13 立体几何初步核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■刘中亮(特级教师) 一、选择题 1.下列说法正确的是( )。 A.多面体至少有3个面 B.有两个面平行,其余各面都是梯形的 几何体是棱台 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正 方体 D.棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形 2.下列命题中成立的是( )。 A.各个面都是三角形的多面体一定是 棱锥 B.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C.一个棱锥的侧面是全等的等腰三角 形,那它一定是正棱锥 D.各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 3.下列命题中的真命题是( )。 A.如果两个平面有三个公共点,那么这 两个平面重合 B.若四点不共面,则其中任意三点不共线 C.空间中,相交于同一点的三条直线在 同一平面内 D.三个不重合的平面最多可将空间分 成七个部分 4.已知α、β是两个不同的平面,m、n 是 两 条 不 同 的 直 线,则 下 列 结 论 正 确 的 是( )。 A.若m∥n,m∥α,n∥β,则α∥β B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β D.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β 5.对于两条不同的直线 m,n 和两个不 同的平面α,β,下列命题错误的是( )。 A.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n B.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n或m∥n C.若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂β D.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α 6.如图1所示,在空间四边形 ABCD 中,点E,H 分别是边AB,AD 的中点,点F, G 分别是边BC,CD 上的点,且 CF CB= CG CD= 2 3 ,则下列说法正确的是( )。 图1 ①E,F,G,H 四点共面;②EF 与GH 异面;③EF 与GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线AC 上;④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上。 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 7.已知球 O 为正三棱柱ABC-A1B1C1 的外接球,正三棱柱ABC-A1B1C1 的底面边 长为1,且球O 的表面积为 31π 3 ,则这个正三 棱柱的体积为( )。 A. 3 4 B. 33 4 C. 33 2 D.33 8.若一个圆柱和一个圆锥的底面积相 等,圆柱的体积是圆锥体积的2倍,则圆柱的 高是圆锥高的( )。 A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 4 72 核心考点演练 高一数学 2025年4月 9.在空间四边形 ABCD 的各边 AB、 BC、CD、DA 上分别取E、F、G、H 四点,若 EF∩GH=P,则点P( )。 A.一定在直线BD 上 B.一定在直线AC 上 C.既在直线AC 上也在直线BD 上 D.既不在直线AC 上也不在直线BD 上 10.(多选题)如图2所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,l⊂平面 A1B1C1D1, 且l与B1C1 不平行,则下列说法能成立的 是( )。 图2 A.l与AD 平行 B.l与AB 异面 C.l与CD 所成的角为30° D.l与BD 垂直 11.(多选题)设α,β是两个不同的平面, m,n是两条不同的直线,( )。 A.若m⊥α,n⊥α,则m∥n B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β C.若α∥β,m⊂α,n⊥β,则m⊥n D.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α 12.