 (1)若E 为PD 的中点,证明:AE∥平面 PHC; (2)求AE+EF+BF 的最小值。 图2 解析:(1)如 图 2,取 PC 的 中 点 G,连 接 HG, EG,因为E、G 分别为PD、 PC 的中点,所以EG∥CD, 且EG= 1 2CD 。因为四边 形ABCD 为正方形,所以 AH∥CD,且 AH = 1 2CD 。所以AH∥EG,AH=EG,所以四 边形AHGE 为平行四边形,所以AE∥HG。 因为AE⊄平面PHC,HG⊂平面PHC,所 以AE∥平面PHC。 (2)由题意可知,PA=PB=AB=BC= CD=AD=1,则 PC=PD= 2,∠APD= ∠BPC=45°。 图3 将 平 面 PAD,PCD, PBC 展开到一个平面内,如 图3,则 AE+EF+BF 的最 小值即为展开图中AB 的长。 因 为 cos ∠CPD = PC2+PD2-CD2 2PC·PD = 3 4 ,所 以 sin ∠CPD = 7 4 。 所 以 cos ∠APB = cos(∠CPD+90°)=-sin ∠CPD=- 7 4 。 在△PAB 中,由余弦定理可得 AB2= PA2+PB2-2PA·PB·cos ∠APB=1+1 +2× 7 4= 8+27 4 = 7+1 2 2 ,所以 AB= 7+1 2 ,即AE+EF+BF 的最小值为 7+1 2 。 评注:本题有一定的基础性与综合性,求 解本题 第(2)问 的 第 一 个 关 键 点 是 将 平 面 PAD,PCD,PBC 展开到一个平面内;第二 个关键点是求cos ∠CPD 的值。这两个点 也是众多同学求解本题的思维痛点。 二、体积最值问题 图4 例 2 如 图 4 所 示,在 Rt△PAB 中,PA⊥AB,且PA =4,AB=2,将△PAB 绕直角 边PA 旋转 2π 3 到△PAC 处,得 到圆锥的一部分,D 是底面圆 弧BC(不含端点)上的一个动点。 (1)试问:是否 存 在 点 D,使 得 BC⊥ 21 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年4月 PD? 若存在,求出∠CAD 的大小;若不存 在,请说明理由。 (2)当四棱锥 P-ABDC 的体积最大时, 求平面PCD 与平面PBD 夹角的余弦值。 解析:(1)当 D 为圆弧BC 的中点,即 ∠CAD= π 3 时,BC⊥PD。理由如下: 因为D 为圆弧BC 的中点,所以∠CAD =∠BAD= π 3 ,即AD 为∠CAB 的平分线。 因为AC=AB,所以 AD 为等腰△CAB 的 高,即AD⊥BC。因为PA⊥AB,PA⊥AC, AB∩AC=A,AB⊂平面ABDC,AC⊂平面 ABDC,所以PA⊥平面ABDC,所以PA⊥ BC。因为 PA∩AD=A,所以 BC⊥平面 PAD,所以BC⊥PD。 (2)由(1)知,PA 为四棱锥P-ABDC 的 高,因为PA=4,所以当S四边形ABDC 取最大值 时,四棱锥P-ABDC 的体积最大。 设∠CAD=α,则∠BAD= 2π 3-α ,α∈ 0, 2π 3 ,所 以 S四边形ABDC =S△CAD +S△BAD = 1 2×2×2×sin α+ 1 2×2×2×sin 2π 3-α = 2sin α+sin2π3-α =23sinα+π6 。 又α∈ 0, 2π 3 ,则α+π6∈ π6,5π6 ,所 以当α= π 3 时,sinα+ π 6 =1,S四边形ABDC 取最 大值23,所以当四棱锥P-ABDC 的体积最 大时,∠CAD=∠BAD= π 3 。 过点A 在平面ABDC 内作直线AE⊥ AB,交圆弧BC 于点E,由题知AE,AB,AP 两两垂直,所以以 A 为坐标原点,AE,AB, 图5 AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z轴,建立如图5所示的空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz,则 A(0,0,0),P(0,0,4),B(0,2, 0),D(3,1,0),C(3,-1, 0),所以 PD→=(3,1,-4), CD→=(0,2,0),DB→=(- 3,1,0)。 设平面PCD 的一个法向量为n=(x1, y1,z1),则 n·PD→= 3x1+y1-4z1=0, n·CD→=2y1=0。 令 z1= 3,得n=(4,0,3)。 设平面PBD 的一个法向量为m=(x2, y2,z2),则 m·PD→= 3x2+y2-4z2=0, m·DB→=- 3x2+y2=0。 令x2=2,得m=(2,23,3)。 设平面PCD 与平面PBD 的夹角为θ, 则cos θ=|cos<m,n>|= |m·n| |m||n|= 11 19 ,所以 平面PCD 与平面PBD 夹角的余弦值为 11 19 。 评注:体积问题只需要分析几何体的底 面积和高,若底面积确定,则只需要分析高的 最值;若几何体的高确定,则只需要分析底面 积的最值;若几何体的底面积和高都不确定, 则需先寻找底面积与高的数量关系,再借助 函数或基本不等式来解决最值问题。