08 小议特殊几何体的外接球问题-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■王玉林 几何体的外接球,是指一个空间几何图 形的外接球。对于旋转体和多面体,外接球 有不同的定义,广义理解为球将几何体包围, 且几何体的顶点和弧面在此球上。 一、正方体的外接球 例1 设一个球的表面积为S1,它的内接 正方体的表面积为S2,则 S1 S2 的值等于 。 解析:设球的半径为R,其内接正方体的 棱长为a,则3a2=(2R)2,所以a= 23 3 R 。 故 S1 S2 = 4πR2 6× 23 3 R 2= π 2 。 评注:正方体的体对角线的中点就是其 外接球和内切球的球心。 二、长方体的外接球 例2 长方体的一个顶点处的三条棱长 分别是 3,3,6,这个长方体的八个顶点都 在同一个球面上,则这个球的表面积是 。 解析:由题意知该长方体的体对角线长 即为球的直径,其长为23,所以球的半径为 3,所以球的表面积为12π。 评注:长方体的体对角线的中点就是其 外接球的球心。 三、正四棱柱的外接球 例3 已知底面边长为1,侧棱长为 2的 正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该 球的体积为 。 解析:因为正四棱柱的外接球的球心为 上、下底面的中心连线的中点,所以球的半径 r= 2 2 2 + 2 2 2 =1,所以球的体积V= 4π 3r 3= 4π 3 。 评注:正四棱柱是底面为正方形的长 方体。 四、正六棱柱的外接球 例4 已知六棱柱的底面是正六边形, 其侧棱垂直于底面,该六棱柱的顶点都在同 一个球面上,且该六棱柱的体积为9 8 ,底面周 长为3,则这个球的体积为 。 解析:设正六棱柱的底面边长为x,高为 h,则 6x=3, 9 8=6× 3 4x 2h, 解得 x= 1 2 , h= 3。 所以正 六棱柱的底面外接圆的半径r= 1 2 ,球心到 底面的距离d= 3 2 。所以其外接球的半径R = r2+d2=1,所以外接球的体积V球= 4π 3 。 评注:正六棱柱的底面由六个全等的等 边三角形构成。 五、正三棱台的外接球 例5 已知正三棱台的高为1,上、下底 面的边长分别为33和43,其顶点都在同 一个球面上,则该球的表面积为 。 解析:由题意得正三棱台上、下底面的外 接圆的半径分别为 2 3× 3 2×3 3=3 ,2 3× 3 2×43=4 。设该正三棱台上、下底面的外 接圆的圆心分别为O1,O2,则O1O2=1,且 外接球的球心O 在直线O1O2 上。 设球O 的半径为R。当球心O 在线段 O1O2 上时,由 R2=32+OO21=42+(1- OO1)2,解得OO1=4(舍去);当球心O 不在 线段O1O2 上时,由 R2=42+OO22=32+ (1+OO2)2,解得OO2=3,所以R2=25。 故该球的表面积为4πR2=100π。 评注:正三棱台的上、下底面都是正三角 形,所有的正三棱台都有外接球。 六、正四棱台的外接球 例6 (多选题)如图1所示,在正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1 =2AB =4, AA1=2,则( )。 71 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 图1 A.该棱台的高为 2 B.该棱台的表面积为16+123 C.该棱台的体积为282 D.该棱台外接球的体积为 40 10 3 π 解析:由题意知AC=22,A1C1=42, 所以正四棱台的高h= 22- 42-22 2 2 = 2,A正确。因为正四棱台的侧面为等腰 梯形,所以斜高h'= 22- 4-22 2 = 3,所 以正四棱台的侧面积为4× 1 2× (2+4)× 3 =123,上、下底面的面积分别为4,16,所以 正四棱台的表面积S=4+16+123=20+ 12 3,B错误。正四棱台的体积V= 1 3× (4+ 4×16+16)×2= 282 3 ,C错误。设正 四棱台的外接球的球心为O,球O 的半径为 R,球心O 到上底面的距离为x,结合题意得 R2=(2)2+x2, R2=(22)2+(2-x)2, 解 得 x=22,R= 10, 所 以该 正 四 棱 台 的 外 接 球 的 体 积 为 4 3π× (10)3= 40 10 3 π ,D正确。应选AD。 评注:正四棱台的上、下底面都是正方 形,所有的正四棱台都有外接球。 七、正四面体的外接球 例7 棱长为12的正四面体的外接球的 表面积为 。 解析:如图2,在棱长为12的正四面体 ABCD 中,△BCD 是 正 三 角 形,O1 是 图2 △BCD 的中心。 易 得 DO1 = 43,AO1=46。设 O 是正四面体ABCD 的外接球的球心,球 的半径为R,则O 在 AO1 上,所以 OA= OD=R。因 为 OO1 ⊥平面BCD,DO1⊂平面BCD,所以OO1⊥ DO1。在 Rt△DOO1 中,由 勾 股 定 理 得 DO2=OO21+DO21,所以R2=(46-R)2+ (43)2,解得R=36,所以棱长为12的正 四面体的外接球的表面积为216π。 评注:正四面体的外接球和内切球的球 心重合,正四面体的中心到顶点的距离是中 心到底面距离的3倍。 八、正三棱锥的外接球 例8 已知正三棱锥P-ABC,点P,A, B,C 都在半径为 3的球面上,若 PA,PB, PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距 离为 。 解析:已知正三棱锥的侧棱PA,PB,PC 两两互相垂直,以PA,PB,PC 为棱补成正方 图3 体,如图3所示,所以球 心O为体对角线PD 的 中点,且PO=3。易得 正方体的棱长为2。 设P 到平面ABC 的距离为h,结合正三 棱 锥 的 体 积 得 1 3 × 3 4× (22)2×h= 1 3× 1 2×2×2×2 ,所以 h= 23 3 ,所以球心到截面 ABC 的距离为 3- 23 3 = 3 3 。 评注:正三棱锥的底面是正三角形,侧棱 都相等,其外接球的球心在高线上。 作者单位:湖北省恩施土家族苗族自治 州高级中学 (责任编辑 王琼霞) 81 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月