(多 选 题)如 图3,正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为1,P 为线段BC 的中 点,Q 为线段CC1 上的动点,过点A,P,Q 的 平面截该正方体所得的截面记为S,则下列 命题正确的是( )。 图3 A.异面直线AD1 与A1B 所成的角为 π 3 B.当CQ= 1 2 时,S 为等腰梯形 C.当0<CQ< 1 2 时,S 为四边形 D.当CQ=1时,S 为矩形 13.(多选题)若 m,n 是两条不同的直 线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题错 误的是( )。 A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥α B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m⊥β,m∥α,则α⊥β D.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ 二、填空题 14.点A∈平面α,点 A∈平面β,平面 α∩平面β=直线l,则点A 直线l(用集 合符号表示)。 15.下列命题中,所有正确命题的序号是 。 ①两个相交平面把空间分成4部分;②有 两个角是直角的四边形是平面图形;③若两个 平面有一个公共点,则它们有无数个公共点; ④如果分别在两个不同平面上的两条直线有 交点,那么交点在两个平面的交线上。 16.如图4,在棱长为2的正四面体(四个 面都是正三角形)ABCD 中,M、N 分别是 AD、BC 的中点,则异面直线 AN 与CM 所 成角的余弦值为 。 图4 17.已知α,β 是两个不同的平面,m,n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四 个论断:①m⊥n,②α⊥β,③m⊥β,④n⊥α。 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作 为结论,则你认为正确的命题有 个,其中 82 核心考点演练 高一数学 2025年4月 一个是 。 三、解答题 18.根据下列对几何体结构特征的描述, 说出几何体的名称。 (1)由八个面围成,其中两个面是互相平 行且全等的正六边形,其他各面都是矩形。 (2)由五个面围成,其中一个面是正方形, 其他各面是有一个公共顶点的全等三角形。 (3)由五个面围成,其中上、下两个面是 相似三角形,其余各面都是梯形,并且这些梯 形的腰所在的直线能相交于一点。 19.如图5,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,底面ABCD 为菱形,P 为BB1 的中点,M 为B1C1 的中点。 图5 (1)求证:D1M∥平面A1DP。 (2)若 AA1=AB=2,∠BAD=60°,求 点 M 到平面A1DP 的距离。 20.如图6,在一个长方体的容器中装有 少量水。 图6 现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜, 在倾斜的过程中: (1)水面的形状不断变化,可能是矩形, 也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗? (2)水的形状不断变化,可能是棱柱,也 可能变为棱台或棱锥,对吗? (3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条 棱,而是绕着其底部的一个顶点,试着讨论水 面和水的形状。 21.如 图 7,在 边 长 为 2 2的 正 方 形 ABCD 中,E,F 分别为CD,BC 边的中点, 现以EF 为折痕将点C 旋转至点P 的位置, 使得P-EF-A 为直二面角,如图8所示。 图7 图8 (1)证明:EF⊥PA。 (2)求 PD 与 平 面 ABF 所 成 角 的 正 弦值。 22.如图9,在四棱锥P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,PA⊥平面ABCD,点 H 为 线 段 PB 上 一 点 (不 含 端 点),平 面 AHC⊥平面PAB。 图9 (1)证明:PB⊥AC。 (2)若 AB=AC=1,四棱锥 P-ABCD 的体积为 1 3 ,求二面角P-BC-A 的正弦值。 23.如图10,在四棱锥 P-ABCD 中,底 面ABCD 为直角梯形,其中AD∥BC,AD⊥ BA,AD =3,AB =BC =2,PA ⊥ 平 面 ABCD,且PA=3,点 M 在棱PD 上(不包括 端点),点N 为BC 的中点。 92 核心考点演练 高一数学 2025年4月 图10 (1)若DM→=2MP→,求证:直线 MN∥平 面PAB。 (2)已知点 M 满足 PM PD= 1 3 ,求异面直线 MN 与AD 所成角的大小。 24.如图11,已知 PA⊥平面 ABCD, ABCD 是正方形,异面直线PB 与CD 所成 的角为45°。 图11 (1)求二面角B-PC-D 的大小。 (2)求直线 PB 与平面PCD 所成角的 大小。 25.如图12所示,已知四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的 底 面 是 菱 形,AA1 ⊥ 平 面 ABCD,∠DAB=60°,AD=AA1,F 为 棱 AA1 的中点,M 为线段BD1 的中点。 图12 (1)求证:MF∥平面ABCD。 (2)求证:MF⊥平面BDD1B1。 26.如图13,已知 ABCD-A1B1C1D1 是 底面 为 正 方 形 的 长 方 体,∠AD1A1=60°, AD1=4,点P 是AD1 上的动点。 图13 (1)试判断不论点P 在AD1 上的任何位 置,是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D,并 证明你的结论。 (2)当P 为AD1 的中点时,求异面直线 AA1 与B1P 所成角的余弦值。 (3)求 PB1 与平面 AA1D1D 所成角的 正切值的最大值。 一、选择题 1.提示:对于 A,多面体至少有4个面, 选项A错误。对于B,有两个面平行,其余各 面都是梯形,但各侧棱的延长线不能交于一 点,则该几何体不是棱台,选项B错误。对于 C,各侧面都是正方形的四棱柱,可以是底面 为菱形的直棱柱,不一定是正方体,选项C错 误。对于D,由棱柱的定义知,棱柱的各侧棱 平行且相等,侧面是平行四边形,选项D正 确。应选D。 2.提示:对于A,只要将底面全等的两个 棱锥的底面重合在一起,所得多面体的每个 面都是三角形,但这个多面体不是棱锥,A错 误。对于B,若棱柱有两个相邻侧面是矩形, 则侧棱与底面两条相交的边垂直,所以侧棱 与底面垂直,此时棱柱一定是直棱柱,B正 确。对 于 C,如 三 棱 锥 A-BCD,若 AB= AC=CD=BD=4,BC=AD=3,则满足侧 面均为全等的等腰三角形,但此时底面BCD 不是正三角形,C错误。对于D,各个侧面都 是矩形的棱柱不一定是长方体,如底面为三 角形的直三棱柱,D错误。应选B。 3.提示:对于A,如果两个平面有三个公 共点,那么这两个平面可能相交或重合,该选 项错误。对于B,若四点不共面,则其中任意 03 核心考点演练 高一数学 2025年4月 三点不共线,该选项正确。对于C,空间中, 相交于同一点的三条直线不一定在同一平面 内,如三棱锥P-ABC,相交于同一点P 的三 条直线PA,PB,PC 不在同一平面内,该选 项错误。对于D,三个不重合的平面最多可 将空间分成八个部分,该选项错误。应选B。 4.提示:对于A,若m∥n,m∥α,n∥β,则 α∥β或α、β相交,A错误。对于B,若α∥β, m⊂α,n⊂β,则m∥n或m、n异面,B错误。对 于C,由m⊥n,m⊥α,可得n⊂α或n∥α,由 n⊥β,可得α⊥β,C正确。对于D,由m⊥n, m⊥α,可得n⊂α或n∥α,由n∥β,可得α∥β或 α、β相交(不一定垂直),D错误。应选C。 5.提示:若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n, A正确。由m∥α,n∥β,α⊥β,可得m⊥n 或 m∥n或m,n异面,B错误。若m∥α,α∥β,则 m∥β或m⊂β,C正确。若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α或n⊂α,D正确。应选B。 6.提示:在空间四边形ABCD 中,点E, H 分别是边AB,AD 的中点,则EH∥BD, 且EH= 1 2BD 。点F,G 分别是边BC,CD 上的点,且CF CB= CG CD= 2 3 ,则 FG∥BD,且 FG= 2 3BD ,所以FG∥EH,即点E,F,G,H 四点共面,①正确,②错误。因为FG∥EH, FG>EH,即四边形 EFGH 是梯形,所以 EF 与GH 必相交,令交点为 M。点 M 在 EF 上,而EF 在平面ACB 上,则点 M 在平 面ACB 上,同理点 M 在平面ACD 上,所以 点 M 是平面ACB 与平面ACD 的公共点。 因为AC 是平面ACB 与平面ACD 的交线, 所以点 M 一定在直线AC 上,④正确,③错 误。说法正确的命题序号是①④。应选B。 7.提示:设正三棱柱ABC-A1B1C1 的高 为h,球O 的半径为R。因为球O 的表面积 S=4πR2= 31π 3 ,解得R2= 31 12 。