01 空间向量在求解空间角与空间距离方面的应用剖析-《中学生数理化》高考数学2025年4月刊

■郑州市第二外国语学校 郝松宝(正高级教师) 高三数学二轮复习呈现出系统性与循序 渐进性的特征,就立体几何板块而言,空间角 和空间距离是描述空间图形元素位置关系的 基本几何量,求解空间角和空间距离是立体 几何中的重要问题,也是高考考查的重点。 常规的几何法存在作辅助线多、技巧性强、运 算量大等难点,向量进入高中教材后,为立体 几何带来新活力与方法,空间向量作为一种 极具效能的工具,在解决空间角、空间距离等 复杂问题时,提供了便捷且普适的途径。从 高考考查视角来看,空间角和空间距离着重 考查同学们的直观想象、逻辑推理、数学运算 等核心素养。通过对近几年高考的命题情况 进行分析,可知空间角和空间距离问题为高 考常考内容,多以解答题的形式呈现,试题难 度适中,命题常以柱体、锥体作为背景素材, 预测2025年高考仍会沿袭这一趋势。 一、利用空间向量求空间角 图1 例 1 (2023年新高 考Ⅱ卷改编)如图1,在三 棱锥A-BCD 中,DA=DB =DC,BD⊥CD,∠ADB =∠ADC=60°,E 为 BC 的中 点,点 F 满 足 EF→= DA→,求二面角D-AB-F 的正弦值。 解析:设 DA=DB=DC=2,由∠ADC =∠ADB=60° ,可知△ADC 和△ADB 都 为等边三角形,所以AB=AC=2。 又因为BD⊥CD,所以BC=22,所以 AB2+AC2=BC2,所以△ABC 为等腰直角 三角形,且∠BAC=90°,所以AE= 2,所以 AE2+DE2=AD2,所以AE⊥DE。 又因为BC⊥AE,DE∩BC=E,DE⊂ 平面 BCD,BC⊂ 平面BCD,所以AE⊥平面BCD。 图2 如图2,以E 为坐标 原点,ED,EB,EA 所在 直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 E-xyz,则 E(0,0,0), D(2,0,0),B(0,2,0), A(0,0,2)。 设F(x,y,z),则EF→=(x,y,z)=DA→ =(- 2,0,2),所以F(- 2,0,2),AB→= (0,2,- 2),BF→=(- 2,- 2,2)。 设平面DAB 的一个法向量为m=(x1, y1,z1),则 m·DA→=- 2x1+ 2z1=0, m·AB→= 2y1- 2z1=0。 令 x1=1,得y1=1,z1=1,所以m=(1,1,1)。 设平面FAB 的一个法向量为n=(x2,y2, z2),则 n·BF→=-2x2-2y2+2z2=0, n·AB→=2y2-2z2=0。 令 y2=1,得x2=0,z2=1,所以n=(0,1,1)。 所以|cos<m,n>|= |m·n| |m||n|= 2 3× 2 = 6 3 ,则sin<m,n>= 3 3 。 所以二面角D-AB-F 的正弦值为 3 3 。 评注:本 题 在 求 二 面 角 时,首 先,准 确 地判断坐 标 原 点 的 位 置,建 立 合 适 的 空 间 直角坐标系;其次,求出两个相关平面的法 向量,正确 判 断 二 面 角 与 法 向 量 夹 角 的 关 系。有些同学可能在列方程组求解法向量 时出现计 算 错 误,或 者 在 判 断 二 面 角 是 锐 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年4月 角还是钝 角 时 出 现 失 误,从 而 导 致 最 终 结 果错误。 例 2 (新情境问题)三个“臭皮匠”在 阅读一本材料时发现,原来空间直线与平面 也有方程,即过点P(x0,y0,z0)且一个法向 量为n=(a,b,c)的平面α 的方程为a(x- x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,过点P(x0, y0,z0)且方向向量为v=(m,n,t)(mnt≠0) 的直线l的方程为 x-x0 m = y-y0 n = z-z0 t 。 三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题:“已 知平面α 的方程为x-y+z+1=0,直线l 是平面x-y+2=0与平面2x-z+1=0的 交线,则直线l与平面α所成角的正弦值是多 少?”想着这次可以难住“诸葛亮”了,谁知“诸 葛亮”很快就算出了答案。请问答案是多少? 解析:因为平面α的方程为x-y+z+1 =0,所以其法向量可取p=(1,-1,1),同 理,平面x-y+2=0的法向量可取m=(1, -1,0),平面2x-z+1=0的法向量可取 n=(2,0,-1)。 因为直线l是平面x-y+2=0与平面 2x-z+1=0的交线,设其方向向量为μ= (s,t,q),所以 m·μ=s-t=0, n·μ=2s-q=0。 令s=1,得 μ=(1,1,2)。 设直 线l 与 平 面α 所 成 角 为θ,θ∈ 0, π 2 ,则 sin θ = |cos<p,μ>| = p·μ |p||μ| = 2 3× 6 = 2 3 。 故答案为 2 3 。 评注:本题以“臭皮匠”编题难住“诸葛 亮”情境引入,增添趣味性与故事性,激发同 学们的解题兴趣,提升学习积极性。把空间 直线、平面方程新知识与传统空间向量知识 巧妙融合,拓宽同学们的知识面,考验知识整 合能力。本题对运算能力要求高,锻炼同学 们在复杂运算中的准确性与耐心。 二、利用空间向量求空间距离 例 3 (2025年高考模拟)如图3,直线 图3 PD 垂直于梯 形 ABCD 所在 的 平 面,∠ADC= ∠BAD=90°,F 为线段 PA 上 一 点,PD = 2, AB=AD= 1 2CD=1 ,四 边形PDCE 为矩形。 (1)若F 是PA 的中点,求证:AC∥平面 DEF; (2)求直线AE 与平面BCP 所成角的正 弦值; (3)若点F 到平面BCP 的距离为 1 6 ,求 PF 的长。 解析:(1)设CP∩DE=G,连接FG,因 为四边形PDCE 为矩形,所以G 为PC 的中 点。又因为F 为PA 的中点,所以AC∥FG。 因为FG⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,所以 AC∥平面DEF。 (2)以 D 为坐标原点,DA,DC,DP 所 图4 在直线分别为x 轴,y 轴,z轴,建立如图4所 示 空 间 直 角 坐 标 系 D-xyz,则A(1,0,0), B(1,1,0),C(0,2,0), P(0,0,2),E(0,2, 2),所以BC→=(-1, 1,0),CP→=(0,-2,2),AE→=(-1,2,2)。 设平面BCP 的一个法向量为n=(x,y, z),则 BC→·n=-x+y=0, CP→·n=-2y+ 2z=0。 令y=1,得 x=1,z= 2,所以n=(1,1,2)。 设直线AE 与平面BCP 所成角为θ,所 以sin θ=|cos<AE→,n>|=|AE →·n| |AE→||n| = 37 14 。 所以直线AE 与平面BCP 所成角的正 弦值为 37 14 。 (3)由(2)知PA→=(1,0,- 2),设PF→= λPA→=(λ,0,- 2λ),λ∈[0,1],由平面BCP 的法向量为n=(1,1,2),得点 F 到平面 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年4月 BCP 的距离d= |PF→·n| |n| = |λ| 2 = 1 6 ,解得 λ= 1 3 (负值舍去),且PF→= 1 3 ,0,- 2 3 ,所 以|PF→|= 19+ 2 9= 3 3 。 所以PF 的长为 3 3 。 评注:本题主要考查立体几何中的线面 平行、线线垂直证明,以及线面角、点到平面 的距离等重要知识点。综合考查同学们对这 些知识的理解与运用能力,涵盖面广且重点 突出,符合高考对立体几何部分的考查要求。 整体难度适中,能有效区分不同层次的考生。 图5 例 4 (2025年高考模 拟)如图5,四边形ABCD 是圆 柱OE 的轴截面,点F 在底面 圆O 上,圆O 的半径为1,AF =3,G 是线段BF 的中点。 (1)证 明:EG ∥ 平 面 DAF; (2)若直线 DF 与圆柱底面所成角为 45°,求点G 到平面DEF 的距离。 图6 解析:(1)取 AF 的中点 M,连接 DM,GM,如图6所 示。因为G 为BF 的中点,所 以 GM∥AB。又因为 AB∥ DE,所以 GM∥DE。由 GM = 1 2AB ,DE= 1 2AB ,得GM =DE,所以四边形DEGM 为平行四边形,所 以DM∥EG。又因为 DM⊂平面 DAF,EG ⊄平面DAF,所以EG∥平面DAF。 (2)因为 OB=1,AF= 3,∠AFB= 90°,所以 BF= AB2-AF2 = 4-3=1。 图7 因为 DA⊥平面 ABF,且 直线 DF 与圆柱底面所成 角 为 45°,所 以 ∠AFD= 45°,则有AD=AF= 3。 如图7,以F 为坐标原 点,FB,FA 所在直线分别 为x 轴,y 轴,过F 垂直于 底面的直线FN 为z 轴,建立空间直角坐标 系F-xyz,则F(0,0,0),A(0,3,0),B(1, 0,0),G 12 ,0,0 ,D (0,3,3),C(1,0, 3),E 1 2 ,3 2 ,3 ,所以FD→=(0,3,3), FE→= 1 2 ,3 2 ,3 ,EG→= 0,- 32,- 3 。 设平面 DEF 的一个法向量为n=(x, y,z),则 FD→·n= 3y+ 3z=0, FE→·n=12x+ 3 2y+ 3z=0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 令 y=1,得x= 3,z=-1,所以n=(3,1, -1)。 设点G 到平面DEF 的距离为d,则d= |EG→·n| |n| = - 3 2+ 3 5 = 15 10 。 所以点G 到平面BEF 的距离为 15 10 。 评注:本 题 的 优 点 突 出,有 如 下 几 个 方 面:其一,知识点覆盖全,涵盖线面垂直、线线 垂直、建系、向量运算、法向量求法、线面角及 点到平面的距离公式等,全面考查同学们对 立体几何知识的掌握情况。其二,思维层次 递进,从证明垂直到用向量法求解,要求高。 其三,方法典型,展示向量法处理相关问题。 其四,条件设置灵活,如第(2)问正弦值未明 确,考验同学们的应变与知识运用能力。 总之,立体几何的题目考查形式多样,且 难度相对稳定,需要同学们在平时下功夫,精 选各类用空间向量求空间角与空间距离的例 题,熟练掌握其求解思路与步骤,明晰方法。 通过向量法与几何法的对比,了解各自的优 劣,我们才能根据题目灵活选用。 注:本文系2023年度河南省教育科学规 划课题“培养高中生数学抽象素养的教学策 略研究”(课题编号:2023YB0666)和2021年 度河南省基础教育教学研究项目“基于高中 生数据分析素养的教学策略研究”(课题编 号:JCJYC2103zy099)的研究成果。 (责任编辑 王福华) 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年4月