本题研 究的几何体的高已知,此时只需求几何体的 底面积的最值即可。 三、线面角最值问题 图6 例 3 如图6,P 为圆锥 的顶点,O 是圆锥底面的圆心, AC 为 底 面 圆 O 的 直 径, △ABD 为底面圆O 的内接正 三角形,且边长为3,点E 在母 线PC上,且AE=3,CE=1。 (1)求证:PO∥平面BDE; (2)若 M 为线段PO 上的动点,当直线 DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时,求 此时点 M 到平面ABE 的距离。 图7 解析:(1)如图7,设 AC 交BD 于点F,连接EF,由圆 锥的 性 质 可 知 PO ⊥ 底 面 ABD。因 为 AC ⊂ 平 面 ABD,所以PO⊥AC。 在正△ABD 中,由 AD = 3,得AF= 3 2 ,AO= 2 3AF=1 ,所以AC 31 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年4月 =2。又 AE= 3,CE=1,所以 AC2=AE2 +CE2,即AE⊥PC。 因为 AE AC = AF AE = 3 2 ,所 以 △ACE∽ △AFE,所以∠AFE=∠AEC=90°,即EF ⊥AC。又 PO,AC,EF⊂平面 PAC,直线 EF∥PO,PO⊄平面BDE,EF⊂平面BDE, 所以直线PO∥平面BDE。 图8 (2)易知 PO=2EF= 3,以 F 为坐标原点,FA, FB,FE 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图8 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 F-xyz,则 A 3 2 ,0,0 , B 0, 3 2 ,0 ,D 0,- 32,0 ,E 0,0,32 , P 12 ,0,3 ,O 12,0,0 ,所 以 AB→ = - 3 2 ,3 2 ,0 ,AE→ = -32,0,32 ,DO→ = 1 2 ,3 2 ,0 ,OP→=(0,0,3)。 设平面ABE 的一个法向量为n=(x, y,z),则 AB→·n=-32x+ 3 2y=0 , AE→·n=-32x+ 3 2z=0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 令x= 1,得n=(1,3,3)。 设OM→=λOP→(0≤λ≤1),则 DM→=DO→ +OM→= 1 2 ,3 2 ,3λ 。 设直线DM 与平面ABE 所成的角为θ, 则sin θ=|cos<n,DM→>|=|n ·DM→| |n||DM→| = |3λ+2| 7× 3λ2+1 ,所以sin2θ= 9λ2+12λ+4 7(3λ2+1) = 1 7 3+ 12λ+1 3λ2+1 。 令y= 12x+1 3x2+1 ,x∈ [0,1],则 y= 12x+1 3x2+1 = 4 x+ 1 12 x2+ 1 3 = 4 × x+ 1 12 x+ 1 12- 1 12 2 + 1 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 = 4 x+ 1 12+ 49 144 x+ 1 12 - 1 6 ≤ 4 2 x+ 1 12 49 144 x+ 1 12 -16 =4,当且仅当 x= 1 2 时,等号成立,所以当x= 1 2 时,y= 12x+1 3x2+1 的最大值为4。 所以当λ= 1 2 时,sin θ的最大值为1,此 时 M 1 2 ,0, 3 2 ,所以 MA→= 1,0,- 32 。 所以 点 M 到 平 面 ABE 的 距 离 d= |MA→·n| |n| = 1- 3 2 7 = 7 14 ,故当直线DM 与 平面ABE 所成角的正弦值最大时,点 M 到 平面ABE 的距离为 7 14 。 评注:本题的综合性很强,第(1)问是位 置关系的证明,第(2)问是求线面夹角的最值 及点面距离,本题涉及了立体几何的大部分 知识,具有很高的训练价值,可以有效地帮助 同学们对知识进行系统化与结构化总结。 通过以上例题可知,解决立体几何中 的最值问题的一般思路有:(1)根据几何体 的结构特征,化动态为静态,直观判断在什 么情况下取得最值;(2)将几何体平面化, 如利用展开图,在平面几何图中直观求解; (3)利用传统方法或空间向量的坐标运算, 建立所求的目标函数,转化为函数的最值 问题求解;(4)通过引入参数,用参数表示 目标量,然后利用基本不等式求最值。因 此,同学们在平时的复习过程中,要把握好 常见最值问题的求解思路,掌握好模型构 建策略,养成勤于思考、勤于动手、善于总 结的良好习惯。 (责任编辑 王福华) 41 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年4月