15 立体几何中的动态问题-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■童昌立 立体几何是高中数学的重要内容,也是 每年高考考查的重点。近几年的高考题都涉 及动态问题。 一、动点的轨迹判断 例1 如图1所示,三棱锥P-ABC 的底 面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平 面PBC,点P,A,B 是定点,则动点C 运动 形成的图形是( )。 图1 A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 解:因为平面 PAC⊥平面 PBC,AC⊥ PC,AC⊂平面 PAC,且平面 PAC∩平面 PBC=PC,所以AC⊥平面PBC。 又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC, 所以∠ACB=90°,所以动点C 运动形成的 图形是以AB 为直径的圆,除去 A 和B 两 点。应选D。 评注:解答本题的关键是所求轨迹要排 除圆上的A,B 两点。 二、线面位置关系的判断 例2 (多选题)如图2,直线EF 将矩形 纸 ABCD 分 为 两 个 直 角 梯 形 ABFE 和 CDEF,将梯形CDEF 沿边EF 翻折(如图3), 在翻折的过程中(平面ABFE 和平面CDEF 不重合),下面说法不正确的是( )。 图2 图3 A.存在某一位置,使得CD∥平面ABFE B.存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE C.在翻折的过程中,BF∥平面ADE 恒 成立 D.在翻折的过程中,BF⊥平面CDEF 恒成立 解:对于 A,因为四边形 DEFC 是梯形, DE∥CF,所以CD 与EF 相交,所以CD 与平 面ABFE 相交,A错误。对于B,因为四边形 DEFC 是直角梯形,DE⊥CD,所以DE 与EF 不垂直,所以不存在某一位置,使得DE⊥平面 ABFE,B错误。对于C,因为四边形ABFE 是 梯形,AE∥BF,BF⊄平面 ADE,AE⊂平面 ADE,所以在翻折的过程中,BF∥平面ADE 恒成立,C正确。对于D,因为四边形ABFE 是直角梯形,AB⊥BF,BF 与FE 不垂直,所 以在翻折的过程中,BF⊥平面CDEF 不成立, D错误。应选ABD。 评注:求解平面图形的折叠问题的关键 是分清折叠前后两图形(折叠前的平面图形 和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数 量关系的变化。 三、长度的最值 例3 如图4,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC, PC=4,M 是AB 边上的一动点,则 PM 的 最小值为( )。 图4 A.27 B.7 C.19 D.5 解:因为 PC⊥平面 ABC,CM⊂平面 ABC,所以PC⊥CM,所以△PCM 是直角三 73 创新题追根溯源 高一数学 2025年4月 角形,所以PM2=PC2+CM2,所以当CM⊥ AB 时,CM 最小,此时 PM 也最小,即 PM 取得最小值。 由条件知AC=4,AB=8,则BC=43, 所以 CM 的最小值为 AC·BC AB =2 3 。又 PC=4,所以 PM 的最小值为 PC2+CM2 =27。应选A。 评注:在直角三角形中,已知一条直角边 的长,当另一条直角边最短时,则斜边最短。 四、几何体内放几何体问题 例4 (多选题)已知一圆锥底面圆的直 径为3,高为 33 2 ,在该圆锥内放置一个棱长 为a的正四面体,且正四面体在圆锥内可以 任意转动,则a的值可以为( )。 A. π 3 B.2 C.1 D. π 4 解:由题意可知,当a 最大时,该正四面 体外接于圆锥的内切球。 设圆锥内切球的球心为P,半径为r,圆 锥的底面圆心为O,半径为R,顶点为S,画 出轴截面,如图5所示。 图5 因为OA=OB= 3 2 ,OS= 33 2 ,所以SA =SB= OS2+OA2=3,所以△SAB 为等 边三角形,且P 为△SAB 的中心,所以r= OP=OB·tan∠PBO=R·tan30°= 3 2 。 结合正方体的外接球问题,易知棱长为 a的正四面体的外接球半径为 6 4a ,所以 6 4amax=r= 3 2 ,解得amax= 2≈1.414> π 3≈1.047 。应选ACD。 评注:当正四面体的棱长a最大时,该正 四面体外接于圆锥的内切球。 五、平面与平面的关系问题 例5 如图6,已知△BCD 中,∠BCD= 90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB =60°,E,F 分别是 AC,AD 上的动点,且 AE AC= AF AD=λ (0<λ<1)。 图6 (1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF ⊥平面ABC。 (2)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD? 解:(1)由 AB⊥平面BCD,可得 AB⊥ CD。因为CD⊥BC 且AB∩BC=B,所以 CD⊥平面ABC。因为 AE AC= AF AD=λ (0<λ< 1),所以不论λ 为何值,恒有EF∥CD,所以 EF⊥平面 ABC。又EF⊂平面BEF,所以 不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC。 (2)由(1)知CD⊥BE。要使平面BEF ⊥平面ACD,只需BE⊥平面ACD,即满足 BE⊥AC。 因 为 BC =CD =1,∠BCD =90°, ∠ADB=60°,AB⊥平面 BCD,所以 BD= 2,AB = 2tan60°= 6,所 以 AC = AB2+BC2 = 7。在 Rt△ABC 中,由 AB2=AE·AC,可得AE= 6 7 ,所以λ= AE AC = 6 7 。故 当 λ= 6 7 时,平 面 BEF⊥ 平 面 ACD。 评注:判断面面垂直的两种方法:利用面 面垂直的定义;利用面面垂直的判定定理。 作者单位:湖北省恩施市第三高级中学 (责任编辑 王琼霞) 83 创新题追根溯源 高一数学 2025年4月