湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一）

长郡中学2025届模拟试卷（一） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A B D D D B C BC ABD ABD 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，） 1.A【解析】因为A={xx2<4}=(-2,2),B={x|1g(x-1)<1}=(1,11).所以A∩B=(1,2). 2.B【解析1已知=1-i,则x=a9币=2+2i,则=2y2. 44(1+i) 3.D【解析】f(x)的定义域是R, 因为f(一x)=一x士sinC一)=二ti血工=-fx),所以f(x)是奇函数，排除AB,因为f(x)=式十sim匹 e十e-7 e十e em十e 一e千e>0,排除C,故选D. = 4D【解折】调为A为△AC的-个内角，且m(A十+)=专岂儡会 所以mA号期msA=√十=-3治。 5.C【解析】由抛物线的定义知：|PF=|PM,又MF=PF,∴.△PMF为等边三角形，∠FMN=30°(N为准线与 y轴的交高长MF=n高=2=4，故PF= 6.D【解析】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则V =吉6+25+vx石)·专-燮=+6+Vx丽·学10g,所以-器 V1_387 7.B【解析】数据0,9,7,4,5，从小到大排列为0,4,5,7,9：从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据 有C=45种选法，若要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类：两数中不含5，不同的选法有C·C=20 种，若两数中合5，则不同的选法有C十心=9静，故概率为器 8.C【解析】A项，10=2十2，所以w(10)=2,故A项正确： B项，16m+5=2°+2+a.2+a2+…+a1·2+3+a4·2,所以m(16m十5)=awm)+2, 4n+3=2+2+a·2+a1·2+…+a4-1·21+a·2+,所以w(4n+3)=a(n)+2, 所以w(16m十5)=w(41十3)，故B项正确： C项，13=2+2+2,9=2°十2，故w(13)=3,w(9)=2,即n=1时，m(8n十5)≠u(4n十5)，故C项错误： D项，若<256且m(n)=3,由n=a·2°十a1·2+…+a-1·2-1+ae·2可知k≤7(k∈N）, k=2时，有C号个，k=3时，有C个，k=4时，有C个，…，k=7时，有C号个， 共有C十C十C+…+C号=C十+Cg+C+…+C号=C+C+…十C号=C=56,故D项正确. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，） 9.BC【解析】根据题意，，西，工，的极差为X,平均值为T,中位数为m,方差为3 若y=ax+b(i=1,2,…,m), 则y,,…,y的极差Y=aX,平均值为y=ax十b,中位数为p=amm十b,方差为1=as. 10.ABD【解析】对于选项A,由向量的线性运算可知，M在△ABC内部，故A正确： 对于选项B设BC中点N,G为△ABC的重心，则AG-号-号（时心）=+心-成，故B正确： 对于选项C,已知AM=号AB+号A心，则Bi=Ai-A店=号A亦+号AC-A亦=号(A心-A成)=号BC, 数学参考答案（长郡版）一1 这说明M在线段BC上，且BM:BC=1:3,那么MC:BC=2:3, 因为△AMC和△ABC高相同，根据三角形面积公式可知△AMC的面积与△ABC面积之比等于它们底边MC与 BC之比，即△AMC的面积是△ABC面积的号，故C错误： 对于选项DA=X店+hC,M为外心，故.店=A=号，，AC=AC=2, 2 2 A店·AC=3,Ai.Ai=9A+3=号，AM.AC-3以+4=2. 所以X=号以=言，所以X十得放D正痛。 11.ABD【解析】依题意，得a2=1,b=3,得2=4，则A(-1,0),B(1,0),F,(-2,0),F2(2,0), 设点P(M),Q(2),M(o%）, 对于A项，如图，设△PFF:的内切圆的切点为R,S,T, 由双曲线的定义得，|PF|-|PF2|=2a,而|PR=PS|, 得|RF|-|SF|=2a,而|RF=|TF,|SF|=|TF:, 得|TF:|-|TF:|=2a,又因为BFt-|BF:|=(c+a)-(c-a)=2a, 得切点T与点B重合，得点T,0),则内心1的横坐标为1， 同理可得，内心2的横坐标也为1，得I,B,三点共线，故A项正确. 