07 坐标表示下向量共线定理的应用&08 巧用分类讨论思想求解向量问题-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■周 杰 向量共线定理是平面向量线性运算中的 重要内容之一,也是解决平面向量及其应用 问题的一个重要知识点。特别是基于坐标表 示下的向量共线定理,对于解决平面向量中 的条件判断、坐标求解、参数确定、知识交汇 及创新应用等,都有其突出的表现,成为解决 平面向量问题的关键点与突破口,要引起同 学们的高度重视。 一、条件判断 例1 已知向量a=(-3,m),b=(1, -1),则“m=3”是“a∥b”的( )。 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:当m=3时,则a=(-3,3),b=(1, -1),此时a=-3b,所以a∥b。 当a∥b 时,由向量共线定理得-3× (-1)-1×m=0,解得m=3。 综上可知,“m=3”是“a∥b”的充要条 件。应选A。 点评:解决坐标表示下向量共线的条件 判断问题,关键是把握两向量平行的条件,借 助向量共线定理进行分析,完成此类充分、必 要条件的判断。 二、坐标求解 例2 (1)在梯形ABCD 中,已知AB= 2BC=2CD=2AD,且AB→=(2,4),则CD→= ( )。 A.(2,1) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,-1) (2)在△ABC 中,已知点O(0,0),A(0, 5),B(4,3),OC→=14OA →,OD→=12OB →,AD 与 BC 交于点M,则点 M 的坐标为 。 解:(1)在梯形 ABCD 中,AB=2BC= 2CD=2AD,所以AB∥CD,CD= 1 2AB 。 利用向量共线定理得CD→=-12AB →= (-1,-2)。应选C。 (2)由题意知点C 0, 5 4 ,D 2,32 ,所 以向量AD→=OD→-OA→= 2,-72 。 设点 M(x,y),则AM→=(x,y-5)。因 为A,M,D 三点共线,所以 AM→ 与AD→ 共 线。由向量共线定理得- 7 2x-2 (y-5)= 0,即7x+4y=20。 因为 CM→= x,y-54 ,CB→= 4,74 , 又C,M,B 三点共线,所以CM→ 与CB→ 共线。 由向量共线定理得 7 4x-4y- 5 4 =0,即 7x-16y=-20。 据 上 联 立 可 得 方 程 组 7x+4y=20, 7x-16y=-20, 解得 x= 12 7 , y=2, 所以点 M 的 坐标为 12 7 ,2 。 点评:利用向量共线求向量或点的坐标 的一般思路:求与已知向量a共线的向量时, 可设所求向量为λa(λ∈R),结合题设条件列 出关于λ的方程(组),求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量;求点的坐标时,可设点 的坐标为(x,y),根据向量共线的条件列方 程(组),求出x,y 的值。 三、参数确定 例3 (1)已知a=(1,2),b=(-3,2), 若(ka+b)∥(a-3b),则k的值是( )。 A.1 B. 1 3 C.- 1 3 D.-1 (2)若A(1,2),B(-3,4),C(5,m)三点 不能构成三角形,则m= 。 解:(1)由题意知ka+b=(k-3,2k+ 21 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 2),a-3b=(10,-4)。 由(ka+b)∥(a-3b),结合向量共线定 理得 k-3 10 = 2k+2 -4 ,整理得-4k+12=20k+ 20,解得k=- 1 3 。应选C。 (2)当 A,B,C 三点共线,即 AB→∥AC→ 时,A,B,C 三点不能构成三角形。 由A(1,2),B(-3,4),C(5,m),可得 AB→=(-4,2),AC→=(4,m-2)。 由 AB→∥AC→,结 合 向 量 共 线 定 理 得 -4(m-2)-8=0,解得m=0。 点评:利用向量共线的坐标表示求参数 的一般步骤:根据已知条件求出向量的坐标; 利用向量共线的坐标表示列出方程(组);由 方程(组)解得参数的值。 四、知识交汇 例4 已知向量a=(-2,cosα),b=(1, sinα),且a∥b,则 sin2α 2cos2α+3 = 。 解:由向量a∥b,结合向量共线定理得 -2sinα-cosα=0,所以tanα=- 1 2 。 所 以 sin2α 2cos2α+3 = 2sinαcosα 5cos2α+3sin2α = 2tanα 5+3tan2α = -1 5+3× 1 4 =- 4 23 。 点评:解决坐标表示下向量共线的知识 交汇问题,关键是利用平面向量的共线定理 构建对应的关系式(或不等式),进而结合其 他知识进行分析与求解。 五、创新应用 例5 已知△ABC 所在平面内的动点 M 满足AM→=xAC→+yAB→,且实数x,y 构成 的向量a= x- 1 2 ,y 与b=(-1,2)共线, 则动 点 M 的 轨 迹 必 经 过△ABC 的 。 (用“重心”“内心”“外心”或“垂心”填空) 解:由a= x- 1 2 ,y 与b=(-1,2)是 共线向量,结合向量共线定理得2x- 1 2 + y=0,即2x+y=1。 