16 立体几何中探索性问题的“创新”-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■雍志剑 立体几何中的探索性问题,立意新颖,形 式多样,既可以考查同学们的空间想象力,又 可以考查同学们的意志力和探究创新意识, 逐步成为近几年高考命题的热点和今后命题 的趋势之一。其主要有两类:一是推理型,即 探究空间中的平行与垂直关系,可以利用空 间的线面关系的判定与性质定理进行推理探 究;二是计算型,即对几何体中的空间角与距 离、几何体的体积等计算型问题的探究。求 解此类问题多通过求角、求距离、求体积等的 基本方法,将其转化为关于某个参数的方程, 根据方程解的存在性来解决。 创新1:“几何法”探究以“平行”为背景 的探索性问题 例1 如图1,四棱锥S-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD=60°, SA=SD=5,SB=7,点E 是棱AD 的中点, 点F在棱SC上,且 SF SC=λ ,SA∥平面BEF。 图1 (1)求实数λ的值。 (2)求三棱锥F-EBC 的体积。 解析:(1)利用三角形的相似,建立比例 关系求值。设AC∩BE=G,则平面SAC∩ 平面EFB=FG。因为SA∥平面EFB,所以 SA∥FG。因为△GEA∽△GBC,所以 AG GC= AE BC= 1 2 ,所以SF FC= AG GC = 1 2 ,所以 SF= 1 3SC ,所以λ= 1 3 。 (2)先确定三棱锥的高,再求三棱锥的体 积。因为SA=SD= 5,所以SE⊥AD,所 以SE=2。因为底面 ABCD 是边长为2的 菱形,且∠BAD=60°,所以 EB= 3,所以 SB2=SE2+EB2=7,所以SE⊥EB,所以 SE⊥平面 ABCD,所以VF-EBC= 2 3VS-EBC= 1 3VS-ABCD= 1 3× 1 3×2×2 2×sin60°= 43 9 。 追根溯源:直线和平面平行的探索性问 题,要灵活利用空间几何体的结构特征,注意 平行与垂直及长度之间的关系,取特殊点构 造辅助面完成线面平行,其中依据性质定理 作辅助线和辅助面是求解的关键。本题确定 SC 的三等分点F,使得所求体积进行合理转 化,凸显空间问题平面化的特点。 创新2:“几何法”探究以“垂直”为背景 的探索性问题 例2 在长方体ABCD-A1B1C1D1 中, E,F 分别是AD,DD1 的中点,AB=BC=2, 过A1、C1、B 三点的平面截去长方体的一个 角后 得 到 如 图 2 所 示 的 几 何 体 ABCD- A1C1D1,且这个几何体的体积为 40 3 。 图2 (1)求证:EF∥平面A1BC1。 (2)求A1A 的长。 (3)在线段BC1 上是否存在点 P,使直 线 A1P 与 C1D 垂 直? 如 果 存 在,求 线 段 A1P 的长;如果不存在,请说明理由。 93 创新题追根溯源 高一数学 2025年4月 解析:(1)利用几何特征和平行线的传递 性进行证明。在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,可知AB∥D1C1,AB=D1C1,所以四边形 ABC1D1 是平行四边形,所以 AD1􀱀BC1。 因为 E,F 分别是 AD,DD1 的中点,所以 AD1∥EF,所以 EF∥BC1。又 EF⊄平面 A1BC1,BC1⊂平面 A1BC1,所以EF∥平面 A1BC1。 (2)利用割补法求体积。由题意可知, VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=2×2× AA1- 1 3× 1 2×2×2×AA1= 10 3AA1= 40 3 , 所以AA1=4。 (3)利用线线、线面垂直,结合C1D 在侧 面内的特征,构造与C1D 垂直的辅助面为直 角梯形A1PQD1 即可。在平面CC1D1D 中, 作D1Q⊥C1D 交CC1 于Q,过Q 作QP∥CB 交BC1 于点P(作法略),则A1P⊥C1D。理 由如下。 因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D⊂平面 CC1D1D,所以 C1D⊥A1D1。而 QP∥CB, CB∥A1D1,所以QP∥A1D1。因为 A1D1∩ D1Q=D1,所以C1D⊥平面A1PQD1。又因 为A1P⊂平面A1PQD1,所以A1P⊥C1D。 下面求线段A1P 的长。 因为 Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD,所以 C1Q CD = D1C1 C1C ,所以C1Q=1。因为PQ∥BC, 所以PQ= 1 4BC= 1 2 。因为四边形A1PQD1 为直角梯形,且高 D1Q= 5,所以 A1P= (A1D1-PQ)2+DQ2= 29 2 。 追根溯源:本题选择C1D 和经过点A1 且与 BC1 相 交 于 点 P 的 平 面,通 过 作 D1Q⊥C1D 交CC1 于Q,过Q 作QP∥CB 交 BC1 于点P,构造辅助面为直角梯形,从而找 到了所求的点P。 创新3:“猜证法”求解以“角”为背景的 探索性问题 例3 如图3,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且 AD=CD=22,BC=42,PA=2。 图3 (1)求 证:AB ⊥PC。 (2)在线段PD 上 是 否 存 在 一 点 M,使 得 二 面 角 M-AC-D 的大小为 45°? 如果存在,求BM 与平面MAC 所成角 的正弦值;如果不存在,请说明理由。 解析:(1)由已知得四边形 ABCD 是直 角梯形。由 AD=CD=2 2,BC=4 2, AD∥BC,AD⊥CD,可得AB=4=AC,所以 △ABC 是等腰直角三角形,且AB⊥AC。 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB。 又PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC,所以 AB⊥PC。 (2)存在。观察空间几何体的特点,猜点 M 可能是线段PD 的中点。下面证明当 M 是线段PD 的中点时,二面角 M-AC-D 的大 小为45°。 过点 M 作 MN⊥AD 于 N,则 MN∥ PA,所以 MN⊥平面ABCD,则 MN⊥AC。 过点 M 作 MG⊥AC 于 G,则 AC⊥平 面 MNG,所以∠MGN 是二面角M-AC-D 的平 面角。因 为 M 是 线 段 PD 的 中 点,所 以 MN=1,AN= 2。在等腰直角三角形ACD 中,可得NG=1,所以∠MGN=45°。 在 三 棱 锥 M-ABC 中,可 得 VM-ABC = 1 3S△ABC ·MN。设点B 到平面MAC 的距离 为h,则VB-MAC= 1 3S△MAC ·h,所以S△ABC· MN=S△MAC·h。易得 S△ABC =8,S△MAC = 1 2AC ·MG=22,所以8MN=22h,解得 h=2 2。在Rt△BMN 中,可 得 BM = 27。设BM 与平面MAC 所成的角为θ,则 sinθ= h BM= 26 9 。 追根溯源:空间角的探究性问题,可以用 “猜证法”求解。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 04 创新题追根溯源 高一数学 2025年4月