塑 对于B项，由 相减得西2一2=4一业 33 31 得当二业·当当=3，即kkM=3,故B项正确： '一x十x 对于C项，设直线l的倾斜角为O,连接I1F,IF:, 则∠E=受，∠，FB=∠Bl,R=号.BF=e-a=1,n=1 0 or=tan 2. tan 2 2 2tan 2 若n=2r,则tan2=之，tan0= ② 1-w号1 =2√2，故C项错误； 对于D项，由题可知0e(登，)，号∈（语，）an号∈（气.）， 故n十r2= 1 +m号∈[2.9 0 0 ),故D项正确 tan 2 数学参考答案（长郡版）一2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.30【解析】由题意a,十a=2a=4十2，则a,=2,所以S=15(a,+4）=15a,=30. 2 184【解折1由题念知：品2十1=生2>0，得(x-20x+-2>0, 令(x-2)(x十a-2)=0,解得x=2或x=2-a, 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以2十(2-a)=0,解得a=4. 经检验，a=4符合题意，所以a=4. 14.(-∞，]u号} 【解析】原式整理得(e-3a)(e-a.x)≥0，考虑两种情况： ①e-3a>0且e-ax≥0对x∈[l,+oo)成立，此时a≤号； ②函数)=c-3a与y=e-ar求点重合，此时a=号 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 15.【解折由正孩定理有血A一sin Bos C--停sin Bsin C,. …1分 因为sinA=sin(B+C)=sin Bcos C.+cos Bsin C,… 2分 入化简，得inCc0sB-号sin Bsin C, 因为C∈(0，x),故sinC≠0，所以tanB=3,B∈(0，x,故B=等 6分 (2)由题可知BD-号B+号BC, …8分 故BD:=(号Bi+号BC=号(B:+4Bi.BC+4BC)=号(36+4×6×2X号+4X)-75. …12分 故|BD=2V 3 ……13分 16.【解析】(1)因为AB是底面圆O2上的一条直径，所以AP⊥BP, 因为OO⊥底面APB,PQ∥OO,所以PQ⊥底面APB, 因为BPC底面APB,所以PQ⊥BP, …。3分 因为AP∩PQ-P,AP,PQC平面APQ,所以BP⊥平面APQ, 因为BPC平面BPQ,所以平面APQ⊥平面BPQ.…… 6分 (2)因为OO⊥底面APB,AO,POC底面APB,所以OO⊥PO,OO⊥AO, 所以∠AOP为二面角A-OO-P的平面角， 故∠AOP=60°，又AO=PO,所以△APO为等边三角形，… 8分 以P为坐标原点，PB,PA,PQ所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由AB=2PQ,设AB=2,故AP=AO,=PO=PQ=1,PB=√/AB-AP严=√3， 则B5.00).Q0.01D.P0,0.0>.0(停，7小 i=63.0,-1).P0=(0,00.pdj=(,号1…10分 设平面PQO的法向量为m=(x,y,z), 数学参考答案（长郡版）一3 m·P=(x,y,)·(0,0,1)=x=0, m…元-·(21-9+叶=0. 解得=0，令x=1,得y=一√3，故m=(1,一√3,0)， …12分 设直线BQ与平面PQO所成角的大小为0， 则sin0=|cos(QB,m1= |QB·m(3,0,-1)·(1,-3.0)3 QBl·ml √3+0+1×√/1+3+0 所以直线BQ与平面PQ0,所成角的正孩值为。 …15分 17.【解析】(1)由题可得，点T在线段BF的垂直平分线上，则|TB=TF, 所以|TC+|TF=|TC+|TB=|CB=4>2√3=ICF, 根据椭圆定义知，点T的轨迹是以（士√3,0）为焦点的椭圆，… 2分 设方程为号+若=1a>6>0, 则2a=4,c=√3，=4-3=1， 所以点T的轨迹W的方程为号十=1。… …5分 (2)显然直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x=1y十m,P(x,y),Q(x2,),M一2,0)，N(2,0), 将直线PQ的方程代入椭回号+y=1,整理得(+4)r+2my十m-4=0, △=4m2-4(t+4)(m-4)=16(t+4-㎡)>0， 十%=%十 2tm 十4 ,………7分 由点=瑞得汁2产又由瑞调方程可知发=学，中产。 之一一大2 …9分 所以当。 x十2 =_3(x十2，即3（店千2(x,十2）十4y=0, 4y2 即12m-12r+48m+248+4-16=0. P+4 所以m㎡+3m十2=0，m已或m空2（会，此时PQ过，点M0, 所以直线PQ过定点G(一1,0)，…13分 1MG=1G=8.18-8=×2X1--件=44中而<=0时取等号 所以S一S2的最大值为3。