所以 AM→ =xAC→ +yAB→ 可 变 形 为 AM→=xAC→+(1-2x)AB→,所以AM→-AB→= x(AC→-2AB→),所以BM→=x(BC→-AB→)= x(BC→+BA→)。 取AC 的中点E,如图1所示。 图1 因为 BC→ +BA→ =2BE→,所 以 BM→ = 2xBE→,所以动点 M 的轨迹必经过△ABC 的 重心。 点评:解决坐标表示下向量共线的创新 应用问题,往往是基于平面几何图形与平面 向量知识,结合向量共线定理的应用,进行深 入分析与合理挖掘,为创新问题的解决与突 破创造条件。 1.已知|a|=5,|b|=4,与b 同向的单 位向量为e,若a在b上的投影向量为- 5 2e , 则a与b的夹角θ=( )。 A.60° B.120° C.135° D.150° 提示:因为向量a 在b 上的投影向量为 a·b |b| · b |b|= a·b |b| ·e=- 5 2e ,所以a ·b |b|= - 5 2 ,即5×4×cosθ 4 =- 5 2 ,解得cosθ= - 1 2 。又0°≤θ≤180°,故θ=120°。应选B。 2.已知向量a=(-2,-1),b=(-4, m),若向量b在向量a方向上的投影数量为 5,则实数m=( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 提示:由向量b 在a 方向上的投影数量 为 a·b |a|= 8-m 5 = 5,可得m=3。应选C。 作者单位:江苏省泰州市姜堰区溱潼中学 (责任编辑 王琼霞) 31 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 ■叶 剑 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法, 也是一种数学思想。在分类讨论时,需要做 到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级,还 需要归纳总结得出结论。 一、因向量的方向不确定需要分类讨论 例1 已知向量a∥b,且|a|>|b|>0, 则向量a+b的方向( )。 A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 D.不确定 解析:若a 与b 方向相同,则a+b 的方 向与a的方向相同;若a 与b方向相反,且a 的模大于b的模,则a+b的方向与a的方向 相同。应选A。 点评:向量平行,也就是向量共线,其方 向可以相同或相反。 二、因向量的位置关系不确定需要分类 讨论 例2 已知非零向量a,b,c,满足a+ b+c=0,那么表示向量a,b,c的有向线段是 否一定能构成三角形? 解析:分两种情况求解。①当a,b 不共 线时,在平面上任取一点A,作AB→=a,再以 B 为始点作BC→=b,则AC→=a+b,这时A, B,C 三点不共线。因为a+b+c=0,所以 c=-(a+b)=-AC→=CA→。所以表示a,b, c的有向线段能构成△ABC。②当a,b共线 时,即使a+b+c=0成立,也不能构成三角 形。综上可得,只有a,b,c两两均不共线时, 表示它们的有向线段才能构成三角形。 点评:判断几个向量构成的图形,需要注 意特殊情况是否满足条件。 三、因角的大小不确定需要分类讨论 例3 在△ABC 中,AB→=(2,3),AC→= (1,k),且△ABC 的一个内角为直角,则k的 值为 。 解析:当A=90°时,因为AB→·AC→=0, 所以2×1+3×k=0,可得k=- 2 3 ;当B= 90°时,因为 AB→·BC→=0,又 BC→=AC→- AB→=(1-2,k-3)=(-1,k-3),所以2× (-1)+3×(k-3)=0,可得k= 11 3 ;当C= 90°时,因为AC→·BC→=0,所以-1+k(k-3) =0,可得k= 3± 13 2 。 故k=- 2 3 或k= 11 3 或k= 3± 13 2 。 点评:解答本题的关键是利用△ABC 中的 内角为直角进行分类讨论,否则容易产生漏解。 四、因参数不确定需要分类讨论 例4 已知点A(x,0),B(2x,1),C(2, x),D(6,2x)。当向量AB→ 与CD→ 共线时,点 A,B,C,D 是否在一条直线上? 解析:由题设得 AB→=(x,1),CD→=(4, x),BC→=(2-2x,x-1)。若向量AB→ 与CD→ 共线,则x2=4,所以x=±2。 当x=2时,BC→=(-2,1),AB→=(2,1), 所以AB→ 和BC→ 不平行,此时A,B,C,D 四 点不在一条直线上;当x=-2时,BC→=(6, -3),AB→=(-2,1),所以AB→∥BC→,此时A, B,C 三点共线。又AB→∥CD→,所以A,B,C, D 四点在一条直线上。 综上可得,当x=2时,A,B,C,D 四点 不在一条直线上;当x=-2时,A,B,C,D 四点在一条直线上。 点评:当所求问题中含有参数时,需要对 参数进行分类讨论,否则容易产生漏解。 作者单位:湖北省巴东县第二高级中学 (责任编辑 王琼霞) 41 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月