10 与空间几何体有关的面积、体积的最值的求解方法-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■李婷婷 方法一:确定特殊位置探究体积的最值 问题 例1 如 图1,在 三 棱 锥 A-BCD 中, AB⊥BD,AC⊥CD,AB=8,BD=6,点 P 为三棱锥A-BCD 外接球上一点,则三棱锥 P-ABD 的体积的最大值为 。 图1 解析:在 三 棱 锥 A-BCD 中,由 AB⊥ BD,且 AB=8,BD=6,可得 AD=10。取 AD 的中点O。因为AB⊥BD,AC⊥CD,所 以OB=OC= 1 2AD ,所以点 O 为三棱锥 A-BCD 的外接球的球心,其中AD 为外接球 的直径。设外接球的半径为R,则R= 1 2AD =5。易得当点P 到平面ABD 的距离为R 时,三棱锥P-ABD 的体积最大,其最大值为 V= 1 3× 1 2AB×BD×R= 1 3× 1 2×8×6× 5=40。 反思:取AD 的中点O,可得OB=OC= 1 2AD ,则点O 为三棱锥A-BCD 的外接球的 球心,可得外接球的半径为 R= 1 2AD 。显 然,当点P 到平面ABD 的距离为R 时,三棱 锥P-ABD 的体积最大,从而可求出最大值。 方法二:确定特殊位置探究面积的最值 问题 例2 已知一个正四棱台的上、下底面 的边长分别为2和8,侧棱长为35,则该正 四 棱 台 内 的 半 径 最 大 的 球 的 表 面 积 为( )。 A.12π B.27π C. 64π 9 D. 64π 3 解析:作出如图2所示的正四棱台,其中 OO1 为正四棱台的高,EE1 为其斜高。 图2 因为正四棱台的上、下底面边长分别为 2和8,侧棱长为35,所以B1O1= 2,BO= 42,OO1= (35)2-(42- 2)2=33。 因为OO1=33> 2+8 2 =5 ,所以半径最大的 球不与上、下底面同时相切。 因为EE1= (33)2+ 8-2 2 2 =6,所 以sin∠OEE1= OO1 EE1 = 3 2 ,则∠OEE1= π 3 。 过O,E,E1,O1 作正四棱台的截面,如 图3所示,这时截面截球即得大圆,则该圆与 等腰梯形两腰和下底相切。 图3 因为∠OEE1= π 3 ,所以∠O2EO= π 6 ,可 12 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 得OO2=OE·tan30°= 43 3 < OO1 2 = 33 2 , 所以更确定最大内切球与四个侧面及下底面 相切,所以该正四棱台内的半径最大的球半 径r=OO2= 43 3 ,所以球的表面积为S= 4πr2= 64 3π 。应选D。 反思:观察图形特征,确定取得最值的条 件,计算得到最值。先求出正四棱台的高,再 确定最大内切球与四个侧面及下底面相切, 利用三角关系求出球的半径,最后结合球的 表面积公式求得结果。 方法三:将特殊的四面体纳入长(或正) 方体中探究最值问题 例3 已知三棱锥P-ABC,Q 为BC 的 中点,PA⊥AC,BC⊥AC,且 PA= 3,AC =1,BC=2,PB=22,则三棱锥P-ABC 外 接球的表面积为 ,过点Q 的平面截该三 棱锥外接球所得截面面积的最小值为 。 解 析:由 BC ⊥ AC,可 得 AB = BC2+AC2= 22+12= 5。由PA= 3, PB=22,可得AB2+AP2=PB2,所以PA ⊥AB。因为PA⊥AC,AB∩AC=A,AB, AC⊂底面ABC,所以PA⊥底面ABC。 将三棱锥 P-ABC 放置在长方体中,如 图4所示。 图4 由长方体外接球的直径为体对角线长, 可知PB 为三棱锥P-ABC 外接球的直径,球 心O 为PB 的中点,所以外接球的半径R= PB 2 = 22 2 = 2 ,所以三棱锥P-ABC 外接球 的表面积为4πR2=4π(2)2=8π。 设过点Q 的平面为α,当OQ⊥α 时,所 得截面的面积最小。该截面是以点 Q 为圆 心 的 圆。 因 为 OQ = OB2-BQ2 = (2)2-12 =1,所 以 圆 Q 的 半 径 为 OB2-OQ2= 2-1=1,所以截面面积的 最小值为π×12=π。 反思:利用勾股定理及线面垂直的判定 定理得到PA⊥底面ABC,再利用补体法求 得外接球的半径,即得球的表面积;利用外接 球和三棱锥的几何性质,结合圆的面积公式 求得截面面积的最小值。 方法四:构建二元变量满足的关系式,利 用不等式求圆锥侧面积的最值 例4 已知一个圆锥的母线长与底面直 径相等,圆锥的表面积为6π。 (1)求此圆锥的体积。 (2)若此圆锥内有一圆柱,该圆柱的下底 面在圆锥的底面上,求该圆柱侧面积的最 大值。 解析:(1)设圆锥底面圆的半径为r。依 题意 得 圆 锥 的 母 线 长l=2r,所 以 πr2+ πrl=6π,解得r= 2。因为圆锥的高h= l2-r2= 3r= 6,所以此圆锥的体积V= 1 3πr 2·h= 26 3 π 。 (2)设圆锥的内接圆柱的底面圆的半径 为r0,圆柱的高为h0,则 r0 r = h-h0 h ,所以 r0 2 = 6-h0 6 ,解得h0= 6- 3r0。 因 为 圆 柱 的 侧 面 积 S =2πr0h0 = 23πr0(2-r0)≤2 3πr0+ 2-r0 2 2 = 3π,当且仅当r0= 2 2 时取等号,所以该圆柱 侧面积的最大值为 3π。 反思:利用圆锥与其内接圆柱的结构特 征及侧面积的函数关系,借助基本不等式即 可求出侧面积的最大值。 作者单位:甘肃省酒泉中学 (责任编辑 王琼霞) 22 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月