01 求几何体的体积最值的几种常用方法-《中学生数理化》高一数学2025年4月刊

■陈先锋 立体几何中,体积的最值问题是一类重 要题型,求解方法常有以下五种。 一、几何法 例1 已知圆锥的底面半径为1,母线长 为3,则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为 。 图1 解析:易 知 半 径 最大的球即为该圆锥 的内切球。图1为圆 锥PE 及其内切球O。 设内切球的半径 为R,则sin∠BPE= R OP= BE PB= 1 3 ,所 以 OP=3R。 因为PE=OP+ R=4R= PB2-BE2= 32-12=22,所 以R= 2 2 ,所以内切球的体积V= 4 3πR 3= 2 3π ,即该圆锥内半径 最 大 的 球 的 体 积 为 2 3π 。 评注:利用几何法解题,需要熟记几何图 形的性质。 二、配方法 例2 如图2,在平行四边形ABCD 中, BC=2,BD⊥CD,四边形ADEF 为正方形, 平面 ADEF⊥ 平 面 ABCD。记 CD =x, V(x)表示四棱锥F-ABCD 的体积,则V(x) 的最大值为 。 图2 解析:因为平面 ADEF⊥平面 ABCD, 交线为 AD 且FA⊥AD,所以 FA⊥平面 ABCD。 因为BD⊥CD,BC=2,CD=x,所以 BD= 4-x2 (0<x<2),S▱ABCD =CD· BD=x 4-x2。 由题 意 知 BC=AD =FA =2,所 以 V(x)= 1 3S▱ABCD ·FA= 2 3x 4-x 2 (0< x<2),即 V (x)= 2 3 x 4-x 2 = 2 3 -x 4+4x2= 2 3 - (x2-2)2+4。因为0 <x<2,所以0<x2<4,所以当x2=2,即x= 2时,V(x)取得最大值,且V(x)max= 4 3 。 评注:对于二次三项式ax2+bx+c= ax+ b 2a 2 + 4ac-b2 4a (a≠0),当a>0,x= - b 2a 时有最小值 4ac-b2 4a ;当a<0,x=- b 2a 时有最大值 4ac-b2 4a 。 三、基本不等式法 例3 在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠ABC=45°,△APC的面积为42,则三 棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为( )。 A.42π B. 42π 3 C.642π D. 642π 3 图3 解析:如图3所 示,设AC=x。 因为 △APC 的 面 积 为 4 2,所 以 PA= 82 x 。 设△ABC 外 接 圆的半径为r,由正 3 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月 弦定理得 AC sin45°= 2x=2r ,所以r= 2x 2 。 因为PA⊥平面ABC,所以球心O 在过 △ABC 的外心且与平面ABC 垂直的直线 上,球心O 到平面ABC 的距离为d= 1 2PA = 42 x 。 设球O 的半径为R,则R= r2+d2= x2 2+ 32 x2 ≥ 2×4=2 2,当且仅当 x= 22时等号成立,所以三棱锥P-ABC 的外接 球的体积的最小值为 4 3πR 3= 4 3π (22)3= 642π 3 。应选D。 评注:若a,b∈R+,则a+b≥2 ab,当 且仅当a=b时等号成立。 四、利用线面垂直 例4 如图4,已知三棱锥S-ABC 中, AB=22,AC=BC=2,三棱锥S-ABC 的 外接球的表面积为8π,则三棱锥S-ABC 的 体积的最大值为( )。 图4 A. 22 3 B. 4 3 C. 23 3 D.2 解析:设三 棱锥S-ABC 的 外接 球 的 半 径 为R,则4πR2= 8π,解得R= 2。 由AB=22,AC=BC=2,可知∠ACB =90°,即△ABC 为直角三角形,所以△ABC 的外接圆的直径即为直角三角形的斜边AB, 所以△ABC 的外接圆的半径r= 2。 因为△ABC 的外接圆是球中的大圆,所 以AB 为三棱锥S-ABC 外接球的直径。设 AB 的中点为O,则点O 即为球心。当SO⊥ 平面ABC 时,三棱锥的高最大,此时SO= R= 2,VS-ABC= 1 3S△ABC ·SO= 1 3×2× 2= 22 3 ,所以三棱锥S-ABC 的体积的最大值为 22 3 。应选A。 评注:三棱锥的底面积一定,当高最大 时,其体积取得最大值。 五、正弦函数性质法 例5 如图5所示,边长 AC=3,BC= 4,AB=5的三角形简易遮阳棚,点 A,B 是 地面上南北方向的两个定点,正西方向射出 的太阳光线与地面成30°角,当遮阳棚 ABC 与地面的夹角等于 时,才能保证所遮影 面ABD 的面积最大。 图5 解析:由 AC=3,BC=4,AB=5,可知 △ABC 为直角三角形。由点C 引AB 的垂 线,垂足为Q,可知DQ 为CQ 在地面上的斜 射影,且AB⊥平面CQD。因为太阳光与地 面成30°角,所以∠CDQ=30°。在△CDQ 中,由 CQ= 12 5 ,结合正弦定理得 CQ sin30°= QD sin∠QCD ,即QD= 24 5sin∠QCD 。 为使所遮影面 ABD 的面积最大,只需 QD 最大,所以当∠QCD=90°时,QD 取得最 大值,所以∠CQD=60°。 故当遮阳棚ABC 与地面成60°角时,才 能保证所遮影面ABD 的面积最大。 评注:正弦函数y=sinx 在 0, π 2 上单 调递增,在 π 2 ,π 上单调递减。 作者单位:河南省光山县第一高级中学 (责任编辑 王琼霞) 4 知识结构与拓展 高一数学 2025年4月