04 探究线面垂直的三种思维途径-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■朱兴刚 途径一:利用线面垂直的判定定理,证明 线面垂直 图1 例1 如图1,在 四棱锥 P-ABCD 中, 四 边 形 ABCD 是 边 长为2的正方形,AC 与 BD 交 于 点 O, PA⊥平面ABCD,且 PA=2。 (1)求证BD⊥平 面PAC。 (2)求PD 与平面PAC 所成角的大小。 解析:(1)已知 AC⊥BD,由PA⊥平面 ABCD,可得 PA⊥BD,再结合直线与平面 垂直的判定定理即得结果。 因为ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD。 因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以 PA⊥BD。又 因 为 PA∩AC=A, PA⊂平 面 PAC,AC⊂ 平 面 PAC,所 以 BD⊥平面PAC。 (2)解题的关键是找到PD 与平面PAC 所成的角。 由(1)知BD⊥平面 PAO,所以∠DPO 就是PD 与平面PAC 所成的角。由 AO= DO= 2,可得PO= AO2+PA2= 6。在 Rt△DPO 中,因为tan∠DPO= DO PO= 2 6 = 3 3 ,所以∠DPO=30°,所以PD 与平面PAC 所成的角为30°。 感悟:线面垂直的判定定理“a⊥b,a⊥ c,c⊂α,b⊂α,且b∩c=P⇒a⊥α”是探究线 面垂直的重要方法和依据。 途径二:利用平行线的传递性,证明线面 垂直 例2 如图2所示,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD 是矩形, PA=AB= 2,AD=2,过点B 作BE⊥AC 交AD 于点E,点F,G 分别为线段PD,DC 的中点。 图2 (1)证明:AC⊥平面BEF。 (2)求三棱锥F-BGE 的体积。 解析:(1)解题的关键是利用三角形的相 似比,求出 AE 的长。因为 BE⊥AC,所以 ∠DAC+ ∠BEA = π 2 。因 为 ∠DAC + ∠DCA= π 2 ,所 以∠DCA=∠BEA,所 以 Rt△BAE∽Rt△ADC,所以 AD AB= CD AE 。 又AD=2,AB=CD= 2,所以AE=1, 所以点E 为线段AD 的中点,所以EF∥PA。 因为PA⊥平面ABCD,所以EF⊥平面 ABCD,所以EF⊥AC。 又因为 EF∩BE=E,EF,BE⊂平面 BEF,所以AC⊥平面BEF。 (2)由(1)知EF 是△PAD 的中位线,所 以EF∥PA 且EF= 1 2PA= 2 2 。 因为PA⊥平面ABCD,所以EF⊥平面 ABCD。 因为S△BEG=S矩形ABCD-S△ABE-S△EDG- S△BCG=2 2- 2 2 - 2 4 - 2 2 = 32 4 ,所以 V三棱锥F-BGE= 1 3S△BEG ·EF= 1 3× 32 4 × 2 2= 1 4 。 9 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 感悟:若两条平行线中的一条垂直于一 个平面,则另一条也垂直于这个平面。解题 时要注意线线、线面垂直的相互转化。 途径三:利用面面垂直的性质定理,证明 线面垂直 例3 如图3,在三棱锥P-ABC 中,平面 PAC⊥平面PBC,PA⊥平面ABC。 图3 (1)求证:BC⊥平面PAC。 (2)若 AC =BC =PA,求 二 面 角 A-PB-C 的大小。 解析:(1)作AD⊥PC 于点D。 因 为 平 面 PAC ⊥ 平 面 PBC,平 面 PAC∩平面PBC=PC,AD⊂平面PAC,所 以AD⊥平面PBC。又BC⊂平面PBC,所 以AD⊥BC。 因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面PBC, 所以PA⊥BC。 又因为PA,AD⊂平面PAC,PA∩AD =A,所以BC⊥平面PAC。 (2)利用三垂线法作平面角。作 DE⊥ PB 于点E。由(1)知 AD⊥平面 PBC。因 为PB⊂平面PBC,所以AD⊥PB。 因为AD,DE⊂平面ADE,AD∩DE= D,所以PB⊥平面ADE。 又AE⊂平面 ADE,所以PB⊥AE,所 以∠AED 即为二面角A-PB-C 的平面角。 因为DE⊂平面 PBC,所以 AD⊥DE。 不妨设AC=BC=PA=1,则PC= 2,所以 AD= PA·AC PC = 1 2 = 2 2 。 由(1)知BC⊥平面PAC。因为AC⊂平 面PAC,所以BC⊥AC,所以 AB= 2。因 为PA⊥平面 ABC,AB⊂平面 ABC,所以 PA⊥AB,所以 PB= PA2+AB2 = 3, AE= PA·AB PB = 2 3 = 6 3 。 在Rt△ADE 中,因为sin∠AED= AD AE = 2 2 6 3 = 3 2 ,所 以 ∠AED = π 3 ,即 二 面 角 A-PB-C 的大小为 π 3 。 感悟:利用面面垂直的性质定理“α⊥β, α∩β=a,l⊥a,l⊂β⇒l⊥α”,可以证明线面 垂直,这是添加辅助线的方法和依据。 如图4所示,在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,E,F 分别 是PC,PD 的中点。 图4 (1)若 PA=AB=1,BC=2,求四棱锥 P-ABCD 的体积。 (2)求证:EF⊥平面PAD。 提 示:(1)在 底 面 是 矩 形 的 四 棱 锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,由 PA= AB=1,BC=2,可得VP-ABCD= 1 3S矩形ABCD · PA= 1 3×1×2×1= 2 3 。 (2)由四边形ABCD 为矩形,可得CD⊥ AD。由PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, 可得 PA⊥CD。因 为 AD∩PA=A,所 以 CD⊥平面PAD。 又因为E,F 分别是PC,PD 的中点,所 以EF∥CD,所以EF⊥平面PAD。 作者单位:安徽省和县第一中学 (责任编辑 王琼霞) 01 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月