由正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面ABC是边长为1的等边 三角形,结合正弦定理得△ABC 的外接圆半 径r= 1 2sin π 3 = 3 3 ,所以R2=r2+ h2 2 = 1 3 + 1 4h 2= 31 12 ,解 得h=3,所 以VABC-A1B1C1 = S△ABC·h= 1 2×1×1× 3 2×3= 33 4 。应选B。 8.提示:圆柱的体积=圆锥的体积×2, 即圆柱的底面积×圆柱的高=圆锥的底面积 ×圆锥的高÷3×2。由此推出:圆柱的底面 积×圆柱的高=圆柱的底面积×圆锥的高× 1 3×2 ,即圆柱的高=圆锥的高× 2 3 ,也即圆 柱的高÷圆锥的高= 2 3 。所以圆柱的高是圆 锥高的 2 3 。应选C。 9.提示:因为EF⊂平面ABC,GH⊂平 面 ACD,EF∩GH =P,所以点 P∈平面 ABC,点P∈平面ACD。又平面ABC∩平 面ACD=AC,所以点P∈AC,即点P 一定 在直线AC 上。应选B。 10.提示:假设l∥AD,由 AD∥BC∥ B1C1,可得l∥B1C1,这与“l与B1C1 不平行” 矛盾,所以l不与AD 平行,A错误。由异面 直线的判定定理知,l与AB 异面,B正确。 当l⊥B1D1 时,由B1D1∥BD,可得l⊥BD, D正确。取l与C1D1 所成的角为30°,因为 C1D1∥CD,所以l与CD 所成的角为30°,C 正确。应选BCD。 11.提示:对于 A,垂直于同一平面的两 条直线平行,A正确。对于B,当m∥n时,结 论未必成立,B错误。对于C,由α∥β,n⊥β, 可得n⊥α,由m⊂α,可得m⊥n,C正确。对 于D,由α⊥β,m⊥β,可得m∥α或m⊂α,排 除m⊂α,只有m∥α,D正确。应选ACD。 12.提 示:对 于 A,在 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,因为 A1D1∥AD∥BC,A1D1 =AD=BC,所以四边形A1BCD1 是平行四 边形,所以 A1B∥CD1,则异面直线 AD1 与 A1B 所成的角为∠AD1C。又 AC=CD1= AD1= 2,所以△ACD1 是等边三角形,所以 ∠AD1C= π 3 ,即异面直线AD1 与A1B 所成 的角为 π 3 ,A正确。对于B,当CQ= 1 2 ,即Q 13 核心考点演练 高一数学 2025年4月 是CC1 的中点时,则PQ∥BC1。因为C1D1∥ CD∥AB,且C1D1=CD=AB,所以四边形 ABC1D1 是平行四边形,所以 AD1∥BC1∥ PQ。又AP= 5 2=D1Q ,所以S 为等腰梯 形,B正确。对于C,当点Q 向C 移动时,满 足0<CQ< 1 2 ,这时在DD1 上取点 M(作图 略),使得AM 平行PQ,即得截面为四边形, C正确。对于D,当CQ=1时,Q 与C1 重合, 这时 AP=PQ= 5 2 ,AQ=AC1= 3,可得 AP2+PQ2≠AQ2,所以AP 与PQ 不可能垂 直,所以截面S 不可能为矩形,D不正确。应 选ABC。 13.提示:m,n 是两条不同的直线,α,β, γ是三个不同的平面。在A中,若m⊂β,α⊥ β,则m 与α相交、平行或m⊂α,A错误。在 B中,若m∥α,n∥α,则m 与n 相交、平行或 异面,B错误。在C中,若m⊥β,m∥α,则由 面面垂直的判定定理得α⊥β,C正确。在D 中,若α⊥γ,α⊥β,则β 与γ 相交或平行,D 错误。应选ABD。 二、填空题 14.提示:由点 A∈平面α,点 A∈平面 β,可知点 A∈平面α∩β。又平面α∩平面 β=直线l,故点A∈直线l。 15.提示:对于①,两个相交平面把空间 分成4部分,①正确。对于②,对于四面体 S-ABC,∠ABC=∠ASC=90°,满足题意, 此时为立体图形,②错误。对于③,若两个平 面有一个公共点,则它们有无数个公共点,且 在这两个平面的交线上,③正确。对于④,如 果分别在两个不同平面上的两条直线有交 点,此时交点为两个平面的公共点,必在两个 平面的交线上,④正确。答案为①③④。 16.提示:取 DN 的中点G。因为 M 是 AD 的中点,所以MG∥AN,所以异面直线AN 与CM 所成的角即为∠CMG(或其补角)。由已 知得AN=CM= 3,所以 MG= 1 2AN= 3 2 , NG= 1 2DN= 3 2 。因为DN⊥BC,所以CG= NG2+NC2= 3 2 2 +12= 7 2 。在△MCG 中,cos∠CMG= 3 4+3- 7 4 2× 3 2×3 = 2 3 ,所以异面直 线AN 与CM 所成角的余弦值为 2 3 。 17.提示:若①m⊥n,②α⊥β,③m⊥β成 立,则n 与α 可能平行,可能相交,也可能 n⊂α,即④n⊥α 不一定成立。若①m⊥n, ②α⊥β,④n⊥α成立,则m 与β可能平行,可 能相交,也可能 m⊂β,即③m⊥β不一定成 立。