… …15分 18.【解析】1)f(x)的定义城为(0，十∞)，f(x)=hx-g 依题可知f(x)≥0对x∈(0，十o)恒成立，即a≤xx,…2分 令g(x)=xnx,则g'(x)=1十lnx, 当ce(0,是）时，g(x)<0,g)单调递减： 当x∈(，十∞)时，g(x)>0,gx)单调递增， 所以g()m=g(日）=-是，故a≤-己 (2)(i)令f(x)=0,即xnx=a,由题知，是方程，xlnx=a的两根， 数学参考答案（长郡版）一4 此时-1<a<0,xlnG=c,ln=a, e 令1-名(>1D.则n看=n十n.n=n=n十n1=气 要证ln西+ln<-2,即证+l血2，即证ln>2-D 1-1 t+11 6分 为道0=h一-2>1.则0=>0， 故p(t)在(1，十o∞)上递增，(t)>g(1)=0, h>2得9分 (i)易求得g(x)的图象在(1,0)处的切线方程为y=x一1， g)的图象在（侵，-号）处的切线方程为y=一x一… 10分 先证dnx>≥r-1,即证nx+1-1≥0. 令)=hx+-1,则)=学 所以h(x)在(0,1)上递减，在(1，十o∞)上递增，故h(x)>h(1)=0,得证. 再证n≥-一名即证hr中1+≥0， 令0-h1+名则-士立 所以以r)在(0，)上通减，在（侵+∞）上递增，故x≥信）=0，得 .…14分 易知y=a与y=g(x)的交点横坐标为西， 令y=a与y=x一1的交点横坐标为x=a十1，则x<a十1， 令y一a与y=-x己的交点横坐标为玉=-日一己则>-日一己， 故x一x<x一=2u十1寸 6 (先利用切线证x<a十l,再证≥Ca一 怎时，利用xlh西=a消元证xln西十五十e≥0同样给分) 19.【解析】(1)W(a4,a2,a,a)=2时，a=1,a2=0,as=1,a=0,或者a1=0,a2=1,a=0,a4=1,或者a=1,a2=0,a =0,a4=1, 此时P(X,=2)=3p(一p)2。… …3分 (2)(1)枚举{：}1共8种情况，可知Z的可能取值为0,1,2,3，可求得Z的分布列如下： Z 0 1 2 3 P 1-p p(1-p) p(1-) …5分 故E(Z)=0·(1-p)十1·(1一p)十2·p(1一p)十3·p=p十p十p.…6分 (1)法1：有P(Z.=0)=P(an=0)=1-p,P(Z=n)=p°，… …7分 对1≤m≤n-1,若Zn=m,则a.=a。1=…=aw+1=1,da。m=0, 故P(Zn=m)=p(1-p）,……8分 因此E(Z)=0·(1-p)+m·p(1-p)+n·p 数学参考答案（长郡版）一5 =多m·p-写m…g1+n·r=p+p++p1+p=二2 1-p …9分 法2：若a.=1,则Z(a1,…,an)=1十Z(a,…,am1) 若an=0,则Z(以1，…，以n）=0.…7分 因此，若记bn表示E(Z)(n∈N”),则{b.}满足b=p,b+1=p·(bn十1)十(1一p)·0=bn十p. ……8分 从而6卡。6亡)故么-亡。（么亡，）=g 则6.=pI=2,故E(Z)=2二2）. 1-p 1一p …9分 (3)记h=E(Z)c。=E(W),n∈N,则h==p,由(2)(i)知h=二2 1一p 若an=l,则W(a,…,an)=W(@1,…,an)十2Z(a,…,an1)十1：…11分 若an=0,则W(a1,…,an)=W(a1,…,an-1.… 12分 因此Ct1=p·(cn十2bw十1)十(1一p)·Cn=Cw十2pb十p.…14分 得c1-6.=2p.12)+p1±卫_2p 1一p 1一p一b·因此对≥2， cm=G+(c-G)+(G-c)+…+(cn-c1) =叶书别 =p+1+p)n-D-2p.1-p 1-p 1-p1一p =p+21±pn-1+)_2p(p-p2 1-p1-p(1-p)2 -件-2+2。 1一 (1-p)9 =(1+p)n2p(1-) 1-p(1-)2 …16分 德化 入一学，居若传时一号老 …17分 数学参考答案（长郡版）一6长郡中学2025届模拟试卷（一） 数 学 长郡中学高三数学备课组组稿 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 中 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.已知集合A={xx2<4),B={x1g(x-1)<1),那么集合A∩B= A.(1,2) B.(2,11) C.(-2,11) D.(1,11) 2.已知4=1-i(为虚数单位)，则lz= A.2 B2√2 C.4 D.8 报 3函数f红)-计想的图象大玫是 数 4已知A为△ABC的-个内角，且tan(A+)=号，则cosA- A细 B.