18 2024年高考空间位置关系、几何体的体积四类经典冋题揭秘-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■姚文涛 2024年高考对空间位置关系和几何体 的体积主要围绕“空间位置关系的判断、求旋 转体和多面体的体积、几何体中的特殊模型 的计算”等展开,凸显“空间问题平面化、特殊 化、模型化”的数学素养。 经典一:空间位置关系的判断 例1 (2024年高考天津卷)若 m,n 为 两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论 中正确的是( )。 A.若m∥α,n⊂α,则m∥n B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n D.若m∥α,n⊥α,则m 与n相交 解析:根据线面平行的性质与线面垂直 的性质即可判断。对于A,若m∥α,n⊂α,则 m,n平行或异面,A错误。对于B,若m∥α, n∥α,则m,n平行或异面或相交,B错误。对 于C,m∥α,n⊥α,过 m 作平面β,使得β∩ α=s,由m⊂β,可知m∥s,而s⊂α,所以n⊥ s,所以m⊥n,C正确。对于D,若m∥α,n⊥ α,则m 与n相交或异面,D错误。应选C。 揭秘:空间中线面、面面的平行与垂直关 系的判断,要结合相关的定义、定理及结论进 行逻辑推理,也可借助长方体或正方体模型 进行判断。 经典二:特殊多面体的性质探究中的垂 直关系 例2 (2024年高考北京卷)如图1,以边 长为4的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱 长分别为4,4,2 2,2 2,则该四棱锥的高 为( )。 图1 A. 2 2 B. 3 2 C.23 D.3 解析:利用两对侧棱分别相等,合理分 类,探究面面垂直,确定四棱锥的高。 当相 邻 的 棱 长 相 等 时,不 妨 设 PA= PB=AB=4,PC=PD=22,分别取AB, CD 的中点E,F,则PE⊥AB,EF⊥AB。由 PE∩EF=E,PE,EF⊂平面 PEF,可知 AB⊥平面 PEF。因为 AB⊂平面 ABCD, 所以平面PEF⊥平面ABCD。 过点 P 作EF 的垂线,垂足为O,可得 PO⊥EF。由 平 面 PEF∩平 面 ABCD= EF,PO ⊂ 平 面 PEF,可 得 PO ⊥ 平 面 ABCD。由题意得PE=23,PF=2,EF= 4,则PE2+PF2=EF2,所以PE⊥PF,所以 1 2PE ·PF = 1 2PO ·EF,可 得 PO = PE·PF EF = 3 ,所以四棱锥的高为 3。 当相 对 的 棱 长 相 等 时,不 妨 设 PA= PC=4,PB=PD=22。因为BD=42= PB+PD,此时不能构成三角形PBD,与题 意不符合,所以这样的情况不存在。应选D。 揭秘:两对侧棱分别相等,且底面为正方 形的四棱锥求高,关键是研究其几何特征。 合理分类确定顶点在底面上的射影位置,涉 及线线、线面、面面垂直的判定和性质,凸显 垂直关系中的合理转化,以及空间想象和逻 辑推理的数学素养。 经典三:旋转体的体积的计算 例3 (2024年高考全国卷)已知甲、乙 两个圆台的上、下底面半径均为r1 和r2,母 线长分别为2(r2-r1)和3(r2-r1),则这两 74 经典题突破方法 高一数学 2025年4月 个圆台的体积之比 V甲 V乙= 。 解析:根据已知条件和圆台的结构特征, 分别求出两圆台的高,再根据圆台的体积公 式计算即得结果。为了帮助解答,不妨画出 一个如图2所示的圆台,其中上、下底面的半 径分别为r1 和r2,母线长为l,高为h。 图2 由题意结合图2得这两个圆台的高分别 为h甲= [2(r2-r1)]2-(r2-r1)2= 3(r2 -r1),h乙 = [3(r2-r1)]2-(r2-r1)2 = 22(r2-r1)。 所以 V甲 V乙= 1 3 (S2+S1+ S2S1)h甲 1 3 (S2+S1+ S2S1)h乙 = h甲 h乙= 3(r2-r1) 22(r2-r1) = 6 4 。 揭秘:高考对旋转体的考查多为球与几 何体的切接问题,2023年和2024年换成了 圆台、圆锥侧面积与体积问题。解题时,要注 意圆台的特征属性。 经典四:割补法探究非规则几何体的体积 例4 (2024年高考天津卷)如图3,在五 面体 ABC-DEF 中,已知 AD∥BE∥CF,且 两两之间的距离为1,AD=1,BE=2,CF= 3,则该五面体的体积为( )。 图3 A. 3 6 B. 33 4 + 1 2 C. 3 2 D. 33 4 - 1 2 解析:采用补形法,补成一个棱柱,求出 其直截面,再求体积。 用一个完全相同的五面体 HIJ-LMN (顶点与五面体 ABC-DEF 一一对应)与该 五面体相嵌,使得D 与L,E 与M,F 与N 重 图4 合,如图4所示。因为 AD∥BE∥CF,且两两 之间的距离为1,AD= 1,BE=2,CF=3,所以 形成的新组合体为一个 三棱柱。该三棱柱的直 截面(与侧棱垂直的截 面)为边长为1的等边 三角形,三条侧棱长都是1+3=2+2=3+ 1=4,所以VABC-DEF= 1 2VABC-HIJ= 1 2× 1 2× 1×1× 3 2×4= 3 2 。应选C。 揭秘:求几何体的体积的四种方法:分割 法,补体法,还台为锥法,等积变换法(如求三 棱锥的体积可灵活变换顶点与底面)等。这 是计算一些不规则几何体体积的常用方法, 同学们应熟练掌握。 已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面 积相等,且它们的高均为 3,则圆锥的体积 为( )。 A.23π B.33π C.63π D.93π 提示:设圆柱的底面半径为r,则圆锥的 母线长为 r2+3。因为它们的侧面积相等, 所以2πr× 3=πr× 3+r2,整理得23= 3+r2,解得r=3。故圆锥的体积为 1 3π× 9× 3=33π。应选B。 作者单位:河南省洛阳市洛阳理工学院 附属高级中学 (责任编辑 郭正华) 84 经典题突破方法 高一数学 2025年4月