12 与几何体的外接球、内切球有关的最值或范围问题的求解策略-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■刘 薇 与几何体的外接球、内切球有关的最值 或范围问题,要认真分析图形,明确切点和接 点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作 出合适的截面图,构建变量满足的关系,运用 基本不等式或三角函数的有界性求解,有时 还要借助特殊位置关系,寻求简化解题途径。 策略一:构建两变量的关系,利用基本不 等式求解 例1 如图1所示的三棱锥S-ABC 中, SC⊥BC,SC⊥AC,BC⊥AB,AB⊥SB,且 图1 AB·BC=10,SC= 5,则其 外接 球 的 表 面 积 的 最 小 值 为( )。 A.25π B.20π C. 125π 6 D. 65π 3 解析:因为SC⊥BC,SC⊥AC,且BC∩ AC=C,BC,AC⊂平面 ABC,所以SC⊥平 面ABC。又因为 BC⊥AB,AB⊥SB,且 BC∩SB=B,BC,SB⊂平 面 SBC,所 以 AB⊥平面SBC,所以可以将三棱锥S-ABC 放置于一个长方体ABEF-DCSG 中。该长 图2 方体以 AB,SC,BC 为 长,宽,高,如图2所示。 易 知 长 方 体 ABEF-DCSG 的 外 接 球就是三棱锥S-ABC 的外接球,设所求外接 球的 半 径 为 R。因 为 AB·BC=10,所 以 AB2 +BC2≥2AB · BC=20,当且仅当AB=BC= 10时等号成 立,所以 AB2+BC2+SC2≥20+5=25,即 (2R)2≥25,解得R≥ 5 2 ,所以该长方体外接 球的表面积的最小值为4πR2=4π× 52 2 = 25π,即三棱锥S-ABC 的外接球表面积的最 小值为25π。应选A。 体验:利用线面垂直的判定定理,将三棱 锥S-ABC 放入长方体中,再利用基本不等式 求其外接球表面积的最小值。 策略二:构建变量满足的关系,利用三角 换元求解 例2 在三棱锥A-BCD 中,AB=CD= AC=BD=a,AD=BC=b,若 A,B,C,D 均在半径为2的球面上,则a+b 的最大值 为 。 解析:由 AB=CD =AC=BD =a, AD=BC=b,A,B,C,D 均在半径为2的球 面上,可将三棱锥 A-BCD 放置于一个长方 体AHCG-EBFD 中,如图3所示。 图3 设长 方 体 的 棱 长 分 别 为 x,y,z,则 x2+y2=a2, y2+z2=b2, z2+x2=a2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以长方体的对角线的平方和 为x2+y2+z2=a2+ 1 2b 2=4R2=16,整理 得 a2 16+ b2 32=1 。据此可设 a=4cosθ, b=42sinθ, 且 θ∈ 0, π 2 ,所以a+b=4cosθ+42sinθ= 43sin(θ+α)(其中α 由sinα= 1 3 ,cosα= 2 3 确定)。因为α<θ+α<α+ π 2 ,所以a+ 52 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 b=43sin(θ+α)≤43,所以a+b的最大 值为43。 体验:已知三棱锥 A-BCD 的三组对棱 分别相等,由此补成一个长方体,设出长方体 的棱长,结合球的直径得到a 2 16+ b2 32=1 ,然后 构造三角换元,转化为正弦函数的有界性求 出最大值。 策略三:特殊三棱锥,依据特殊位置确定 最值 例3 如图4,已知三棱锥S-ABC 的底 面是边长为3的等边三角形,且SA=AB, ∠SAB=120°,当该三棱锥的体积取得最大 图4 值时,其外接球的表面 积为( )。 A.12π B.24π C.36π D.39π 解 析:依 题 意 可 知,三棱锥 S-ABC 的 底面面积是个定值,在侧面SAB 中,顶点S 到边AB 的距离也是一个定值,所以当该三 棱锥的体积取得最大值时,侧面SAB⊥底面 ABC。 因为三棱锥S-ABC 的底面是边长为3 的等边三角形,所以AB=BC=AC=3,所以 SA=AB=3。 设△ABC,△SAB 的外接圆半径分别为 r1,r2。在 等 边 △ABC 中,由 正 弦 定 理 得 2r1= AB sin60°=3× 2 3 =23。在△SAB 中, 由∠SAB=120°,结合余弦定理 得 SB2= SA2+AB2-2SA·ABcos∠SAB=32+ 32-2×3×3× - 1 2 =27,所以SB=33, 所以2r2= SB sin120°=33× 2 3 =6。 设三棱锥S-ABC 的外接球的半径为R, 则(2R)2=(2r1)2+(2r2)2-AB2=(23)2+ 62-32=39,即4R2=39,所以其外接球的表 面积为4πR2=39π。应选D。 体验:三棱锥S-ABC 的体积取得最大值 时,侧面SAB⊥底面 ABC。由正弦定理和 余弦定理求得△ABC 和△SAB 的外接圆半 径,再由两个面垂直的三棱锥的外接球半径 R 满足(2R)2=(2r1)2+(2r2)2-AB2 求解。 1.已知长方体的一条棱长为2,体积为 16,则其外接球的表面积的最小值为( )。 A.5π B.12π C.20π D.80π 提示:设长方体的长,宽,高分别为a,b, 2,则长方体的体积 为 V=2ab=16,解 得 ab=8。设长方体的外接球的半径为 R,则 2R= a2+b2+4,即4R2=a2+b2+4≥ 2ab+4=20,所以R≥ 5,当且仅当a=b= 22时取等号,所以Rmin= 5。故长方体的 外接球的表面积的最小值为 S=4πR2min= 20π。应选C。 2.如 图5,在 三 棱 锥 P-ABC 中,已 知 图5 PA=PB=PC,∠ABC = π 4 ,AC=2,则三棱锥 P-ABC 外接球 的 表 面 积的最小值是( )。 A.8π B.4π C.2π D.π 提示:设底面△ABC 的外接圆的圆心为 O1,半径为r,则2r= AC sin∠ABC=2 ,即r= 1。设三棱锥P-ABC 的高为h,外接球的半 径为R。由PA=PB=PC,可得球心O 在 PO1 上,且(h-R)2+r2=R2,所 以 R= 1 2 h+ 1 h ≥12·2 h·1h =1,当且仅当 h=1时等号成立,此时外接球的表面积最 小,所以三棱锥 P-ABC 外接球的表面积的 最小值为4πR2=4π。应选B。 作者单位:山东省邹平市第一中学 (责任编辑 王琼霞) 62 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月