11 空间何体中的截面问题题型例讲-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■廖 龙 空间几何体中的截面问题,常常涉及轴截 面、截面形状的判断、截面的周长、截面的面积 等。下面举例分析,供同学们学习与参考。 一、圆柱、圆锥的轴截面 例1 若一圆柱与圆锥的高相等,且轴 截面面积也相等,则圆柱与圆锥的体积之比 为( )。 A.1 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 4 解:设圆柱与圆锥的底面半径分别为R, r,高都是h。由题设知2Rh= 1 2×2rh ,所以 r=2R,所 以 V柱 =πR2h,V锥 = 1 3πr 2h= 4 3πR 2h,所以 V柱 V锥= 3 4 。应选D。 评注:圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截 面是等腰三角形。 二、圆柱的横截面 例2 有位油漆工用一把滚筒长度为 50cm,横截面半径为10cm的刷子给一块面 积为10m2 的木板涂油漆,且滚筒刷以每秒5 周的速度在木板上匀速滚动前进,则油漆工完 成任务所需的时间是 s(精确到0.01)。 解:滚筒刷滚动一周涂过的面积等于圆 柱的侧面积。因为圆柱的侧面积S侧=2π× 0.1×0.5=0.1π(m2),且滚筒刷以每秒5周 的速度匀速滚动,所以滚筒刷每秒滚过的面 积为0.5πm2。所以油漆工完成任务所需的 时间t= 10 0.5π= 20 π≈6.37 (s)。故油漆工完 成任务所需的时间是6.37s。 评注:圆柱的横截面是圆,与上、下底面 圆的半径相等。 三、球的截面 例3 如图1,已知 H 是球O 直径AB 上的一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥截面圆α, H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则 球O 的表面积为 。 图1 解:设球O 的半径为R。由 AH∶HB =1∶2,可得 HA= 1 3 ·2R= 2 3R ,所以OH = R 3 。因为截面圆的面积为π=π·(HM)2, 所以 HM=1。 在Rt△HMO 中,因为 OM2=OH2+ HM2,所以R2= 1 9R 2+HM2= 1 9R 2+1,所 以R= 32 4 。所以球O 的表面积S球=4πR2 =4π· 32 4 2 = 9 2π 。 评注:球的截面是圆,经过球心的截面圆 的半径最大且等于球的半径。 四、截面形状的判断 例 4 (多 选 题)已 知 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,点E 是线段DD1 上的 动点,若过A,B1,E 三点的平面将正方体截 为 两 个 部 分,则 所 得 截 面 的 形 状 可 能 是( )。 A.等边三角形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 解:当点E 与D1 重合时,过A,B1,E 三 点的截面是等边三角形AB1D1,A正确。当 点E 与D 重合时,过A,B1,E 三点的截面为 矩形AB1C1D,B正确。若截面为菱形,则必 有AB1=AE,此时点E 与D1 重合,而截面 不是菱形,C错误。当点E 与DD1 的中点重 32 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 合时,记C1D1 的中点为F(图略),易知EF∥ DC1,由正方体的性质知AD∥B1C1 且AD= B1C1,所以四边形 AB1C1D 为平行四边形, 所以 DC1∥AB1,所以 EF∥AB1 且 EF= 1 2AB1 。设 正 方 体 的 棱 长 为 2,则 AE= B1F= 22+12= 5,所以过 A,B1,E 三点 的截面为等腰梯形AB1FE,D 正确。应选 ABD。 评注:判断一个几何体被平面所截的截 面形状,关键在于弄清这个平面与几何体相 交的交线所成的形状。 五、截面周长的计算 例5 如图2,在三棱锥P-ABC 中,AB +2PC=9,E 为线段AP 上靠近点P 的三等 图2 分点,过 E 作 平 行 于 AB,PC 的平面,则该 平面截三棱锥 P-ABC 所 得 截 面 的 周 长 为( )。 A.5 B.6 C.8 D.9 解:在三棱锥P-ABC 中,过点E 分别作 EF∥AB,EH∥PC,过点 H 作 HG∥AB,连 接FG,则E,F,G,H 四点共面。 因 为 AB⊄ 平 面 EFGH,EF⊂ 平 面 EFGH,所以AB∥平面EFGH。同理可得, PC∥平面EFGH,所以截面即为平行四边形 EFGH。 因为点E 为线段AP 上靠近点P 的三 等分点,且AB+2PC=9,所以EF= 1 3AB , EH= 2 3PC ,所以平行四边形EFGH 的周长为 2(EF+EH)= 2 3 (AB+2PC)=6。应选B。 评注:作多面体的截面的关键在于确定 交点,有了位于多面体同一表面上的两个交 点即可连接成交线,从而得到截面。 六、截面面积的计算 例6 图3是一个三棱锥形状的木块,其 中VA,VB,VC 两两垂直,VA=VB=VC=1 (单位:dm)。小明同学计划通过侧面VAC 内的一点P 将木块锯开,所得截面平行于直 线VB 和AC,则该截面面积(单位:dm2)的最 大值为 。 图3 解:在平面VAC 内,过点P 作EF∥AC, 分别交VA,VC 于点F,E,在平面VBC 中, 过点E 作EQ∥VB 交BC 于点Q,在平面 VAB 中,过点F 作FD∥VB 交BA 于点D, 则四边形 DFEQ 是过点P 且与VB 和AC 平行的截面。 易知四边形 DFEQ 是平行四边形。因 为VB⊥VC,VB⊥VA,VA∩VC=V,VA⊂ 平面VAC,VC⊂平面VAC,所以VB⊥平面 VAC。因为EF⊂平面VAC,所以VB⊥EF。 又EQ∥VB,所以EQ⊥EF,所以平行四边形 DFEQ 是矩形。 由EF∥AC,可得△VEF∽△VCA,设相 似比为k(0<k<1),则 VF VA= VE VC= EF AC=k 。 易知AC= 2,则EF= 2k。因为FD∥VB, 所以△AFD∽△AVB,则 AF VA= AD BA= FD VB 。 因为 AF VA = VA-VF VA =1-k ,所 以FD VB = AF VA=1-k ,所以FD=1-k。故S矩形FEQD= EF·FD= 2k·(1-k)=- 2k- 1 2 2 + 2 4 ,所以当k= 1 2 时,S矩形FEQD 取得最大值,其 最大值为 2 4 。 评注:配方法是求最值的常用方法,但要 注意二次项系数的正负号。 作者单位:湖北省恩施市第三高级中学 (责任编辑 王琼霞) 42 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月