03 剖析立体几何中的动点轨迹与范围(最值)问题-《中学生数理化》高考数学2025年4月刊

■河南省沈丘县第一高级中学 刘 玉 立体几何中有关动点轨迹与范围(最值) 问题,涉及空间中点、线、面的平行与垂直关 系,空间中距离、角度等的计算求解。既考查 同学们的空间想象、数学运算、逻辑推理等能 力,又渗透数形结合思想、转化与化归思想、 函数与方程思想等,知识覆盖面广,求解思维 量大,空间想象能力要求高,是历年高考命题 的热点和重点,也是同学们学习的难点。下 面从动点轨迹、范围(最值)两个方面展开分 析,供同学们在复习备考时参考。 考点一、动点轨迹问题 动点轨迹问题的命题新颖,不但能考查 立体几何中点、线、面之间的位置关系,而且 能巧妙地考查解析几何中求轨迹的基本方 法。常见的动点轨迹问题有球型、线段型、平 面型、二次曲线型,处理此类问题的主要思路 有交轨法、坐标法、转化法等,下面通过例题 予以剖析。 1.交轨法 图1 例 1 如图1所示,二 面角α-l-β的平面角的大小 为60°,A,B 是交线l上的 两个定点,且 AB=2,C∈ α,D∈β,满足 AB 与平面 BCD 所成的角为30°,点 A 在平面BCD 上 的射影H 在△BCD 的内部(包括边界),则 点 H 的轨迹的长度等于 。 图2 解析:如图2所示,因为 AB 与平面BCD 所成的角 为30°,点A 在平面BCD 上 的射影为 H,AB=2,所以 AH=AB·sin 30°=1,BH =AB·cos 30°= 3,所以 AH、BH 绕斜边 AB 旋转形成两个圆锥,其侧面的交 线 在 △BCD 内的部分即为点H 的轨迹。 在Rt△ABH 中,作 HO⊥AB,垂足为 O,因为AB=2,AH=1,BH= 3,所以OH = AH·BH AB = 3 2 。又二面角α-l-β 的平面 角的大小为60°,所以点 H 的轨迹是以O 为 圆心,OH 为半径,圆心角为 π 3 的圆弧。所以 点 H 的轨迹的长度等于 π 3× 3 2= 3π 6 。 故填 3π 6 。 点评:根据AB 与平面BCD 所成的角为 30°,得到AH、BH 的值为定值,继而确定点 H 的轨迹在两圆锥侧面的交线上,再由点 H 在△BCD 的内部(包括边界),得点 H 的轨 迹是以O 为圆心,OH 为半径,圆心角为 π 3 的 图3 圆弧。此外,点 H 的轨迹 还可以通过下面的方法得 到:如图3所示,设以A 为 球心,1为 半 径 的 球 面 为 O1,以 B 为 球 心,半 径 为 3的球面为O2。 由AH= 1,BH= 3,可得点 H 在球面O1 与球面O2 相交所形成的圆O 上,显然圆O 的半径r为 点H 到AB 的距离,故r= 3 2 。又因为点 H 在△BCD 的内部(包括边界),所以点 H 的 轨迹为圆O 上圆心角为 π 3 的圆弧,其轨迹长 度为 π 3× 3 2= 3π 6 。 2.坐标法 例 2 (多选题)如图4,在四棱锥 P- ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,PA⊥平 面ABCD,PA=AB=AD=2CD=4,AB∥ CD,AB⊥AD,已知点 M 在侧面PAD(含边 界)上运动,点 H 在底面ABCD(含边界)上 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年4月 图4 运动,则下列说法正确的是 ( )。 A.若点 H 到CD 的距离 等于其到平面PAB 的距离, 则点 H 的轨迹为抛物线的一 部分 B.若∠BMA=∠CMD,则点 M 的轨迹 为圆的一部分 C.若BM 与BD 所成的角为30°,则点 M 的轨迹为椭圆的一部分 D.若 CM 与平面 ABCD 所成的角为 30°,则点 M 的轨迹为双曲线的一部分 解析:对于 A,如图5,过点 H 作 HR⊥ 图5 CD 于点R,则点 H 到CD 的 距离为HR,过点 H 作HQ⊥ AB 于点Q。因为PA⊥平面 ABCD,HQ⊂平 面 ABCD, 所以 HQ⊥PA。因为 HQ⊥ AB,AB∩PA=A,AB,PA ⊂平面PAB,所以 HQ⊥平面PAB,所以点 H 到平面PAB 的距离为 HQ。因为 AB∥ CD,且点 H 到CD 的距离等于其到平面 PAB 的距离,所以点 H 的轨迹为线段AD 的垂直平分线的一部分,故A错误。 图6 对于B,建立如图6所 示的 空 间 直 角 坐 标 系 A- xyz,则A(0,0,0),B(0,4, 0),C(4,2,0),D(4,0,0), 设 M(x,0,z)。因为 BA ⊥DA,BA ⊥PA,DA ∩ PA=A,DA,PA⊂平 面 PDA,所以 BA⊥平 面 PDA,所 以 BA⊥ MA。同理可证CD⊥MD。又因为∠BMA =∠CMD,所以△BAM∽△CDM,所以 MA MD = AB DC =2 ,即 x 2+z2 (x-4)2+z2 =2,化 简 得 x- 16 3 2 +z2= 83 2 ,即点 M 的轨迹为圆 的一部分,故B正确。 对于C,BM→=(x,-4,z),BD→=(4, -4,0),因为BM 与BD 所成的角为30°,所 以|cos<BM→,BD→>|= |BM →·BD→| |BM|→|BD→| = |4x+16| x2+16+z2· 16+16 = 3 2 ,化 简 得 (x-8)2 48 + z2 16=1 ,即点 M 的轨迹为椭圆的一 部分,故C正确。 对于D,作 MM1⊥AD,则 M1(x,0,0), MM1⊥平面ABCD,所以CM 与平面ABCD 所成的角即为∠MCM1=30°。又|MM1|= |z|,|CM|= (4-x)2+4+z2,所以2|z| = (4-x)2+4+z2,化简得 z2 4 3 - (x-4)2 4 = 1,即点M 的轨迹为双曲线的一部分,故D正确。 故选BCD。 