若①m⊥n,③m⊥β,④n⊥α 成立,则 ②α⊥β成立。若②α⊥β,③m⊥β,④n⊥α成 立,则①m⊥n 成立。答案为2。若②③④, 则①(或若①③④,则②)。 三、解答题 18.提示:(1)该几何体有两个面是互相 平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形, 满足棱柱的定义,故该几何体是六棱柱。 (2)该几何体的其中一个面是正方形,其 余各面都是三角形,并且这些三角形有一个 公共顶点,因此该几何体是四棱锥。 (3)该几何体上、下两个面是相似三角 形,其余各面都是梯形,并且这些梯形的腰延 长后能相交于一点,因此该几何体是三棱台。 19.提示:(1)取CC1 的中点N。因为M 为 B1C1 的中点,所以 MN∥B1C。而B1C∥A1D, 所以MN∥A1D。又MN⊄平面A1DP,A1D⊂ 平面A1DP,所以MN∥平面A1DP。 因为P 为BB1 的中点,所以NP􀱀B1C1 􀱀A1D1,则四边形A1D1NP 是平行四边形, 所以 D1N􀱀A1P。又 D1N⊄平面 A1DP, A1P⊂平面A1DP,所以D1N∥平面A1DP。 因为D1N∩MN=N,所以平面 D1MN∥平 面 A1DP。而 D1M ⊂ 平 面 D1MN,所 以 D1M∥平面A1DP。 (2)由(1)可知,点 M 到平面A1DP 的距 离等于D1 到平面A1DP 的距离,设为h。 因为VD1-A1DP =VP-A1DD1,所以 1 3SA1DP · h= 1 3SA1DD1 · 3。而SA1DD1=2,SA1DP= 6, 23 核心考点演练 高一数学 2025年4月 所以h= 2。 20.提示:(1)不对。水面的形状就是用 一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面 截长方体时截面的形状,因而是矩形,不可能 是其他非矩形的平行四边形。 (2)不对。水的形状就是用与棱(将长方 体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方 体截去一部分后,剩余部分的几何体,可以是 棱柱,不可能是棱台或棱锥。 (3)用任意一个平面去截长方体,其截面 的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边 形,因而水面的形状可以是三角形,四边形, 五边形,六边形。水的形状可以是棱锥,棱 柱,但不可能是棱台。 21.提示:(1)在正方形 ABCD 中,连接 AC 交EF 于H。因为AC⊥BD,EF∥BD, 所以AC⊥EF,即EF⊥AH,EF⊥CH。因 为旋转不改变垂直关系,且AH,CH⊂平面 PAH,所以EF⊥平面PAH。又因为PA⊂ 平面PAH,所以EF⊥PA。 (2)因为 P-EF-A 为直二面角,所以平 面PEF⊥平面 AEF。又其交线为 EF,且 PH⊥EF,PH⊂平面 PEF,所以 PH⊥底 面ABF。连接 DH,则∠PDH 即为PD 与 平面ABF 所成的角。 连接BD 交AH 于O,在Rt△ODH 中, DO= 1 2DB=2 ,OH = 1 2OC=1 ,DH = DO2+OH2= 5,PH=CH=1。 在 Rt △PHD 中,因 为 DP = DH2+PH2= 6,所以sin∠PDH= PH DP = 1 6 = 6 6 ,所以PD 与平面ABF 所成角的 正弦值为 6 6 。 22.提示:(1)因为PA⊥平面ABCD,且 点C∈平面ABCD,所以过点C 所有垂直于 PA 的直线都在平面ABCD 内。 因为平面AHC⊥平面PAB,且点C∈ 平面AHC,所以存在一条过点C 的直线l⊥ 平面PAB,且l⊂平面AHC。 因为PA⊂平面PAB,所以l⊥PA,且 l⊂平面 ABCD。因为平面 ABCD∩平面 AHC=AC,所以l与AC 为同一条直线,即 AC⊥平面PAB。 因为PB⊂平面PAB,所以AC⊥PB。 (2)在平面 ABCD 内,过点 A 作AE⊥ BC,且AE∩BC=E,连接PE。因为PA⊥ 平 面 ABCD,且 BC⊂ 平 面 ABCD,所 以 PA⊥BC。同理可得PA⊥AE。因为AE⊥ BC,AE∩PA=A,AE,PA⊂平面PAE,所 以BC⊥平面PAE。因为PE⊂平面PAE, 所以 BC ⊥PE,所 以 ∠PEA 为 二 面 角 P-BC-A 的平面角。 由(1)知AC⊥平面PAB,则AC⊥AB。 在Rt△ABC 中,S△ABC= 1 2 ·AB·AC= 1 2 ·AE·BC,且BC= AB2+AC2= 2, 则AE= 2 2 。在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 的面积S=AB·AC=1,则其体积 V= 1 3 ·S·PA= 1 3 ,解 得 PA=1。