07 巧用平行线证明直线与平面平行-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■梁 华 空间中的平行关系是高考考查的热点。 证明直线与平面平行,主要运用直线与平面 平行的判定定理和平面与平面平行的性质。 下面结合实例具体分析。 一、利用直线与平面平行的判定定理 要证线面平行,可证线线平行,关键是找 线线平行。 1.利用中点寻找中位线,由中位线的性 质寻求线面平行 例1 如图1,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,D 是AB 的中点。 图1 求证:BC1∥平面A1CD。 证明:连接AC1 交A1C 于点F,则F 为 AC1 的中点。因为 D 是AB 的中点,所以 DF∥BC1。又因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄ 平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD。 方法总结:根据几何图形的特点,寻找或 选取中点,构造三角形的中位线,利用线面平 行的判定定理证明线面平行。 2.利用平行四边形的性质 例2 如图2所示,在四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中,底面ABCD 是等腰梯形,AB =2CD,M 是线段AB 的中点。 图2 求证:C1M∥平面A1ADD1。 证明:连接 AD1。因为 M 为AB 的中 点,AB=2CD,所以 AM= 1 2AB=CD 。又 CD=C1D1,所以AM=C1D1。 在四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 中,因 为 AM∥DC∥D1C1,所以四边形AMC1D1 是平 行四边形,所以C1M∥AD1。又因为C1M⊄ 平面 A1ADD1,AD1⊂平面 A1ADD1,所以 C1M∥平面A1ADD1。 方法总结:在证明线面平行时,可以将平 面内的一条直线平移到平面外,使两条直线 成为平行四边形的一组对边,构造出一组平 行线,利用线面平行的判定定理即可证明线 面平行。 3.利用相似比证明线线平行 例3 如图3,在三棱锥P-ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,AB=BC,PA⊥PC。点 E,F,O 分别是线段PA,PB,AC 的中点,点 G 是线段CO 的中点。 图3 求证:FG∥平面EBO。 证明:连接AF 交BE 于点Q。因为E, F 分别为PA,PB 的中点,所以Q 为△PAB 51 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 的重心,所以AQ QF=2 。因为O 为线段AC 的 中点,G 为线段CO 的中点,所以 AO OG=2 ,所 以 AQ QF= AO OG ,所以FG∥QO。 因为FG⊄平面EBO,QO⊂平面EBO, 所以FG∥平面EBO。 方法总结:如果一条直线截三角形的两 边(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例,那么这条直线平行于三角形的第三边,这 也是判断线线平行的一种有力工具。 4.利用直线与平面平行的性质定理证明 线面平行 例4 如图4,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A,B 的点,P 为平面ABC 外 一点,E,F 分别是PA,PC 的中点,记平面 BEF 与平面ABC 的交线为l,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明。 图4 解:直线l∥平面PAC。证明如下。 由E,F 分别为PA,PC 的中点,可得 EF∥AC。因为EF⊄平面ABC,AC⊂平面 ABC,所以EF∥平面ABC。因为EF⊂平面 BEF,平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥ l。又因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC, 所以l∥平面PAC。 方法总结:要证线面平行,可证线线平 行;要证线线平行,可证线面平行。 二、利用面面平行的性质 由面面平行,可得线线平行。 例5 如图5,已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M,N 分别是AB, PC 的中点。 图5 证明:(1)MN∥平面PAD。 (2)若平面PAD∩平面PBC=l,试判 断BC 与l的位置关系,并证明你的结论。 证明:(1)取CD 的中点Q。因为 M,N, Q 分别为AB,PC,CD 的中点,所以 MQ∥ AD,NQ∥PD。又 MQ⊄平面PAD,AD⊂ 平面PAD,所以 MQ∥平面 PAD。同理可 得,NQ∥平面PAD。 因为 MQ,NQ ⊂ 平 面 MNQ,MQ ∩ NQ=Q,所以平面 MNQ∥平面 PAD。又 MN⊂平面 MNQ,故 MN∥平面PAD。 (2)BC∥l。证明如下。 因为四边形ABCD 为平行四边形,所以 AD∥BC。因为BC⊄平面PAD,AD⊂平面 PAD,所以BC∥平面PAD。 又平面PAD∩平面 PBC=l,BC⊂平 面PBC,所以BC∥l。 方法总结:当无法直接根据线面平行的 判定定理证明线面平行时,可利用面面平行 的判定定理找到或证明两个平面平行,然后 利用面面平行的性质证明线面平行。 在 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中,AB= 2BB1,则AB1 与BC1 所成角的大小为 。 提示:将正三棱柱ABC-A1B1C1 补形为 四棱柱ABCD-A1B1C1D1,则C1D∥B1A,所 以∠BC1D 即为所求的角(或其补角)。设 BB1= 2,则 AB=BC=CD=2,∠BCD= 120°,BD=2 3。因为 BC1=C1D= 6,所 以BD2=BC21+C1D2,所以∠BC1D=90°。 作者单位:陕西省汉阴县汉阴中学 (责任编辑 王琼霞) 61 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月