点评:由于本题利用几何法难以直观判 断出动点的轨迹是什么图形,因此借助空间 向量坐标法,将题中的几何关系转化为代数 形式,解出动点的坐标所满足的方程即可判 断出轨迹的形状。 考点二、范围(最值)问题 由于立体几何中点、线、面的运动,带动相 关的长度、面积、体积、空间角发生变化,进而 就有了范围(最值)问题。解题时可以通过定 性分析,把这类动态的变化过程充分地展现出 来,观察动点的位置变化,确定相关量的变化 规律,进而求得最大值或最小值。若用定性分 析比较难或繁时,可以建系或引进变量,利用 函数、三角或不等式等进行定量计算,当然,引 入新变量时要注意新变量的取值范围。 1.定性分析 例 3 已 知 点 P 在 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的表面运动,且 |PB|=|PD1|,则直 线AC与BP 所成角的余弦值的范围是( )。 A.0, 1 2 B.0,22􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 C.0, 10 5 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 D.0,155 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 解析:由 题 意 可 知,点 P 的 轨 迹 是 过 BD1 的中点 O 且垂直于 BD1 的平面与正 方体 ABCD-A1B1C1D1 表面的交线,如图 01 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年4月 图7 7所示,点P 的轨迹为依次连 接 A1B1,B1C1,C1C,CD, DA,AA1 的中点所形成的正 六边形。若E,F 是AA1,C1C 的中点,易知EF∥AC,所以直 线AC与BP 所成角,即为EF 与BP 所成角。所以当点P 在点E,F 处时所 成角最小,此时余弦值为 10 5 ;当EF⊥BP 时 所成角最大,此时余弦值为0。所以AC与BP 所成角的余弦值的范围 0, 10 5 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。 故选C。 点评:当点P 运动时,|PB|=|PD1|始终 不变,由此可得动点P 在过BD1 的中点O 且垂 直于BD1 的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1 表面的交线上,根据点P 的运动区域,找到两个 极端位置,用特殊法即可求解角的范围。 2.定量分析 例 4 在棱长为1的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 BC、CC1 的中 点,动点P 在正方形BCC1B1(包括边界)内 运动。若PA1∥平面 AMN,则PA1 的最小 值是( )。 A. 32 4 B. 5 4 C. 6 4 D. 6 2 解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 图8 所在直线分别为x 轴,y 轴, z轴,建立如图8所示的空 间直 角 坐 标 系 D-xyz,则 A(1,0,0),M 12 ,1,0 , N 0,1, 1 2 ,A1(1,0,1)。设 点P(x,1,z),其中x,z∈ [0,1]。设平面 AMN 的一个法向量为n= (x1,y1,z1),又 MA→= 12,-1,0 ,MN→= - 1 2 ,0, 1 2 ,PA1→=(1-x,-1,1-z),则 n·MA→=12x1-y1=0, n·MN→=-12x1+ 1 2z1=0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 取 x1=2,得 n=(2,1,2)。因为PA1∥平面AMN,所以PA1→· n=2(1-x)-1+2(1-z)=0,即x+z- 3 2=0 , 所 以|PA1→ |= (1-x)2+1+(1-z)2 = (1-x)2+1+ x- 1 2 2 = 2x2-3x+ 9 4 = 2x- 3 4 2 + 9 8 。因为x∈[0,1],所以 当x= 3 4 时,|PA1→|取最小值 32 4 ,即PA1 的 最小值为 32 4 。 故选A。 点评:本题以动点问题为背景,考查空间 中线面、线线位置关系。解题时通过建立空 间直角坐标系,设出点P 的坐标,根据PA1∥ 平面AMN 找到点P 的坐标中x,z 之间所 满足的关系,再利用距离公式和消元法将距 离问题转化为函数的最值问题求解。此外, 本题还可以利用定性分析法处理,关键在于 确定动点 P 的运动区域,由于在点 P 运动 时,始终有PA1∥平面AMN,因此只需作出 过点A1 平行于平面AMN 的平面α,以及平 面α与侧面BCC1B1 的交线,就可以得出点 P 的运动轨迹,从而求出 PA1 的最小值,读 者可自行尝试。 通过对以上例题的探究,发现立体几何 中的动点轨迹和范围(最值)问题也是有“法” 可依,有“章”可循的。解决轨迹问题时要善 于从多角度思考,寻求运动变化的实质,总结 常见题型和几何模型,重点关注变化中不变 的量或位置关系,从静态因素中,找到解决问 题的突破口,也可以将几何问题代数化,通过 计算求出动点轨迹。而对于在动态变化过程 中产生的最值(或范围)问题,可通过定性分 析,即判断在变化过程中点、线、面在何位置 时,所求的量有相应最值;或利用定量计算, 即通过建系或引入变量,把这类动态问题转 化为目标函数,从而利用代数方法求目标函 数的最值即可。 (责任编辑 王福华) 11 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年4月