05 异面直线所成角的解法探究-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■全 乐 异面直线所成的角是立体几何中一个重 要的知识点,是高考的一个常考点,也是同学 们学习的一个难点。下面就异面直线所成的 角的求解方法,进行分类解析。 一、平移法 平移法求异面直线所成角,关键是通过 平移作出这两条异面直线所成的角。基本方 法是:将其中一条平移到某个位置,使其与另 一条相交,或将两条异面直线同时平移到某 个位置,使它们相交,然后在同一平面内求相 交直线所成的角。 1.直接平移法 例1 如图1,ABC-A1B1C1 是直三棱 柱,∠BCA=90°,点 D1,F1 分别是 A1B1, A1C1 的中点,若BC=CA=CC1=1,则BD1 与AF1 所成角的余弦值为 。 图1 解析:取 BC 的中点E,则 BE∥D1F1, BE=D1F1,所以四边形BEF1D1 是平行四 边形,所以 F1E∥D1B,所以∠EF1A 就是 BD1 与 AF1 所 成 的 角。易 得 F1A= 5 2 , F1E=D1B= 6 2 ,AE= 5 2 。在△EAF1 中, 由余弦定理易得cos∠EF1A= 30 10 。 例2 如图2所示,在正三棱锥A-BCD 中,E 在棱AB 上,F 在棱CD 上,并使 AE EB= CF FD=λ (0<λ<+∞)。设α为异面直线EF 与AC 所成的角,β为异面直线EF 与BD 所 成的角,则α+β的值是( )。 图2 A. π 6 B. π 4 C. π 2 D. 与λ有关的变量 解析:过E 作EG∥AC 交BC 于G。因 为 AE EB= CF FD=λ ,EG∥AC,所以 CG GB= CF FD= λ,所以GF∥BD,所以∠FEG=α,∠GFE= β。易证AC⊥BD,所以α+β= π 2 。应选C。 2.中位线平移法 图3 例3 如图3,在 棱长都相等的四面体 A-BCD 中,E,F 分 别是棱AD,BC 的中 点,连接 AF,CE,求 异面直线 AF 与CE 所成角的余弦值。 解析:取 DF 的 中点G,则EG∥AF, 所以∠GEC(或其补 角)即为异面直线AF 与CE 所成的角。 因为AF 是正三角形ABC 的高,所以 AF = 3 2 AB ,所 以 EG = 3 4 AB 。 在 Rt△FCG 中,由FG= 1 2DF= 3 4AB ,CF= 11 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 1 2AB ,可得CG= FG2+CF2= 7 4AB 。在 △ECG 中,CE= 3 2AB ,EG= 3 4AB ,CG= 7 4AB ,由余弦定理得cos∠GEC= 2 3 ,所以 异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为 2 3 。 3.补形平移法 图4 例4 如图4所示,在 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是BB1,CD 的中点,求异面直线 AE 与D1F 所成的角。 解析:在已知正方体 的下方补上一个全等的 正方体,如图4。 取 A2B2 的中点 G。 易 得 AG ∥D1F,所 以 ∠EAG(或 其 补 角)即 为 异 面 直 线 AE 与 D1F 所成的角。设正方体的棱长为2a,则 AE=AG= 5a,GE= 10a。在△EAG 中,因 为 AE2+AG2 =GE2 =10a2,所 以 △EAG 是直角三角形,所以∠EAG=90°,即 异面直线AE 与D1F 所成的角为90°。 二、利用三垂线定理求异面直线所成的角 有一类异面直线所成的角,很难通过平移 或补形进行处理。若能发现一条异面直线在 另一条异面直线所在平面的射影与另一条异 面直线垂直,则问题便可轻松、简捷地获解。 例5 如图5,已知正四棱锥V-ABCD 中,M,N 分别是VB,BC 的中点,则 MN 与 BD 所成角的大小为( )。 图5 A.45° B.90° C.30° D.60° 解析:过 M 作 ME⊥BD 于点E。易证 EN⊥BD(EN∥AC),所以BD⊥MN(三垂 线定理)。应选B。 例6 如图6所示,正三棱锥V-ABC 中,D,E,F 分别是VC,VA,AC 的中点,P 是VB 上的任意点,则直线 DE 与PF 所成 角的大小是( )。 图6 A. π 6 B. π 3 C. π 2 D. 随点P 位置的变化而变化 解析:易得 PF 在底面的射影总在 BF 上。因为BF⊥AC,所以AC⊥PF(三垂线定 理)。又DE∥AC,所以PF⊥DE。应选C。 例7 如图7所示,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,E 为 AD 的 中 点,O 为 侧 面 AA1B1B 的中心,F 为棱C1C 上的任意点,则 异面直线OF 与BE 所成角的大小为( )。 图7 A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 解析:过O 作OG⊥AB 于点G,则 OF 在底面的射影总在GC 上。因为GC⊥BE, 所以BE⊥OF(三垂线定理)。应选D。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 王琼霞) 21 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月