02 直线与平面平行的儿种常见考法归类-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■赵世斌 考法一:利用三角形的中位线证明线线、 线面平行 例1 如图1,四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形,PA=PD,E 为PB 的中 点,已知VE-ABC= 2 3 ,S△PAD=2。 图1 (1)证明:PD∥平面EAC。 (2)求点C 到平面PAD 的距离。 解析:(1)注意E 为中点,构造三角形的 中位线。设BD 与AC 交于点O。由题设得 O 为BD 的中点。因为E 为PB 的中点,所 以EO 是△PBD 的中位线,所以EO∥PD。 因为EO⊂平面EAC,PD⊄平面EAC, 所以PD∥平面EAC。 (2)利用等体积法转化求解。设点C 到 平面PAD 的距离为d。因为E 为PB 的中 点,所以点P 到平面ABCD 的距离等于点E 到平面ABCD 的距离的2倍。由VE-ABC= 2 3 ,可 得 VP-ABC = 4 3 。由 VP-ABC =VP-ACD = VC-PAD,可 得 VC-PAD = 4 3 。因 为 VC-PAD = 1 3S△PAD ·d= 4 3 ,S△PAD=2,所以d=2。故 点C 到平面PAD 的距离为2。 反思:平行关系探究中,常常利用三角形 的中位线得到线线平行,再通过线面平行的判 定定理得到线面平行,进而可得面面平行。要 注意线线、线面、面面平行的合理转化。 考法二:构造平行四边形证明线线、线面 平行 例2 如图2,在多面体ABCDEF 中,四 边形 ABCD 是正方形,AE⊥平面 ABCD, AE∥CF,AB=AE=2CF=2m。 图2 (1)若G 为AE 的中点,求证:CG∥平面 DEF。 (2)若多面体ABCDEF 的体积为32,求 m 的值。 解析:(1)依据题设构造平行四边形,得 到线线平行,进而可得线面平行。因为G 为 AE 的中点,AE∥CF,AE=2CF,所以GE= CF,GE∥CF,所以四边形CFEG 是平行四 边形,所以CG∥FE。因为FE⊂平面DEF, CG⊄平面DEF,所以CG∥平面DEF。 (2)利用多面体 ABCDEF 的体积等于 VB-ACFE+VD-ACFE 求解。因为四边形 ABCD 是正方形,AE⊥平面ABCD,所以AB,AD, AE 两两互相垂直,所以多面体ABCDEF 的 体积等于VB-ACFE+VD-ACFE。因为AB=AE= 2CF=2m,所以四棱锥 B-ACFE 和四棱锥 D-ACFE 的高都为 2m,四边形(直角梯形) ACFE 的 面 积 为 1 2 (AE+CF)·AC= 32m2,所以多面体 ABCDEF 的体积等于 1 3S梯形ACFE ·(2m+ 2m)=4m3。因为多面 体ABCDEF 的体积为32,所以4m3=32,解 得m=2。 反思:证明线面平行的关键是在平面内 找到一条直线与平面外的直线平行,通常可 构造平行四边形,通过线线平行进行转化求 解;非特殊体的体积,通过分割法化归为常见 几何体的体积求解。 5 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 考法三:利用对应线段成比例证明线线、 线面平行 例3 如图3,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形,E 为棱 AB 的中点,DE 与AC 交于点F,G 为△PBC 的重心。 图3 求证:FG∥平面PAB。 证明:利用三角形相似,构造线线平行, 结合线面平行的判定定理证明线面平行。延 长CG 交PB 于点 H,则 H 为PB 的中点。 因为 E 为 AB 的 中 点,所 以 AB=CD= 2AE。又 因 为 AE∥CD,所 以 △AEF ∽ △CDF,所以 CF FA= CD AE=2 。 因为G 为△PBC 的重心,所以 CG GH=2 , 所以 CF FA= CG GH ,所以△CGF∽△CHA,所以 ∠CGF=∠CHA,所以 FG∥AH。又因为 AH⊂平 面 PAB,FG⊄ 平 面 PAB,所 以 FG∥平面PAB。 反思:利用平行线分对应线段成比例,证 明线线平行,进而证明线面平行。 考法四:利用线面平行的性质证明线面 平行 例4 如图4所示,四边形EFGH 为空 间四边形ABCD 的一个截面,已知截面为平 行四边形。 图4 求证:AB∥平面EFGH。 证明:通过证明 EF∥平面 ABD,得到 EF∥AB,由此可得AB∥平面EFGH。 由四边形 EFGH 为平行四边形,可得 EF∥HG。因为 HG⊂平面 ABD,EF⊄平 面ABD,所以EF∥平面ABD。 因为EF⊂平面ABC,平面ABD∩平面 ABC=AB,所以EF∥AB。又因为AB⊄平 面EFGH,EF⊂平面EFGH,所以 AB∥平 面EFGH。 反思:一条直线和一个平面平行,过该直 线的平面和已知平面相交的直线和已知直线 平行,这是线面平行的性质定理,它揭示了 “线面平行得到线线平行”必须构造辅助面完 成,这也是空间问题平面化的重要途径。 如图5,四棱锥P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,四边形ABCD 是正方形,E,F,G 分 别是棱BC,AD,PA 的中点。 图5 证明:PE∥平面BFG。 提示:由四边形BEDF 是平行四边形, 可得DE∥BF,由FG∥PD,可得PD∥平面 BFG,结合DE∥平面BFG,得到平面PDE∥ 平面BFG,因此得到PE∥平面BFG。 由 ABCD 是 正 方 形,E,F 分 别 是 棱 BC,AD 的中点,可得DF=BE,DF∥BE,可 知四边形BEDF 是平行四边形,所以 DE∥ BF。由G 是PA 的中点,可得FG∥PD。因 为PD∩DE=D,FG∩BF=F,所以平面 PDE∥平面BFG。又PE⊂平面PDE,所以 PE∥平面BFG。 作者单位:甘肃省天水市第三中学 (责任编辑 王琼霞) 6 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月