14 当心“空间几何体中的误区“忽悠你-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■刘天佑 在空间几何体的学习中,同学们缺少“空 间问题平面化、模型化和代数化”的意识,常 常会被种种错误忽悠,下面聚焦警示之。 忽悠1:多面体的概念理解不准确 例1 给出下列四个命题:①各侧面都 是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;②对角 面是全等矩形的六面体一定是长方体;③有 两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱; ④长方体一定是正四棱柱。其中正确的命题 个数是( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 错解:应选B或C。 剖析:错解受思维定式的影响,忽视了底 面的形状和侧棱与底面垂直这两方面。①错 误,如直平行六面体的底面是菱形,满足条 件,但不是正棱柱。②错误,如底面是等腰梯 形的直棱柱,满足条件,但不是长方体。③错 误,两相对的侧面垂直于底面时,不一定是直 棱柱。④错误,长方体不一定是正四棱柱,如 长方体的底边不相等。应选A。 策略:认识棱柱一般要从侧棱与底面的 垂直与否和底面多边形的形状这两个方面去 分析,结合直棱柱、正棱柱、长方体、正方体等 概念进行判断,不成立可举出反例,成立一定 要说明理由。 忽悠2:忽视题设或定理中某一条件 例2 设a,b为两条直线,α,β为两个平 面,且a⊄α,a⊄β,则下列结论中不成立的 是( )。 A.若b⊂β,a∥b,则a∥β B.若a⊥β,α⊥β,则a∥α C.若a⊥b,b⊥α,则a∥α D.若α⊥β,a⊥β,b∥a,则b∥α 错解:应选A。 剖析:上述解法忽视题设和空间中的平 行、垂直关系的判定和性质定理致错。对于 A,由b⊂β,a∥b,且已知a⊄β,结合线面平行 的判定定理得a∥β,A 正确。对于B,已知 a⊥β,α⊥β,根据空间线面位置关系知a⊂α 或a∥α,由题设知a⊄α,所以a∥α,B正确。 对于C,由a⊥b,b⊥α,可得a⊂α或a∥α,由 题设知a⊄α,所以a∥α,C正确。对于D,由 a⊥β,b∥a,可得b⊥β,因为α⊥β,所以b⊂α或 b∥α,则不一定得到b∥α,D错误。应选D。 策略:利用直线与平面平行、直线与平面 垂直、平面与平面平行或垂直的判定定理时, 一定要注意关键词的呈现。 忽悠3:两直线位置关系判断中忽视“反 证法”的应用 例3 已知m、n 为异面直线,m⊂平面 α,n⊂平面β,α∩β=l,则直线l( )。 A.与m、n都相交 B.与m、n中至少一条相交 C.与m、n都不相交 D.至多与m、n中的一条相交 错解:应选A。 剖析:上述解法忽视题设和定理的条件, 缺少应用反证法研究问题的意识。假设l与 m、n都不相交,由 m⊂平面α,n⊂平面β, α∩β=l,可得m∥l,n∥l,所以m∥n∥l,这与 m、n为异面直线矛盾,所以假设错误,即l与 m、n中至少一条相交。应选B。 策略:简单的空间位置关系的判断,可结 合题设条件,利用反证法进行推理与分析。 忽悠4:线线、线面、面面平行关系转化 不当 图1 例4 如图1 所示,平面α∥平面 β,AC 与BD 为异 面直 线,且 AC⊂ α,BD ⊂β,M,N 分别为AB,CD 的 中点。 53 易错题归类剖析 高一数学 2025年4月 求证:MN∥平面β。 错解:由α∥β,AC⊂α,可得AC∥β。 因为BD⊂β,所以AC∥BD。 因为 M,N 分别为AB,CD 的中点,所 以 MN∥BD。 又因为 MN⊄β,BD⊂β,所以 MN∥平 面β。 剖析:上述解法认为平行平面内的两条 直线必平行,忽视了两条直线异面的情形。 由AB∩AC=A,可得 AB,AC 确定一 个平面γ,则γ∩α=AC。 由B∈AB,AB⊂γ,B∈β,可得B 是γ 与β的公共点,可设β∩γ=BE,如图1所示。 取CE 的中点P。由α∥β,α∩γ=AC, β∩γ=BE,可得AC∥BE。 由 M,P 分别为AB,CE 的中点,可得 MP∥BE。由BE⊂β,MP⊄β,可得 MP∥β。 在△CED 中,由 P,N 分别为CE,CD 的中点,可得PN∥DE。由PN⊄β,DE⊂β, 可得PN∥β。 因为 MP∩PN=P,所以平面 MNP∥ 平面β。 又因为MN⊂平面MNP,所以MN∥平 面β。 策略:在证明线面平行时,一定要强调直 线不在平面内,否则会出现错误。在解决线 面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维” 的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到 “面面平行”。在应用性质定理时,其顺序恰 好相反,线面平行和面面平行都是通过作辅 助面完成线线平行,凸显定义和定理都是为 空间问题平面化展开。 忽悠5:忽视线线垂直和线面垂直的相 互转化 图2 例5 如图2,在直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中,已 知∠ACB=90°, ∠BAC=30°,BC=1, AA1=6,M 是CC1 的中 点。求证:AB1⊥A1M。 错解:缺少线 线 垂 直转化为线面垂直的意 识导致思维中断,无法证明。 剖析:因为三棱柱ABC-A1B1C1 为直棱 柱,所以 CC1⊥平面 A1B1C1,所以 CC1⊥ B1C1。 因为∠ACB=90°,所以 A1C1⊥B1C1, 所以 B1C1⊥平 面 C1A1AC,所 以 B1C1⊥ A1M。 易得 A1C1 MC1 = 3 6 2 = 2, AA1 C1A1 = 6 3 = 2, 所以△AA1C1∽△A1C1M,所以∠AC1A1= ∠A1MC1。 因为∠AC1A1+ ∠MC1A=90°,所 以 ∠A1MC1+ ∠MC1A =90°,可 得 A1M ⊥ AC1。因为B1C1∩AC1=C1,所以A1M⊥平 面AB1C1。 又因为AB1⊂平面AB1C1,所以AB1⊥ A1M。 策略:对于两条异面直线垂直,可以构建 一条直线和另一条直线所在的平面垂直,进 而得到两条异面直线垂直。直线与平面垂 直、平面与平面垂直,往往借助直线和直线垂 直进行证明。 设α,β,γ 是三个互不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题正确的是 ( )。 A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ B.若α⊥β,m⊥α,则m∥β C.若α∥β,m⊄β,m∥α,则m∥β D.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n 提示:α与γ可以平行或相交,但可以不 垂直,A错误。若α⊥β,m⊥α,则 m∥β 或 m⊂β,B错误。依据线面平行及面面平行的 定义及性质知,C正确。让m 与n 满足已知 条件开始移动,可知 m 与n 可以平行,可以 相交,也可以异面,但可以不垂直,D错误。 应选C。 作者单位:陕西省城固县第一中学 (责任编辑 王琼霞) 63 易错题归类剖析 高一数学 2025年4月