在 Rt△PAE 中,因 为 sin ∠PEA = PA PE = PA PA2+AE2 = 6 3 ,所以二面角 P-BC-A 的 正弦值为 6 3 。 23.提示:(1)取PA 上的一个靠近点P 的三等分点Q。因为 DM→=2MP→,所以 MQ ∥AD 且QM= 1 3AD=1 。因为AD∥BC,且 BC=2,点 N 为BC 中点,所以BN∥MQ 且 BN=MQ,所以四边形 MQBN 为平行四边 形,所以 MN∥BQ。因为 MN⊄平面PAB, QB⊂平面PAB,所以直线MN∥平面PAB。 (2)过点 M 作MK∥PA 交AD 于K(作 图略),可知 MK⊥平面ABCD。因为AD⊂ 平面ABCD,所以 MK⊥AD。 因为 PM PD= 1 3 ,所以MK PA= 2 3= DK DA 。 因为PA=AD=3,所以 AK=1,所以 AK∥BN,且AK=BN,所以四边形AKNB 33 核心考点演练 高一数学 2025年4月 为平行四边形,所以 KN∥AB。因为 AB⊥ AD,所以KN⊥AD。因为 MK∩NK=K, 所以 AD⊥平面 MNK。因为 MN⊂平面 MNK,所以 MN⊥AD,所以异面直线 MN 与AD 所成的角为90°。 24.提示:(1)因为 ABCD 是正方形,所 以AB∥CD,所以∠PBA 就是异面直线PB 与CD 所成的角,即∠PBA=45°。 因为 PA ⊥ 平 面 ABCD,AB ⊂ 平 面 ABCD,所 以 PA⊥AB,且 PA=AB。作 BE⊥PC 于E,连接ED。 在△ECB 和△ECD 中,因为BC=CD,CE =CE,∠ECB=∠ECD,所以△ECB≌△ECD, 所以∠CED=∠CEB=90°,即ED⊥PC,所以 ∠BED 就是二面角B-PC-D 的平面角。设AB =a,则BD=PB=2a,PC=3a,所以BE= DE= PB·BC PC = 6 3a ,所 以cos∠BED = BE2+DE2-BD2 2·BE·DE =- 1 2 ,所以∠BED=120°, 即二面角B-PC-D 的大小为120°。 (2)还原棱锥为正方体ABCD-PB1C1D1, 作BF⊥CB1 于点F,如图14所示。 图14 因为平面PB1CD⊥平面BB1C1C,所以 BF⊥平面PB1CD,即BF⊥平面PCD,所以 ∠BPF 就是直线PB 与平面PCD 所成的 角。因 为 BF = 2 2a ,PB = 2a,所 以 sin∠BPF= BF PB= 1 2 ,所以∠BPF=30°,所 以直线PB 与平面PCD 所成的角为30°。 25.提示:(1)连接AC,BD 交于点O,连 接 MO,则OM􀱀 1 2DD1 。因为DD1􀱀A1A, 所以OM􀱀 1 2A1A 。又 AF= 1 2A1A ,所以 OM􀱀AF,所以四边形 MOAF 是平行四边 形,所以 MF∥CA。又 CA⊂平面 ABCD, MF⊄平面ABCD,所以 MF∥平面ABCD。 (2)因为底面ABCD 是菱形,所以AC⊥ BD。因为 B1B⊥平面 ABCD,AC⊂平面 ABCD,所以AC⊥B1B。而BD∩B1B=B, 所以AC⊥平面BDD1B1。又 MF∥AC,所 以 MF⊥平面BDD1B1。 26.提 示:(1)都 有 平 面 BPA⊥平 面 AA1D1D。 因为 BA⊥平面 AA1D1D,BA⊂平面 BPA,所以平面BPA⊥平面AA1D1D,所以 无论点 P 在AD1 上的任何位置,都有平面 BPA⊥平面AA1D1D。 (2)过点P 作PE⊥A1D1,垂足为E,则 PE∥AA1,所以∠B1PE(或其补角)是异面直 线 AA1 与 B1P 所 成 的 角。在Rt△AA1D1 中,因为∠AD1A1=60°,所以∠A1AD1=30°, 所以A1B1=A1D1= 1 2AD1=2 ,所以A1E= 1 2A1D1=1 ,AA1=3A1D1=23,所以PE= 1 2AA1= 3 ,B1E= A1B21+A1E2= 5。在 Rt△B1PE 中,因 为 B1P= B1E2+PE2 = 22,所以cos∠B1PE= PE B1P = 3 22 = 6 4 ,所以 异面直线AA1 与B1P 所成角的余弦值为 6 4 。 (3)由题意知,B1A1⊥平面AA1D1D,所 以∠B1PA1 是PB1 与平面AA1D1D 所成的 角,所以tan∠B1PA1= A1B1 A1P = 2 A1P ,所以 当A1P 最小时,tan∠B1PA1 的值最大,这 时 需 满 足 A1P ⊥ AD1,可 得 A1P = A1D1·AA1 AD1 = 3,所 以 tan ∠B1PA1 = 23 3 ,所以PB1 与平面AA1D1D 所成角的正 切值的最大值为 23 3 。 作者单位:河南省开封市第十中学 (责任编辑 郭正华) 43 核心考点演练 高一数学 2025年4月