03 合理运用平面的基本性质解决“四共”问题-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■刘长柏 平面的基本性质主要由三个公理构成, 是“化空间图形为平面图形”的有力工具。学 好立体几何,在思维上要完成平面思维向空 间思维的过渡。下面就“四共”问题,即点共 面、线共面、点共线和线共点问题进行举例 剖析。 一、点共面问题 例1 如图1所示,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,若 E,F,G 分 别 为 棱 BC, CC1,B1C1 的 中 点,O1,O2 分 别 是 四 边 形 ADD1A1,A1B1C1D1 的中心,则下列说法不 正确的是( )。 图1 A.A,C,O1,D1 四点共面 B.D,E,G,F 四点共面 C.A,E,F,D1 四点共面 D.G,E,O1,O2 四点共面 解:对于A,由O1 是四边形ADD1A1 的 中心,可知O1 是AD1 的中点,所以O1 在平 面ACD1 内,所以A,C,O1,D1 四点共面,A 正确。对 于 B,由 E,F,G 分 别 为 棱 BC, CC1,B1C1 的 中 点,可 知 E,F,G 在 平 面 BCC1B1 内。而 D 不在平面BCC1B1 内,所 以D,E,G,F 四点不共面,B错误。对于C, 由题设知EF∥AD1,所以A,E,F,D1 四点 共面,C正确。对于 D,连接GO2 并延长交 A1D1 于点 H,则点 H 为A1D1 的中点,连接 HO1,则 HO1∥GE,所以G,E,O1,O2 四点 共面,D正确。应选B。 点评:判断A,B,C,D 四点共面,关键是 判断直线AB,CD 相交或平行,其中证明平 行的方法较多,如利用平行四边形对边平行、 三角形的中位线与底边平行及平行线的传递 性来证明线线平行。 二、线共面问题 例2 已知四条直线a,b,c,d 两两相交 且不共点,求证:a,b,c,d 四条直线在同一平 面内。 证明:先证无三线共点的情况,如图2。 图2 由a,b,c,d 两两相交,根据公理2的推 论2知a,b可确定一个平面α。 设c与a,b分别交于点A,B,则a⊂α, b⊂α,A∈a,B∈b。由点A∈α,B∈α,结合 公理1知c⊂α。同理可得d⊂α,所以a,b, c,d 四线共面。 再证三线共点的情况,如图3。 图3 设a,b,c 三条直线相交于点 H。d 与 a,b,c分别交于E,F,G 三个点,且 H∉d。 由公理2的推论1知点 H 与直线d 可确定 一个平面β。由E∈d,可得E∈β。由 H∈ a,E∈d,可得a⊂β。同理可得b⊂β,c⊂β。 所以a,b,c,d 四线共面。 综上可知,a,b,c,d 四线共面。 点评:证明多条直线共面问题,一般是以 三条直线共面作原始题,从而推广到多条直 线共面。 三、点共线问题 例3 如图4,已知四边形 ABCD 中, 7 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 AB∥CD,AB,CD,BC,AD 所在的直线分别 与平面α交于点E,F,G,H,求证:E,F,G, H 四点共线。 图4 证明:由AB∥CD,可设AB,CD 确定平 面β。 由点E,F,G,H 分别在直线AB,CD, BC,AD 上,可知点E,F,G,H 都在平面β 内。因为点E,F,G,H 在平面α和平面β的 交线上,结合公理(两个不平行的平面有且只 有一条交线),所以E,F,G,H 四点共线。 点评:证明点共线问题,可先由两点确定 一条直线,再证其余的点也在这条直线上,也 可以证明所有的点都在一条特定的直线上 (如两个平面的交线)。 四、线共点问题 例4 如图5,设 不 全 等 的△ABC 与 △A1B1C1 不 在 同 一 个 平 面 内,且 AB∥ A1B1,BC∥B1C1,CA∥C1A1,求 证:AA1, BB1,CC1 三线共点。 图5 证明:由△ABC 与△A1B1C1 不在同一 个平面内且不全等,可设AB≠A1B1,则四边 形AA1B1B 为梯形。由 AA1 与BB1 相交, 令其交点为S,则S∈AA1,S∈BB1。 因为BB1⊂平面BB1C1C,AA1⊂平面 AA1C1C,所以点S 在平面BB1C1C 与平面 AA1C1C 的交线上。又平面BB1C1C 与平面 AA1C1C 的交线为C1C,所以S∈C1C,所以 AA1,BB1,CC1 三线交于点S,即AA1,BB1, CC1 三线共点。 点评:证明线共点问题,通常证明两条直 线的交点在第三条直线上,而第三条直线往 往是两个平面的交线。 1.已知直线a∥b,直线l与a,b分别相 交于点A,B,求证:a,b,l三线共面。 提示:因为直线a∥b,所以由公理2的推 论知a,b 确定平面α。因为l∩a=A,l∩ b=B,所以A∈α,B∈α。而A∈l,B∈l,所 以由公理1得l⊂α,故a,b,l三线共面。 2.已知a,b 为两条不同的直线,α,β 为 两个 不 同 的 平 面,则 下 列 命 题 中 正 确 的 是( )。 A.若a∥b,b∥α,则a∥α B.若a∥b,a⊥α,b∥β,则α⊥β C.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b D.若a∥α,b∥β,α⊥β,则a⊥b 提示:对于 A,若a∥b,b∥α,则a∥α 或 a⊂α,A错误。对于B,若a∥b,b∥β,则a⊂β 或a∥β,再结合a⊥α,可得α⊥β,B正确。对 于C,若a∥α,b∥β,α∥β,则直线a,b相交、平 行或异面,C错误。对于D,若a∥α,b∥β,α⊥ β,则直线a,b相交、平行或异面,D错误。应 选B。 3.(多 选 题)下 列 命 题 中 不 正 确 的 是( )。 A.空间四点共面,则其中必有三点共线 B.空间四点不共面,则其中任意三点不 共线 C.空间四点中有三点共线,则此四点不 共面 D.空间四点中任意三点不共线,则此四 点不共面 提示:对于平面四边形来说不成立,A不 正确。若四点中有三点共线,则根据“直线与 直线外一点可以确定一个平面”知四点共面, 与四点不共面矛盾,B正确。由B的分析可 知C不正确。平面四边形的四个顶点中任意 三点 不 共 线,但 四 点 共 面,D 不 正 确。应 选ACD。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 王琼霞) 8 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月