-10 C.30 10 D.-30 10 10 5,已知抛物线Cy=等的焦点为R,准线为，P为C上一点，过P作1的垂线，垂足为M若 IMF|=|PF,则PF= A.2 B C.4 D.25 数学试卷（长那版）第1页（共5页） 6.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，AB=8,AB1=2,图1中水面高度恰好为 棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的号，若图1和图2中纯净水的体积分别为V1,V2, 图1 A号 B c别 n别 7.已知一组数据0,9,7,4,5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加人这组数据，则得到 的新数据与原数据中位数相同的概率为 A得 B器 c号 n青 8.设正整数n=a0·2°十a1·2斗…+a4-1·2-l+a4·2,其中a,∈{0,1}，记w(n)=a6十a1十 十ak.则下列说法错误的是 Aw(10)=2 B.w(16n+5)=w(4n+3) C.w(8n十5)=w(4nH5) D.若n<256且w(n)=3,则符合条件的n有56个 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.设，工2，…，xn的极差为X,平均值为元，中位数为m,方差为3.=ax,十b(i=1,2,,n),其 中a,beR,”,…,yn的极差为Y,平均值为，中位数为p,方差为t,则 A.Y=aX+b B.y=a元十b C.p=am十b D.t=as+b 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点M是△ABC所在平面上一点， 且AM=λAB+μAC,则下列说法正确的是 A若0<1,0<<1,0<十u<1,则M在△ABC内部 B若X=A=号，则M为△ABC的重心 C,若X=号，μ=号，则△AMC的面积是△ABC面积的号 D.若=2，c=3☑BAC=青，M为△ABC外接圆圆心，则A+A-最 数学试卷长郡版)第2页（共5页） 1.已知双曲线C:2-号=1的左、右焦点分别为R,F,左、右顶点分别为A,B,过R,的直线乙 与双曲线的右支交于P,Q两点(P在第一象限)，PQ中点为M,△PFF2,△QFF2的内切圆 圆心分别为，I2,半径分别为n,2则下列结论正确的是 A.I1,B,I2三点共线 B.直线l斜率存在时，k0·kom=3 C.若n=2rn2,则直线l的斜率为√6 Dn十n的取值范围是[2，) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知等差数列{an)的前n项和为Sn,若a4十a12=ag十2，则S1s= 13.已知y=ln(二2十1为奇函数，则实数a的值是 14.不等式e十3a2x≥ae(3十x)对任意x∈[1，十∞)恒成立，则实数a的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.） 1点.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b6已知a-bcsC=号csB,a=2, c=6,D为边AC上的靠近点C的三等分点 (1)求角B; (2)求BD. aRE 民)热两9.9干交邓在 ?代周面地p94△己991 数学试卷（长郡版）第13页（共5页） 16.(15分)如图，圆柱OO2中，AB是底面圆Q2上的一条直径，P,Q分别是底面圆O2、圆O圆 周上的一点，PQ∥OO,AB=2PQ,且点P不与A,B两点重合. (1)证明：平面APQ⊥平面BPQ: 0 (2)若二面角A-O1O2-P的大小为60°，求直线BQ与平面PQO1所成角 的正弦值 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为：(x十√3)2+y2=16,定点F(W3,0),B是圆 C上任意一点，线段BF的垂直平分线L和半径BC相交于点T. (1)求点T的轨迹W的方程； (2)轨迹W与x轴的交点为M,N(点N在点M右侧)，直线PQ与轨迹W交于P,Q两点（异 于M,N),MP的斜率为k1,NQ的斜率为k2,且k=3k2,△MPQ与△NPQ的面积分别 为S1,S2,求|S一S2|的最大值 数学试卷（长那版）·第4页（共5页） 18.(17分)已知函数f(x)=(x-a)nx-x,a∈R (1)若函数f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设x1,x2(工1<x2)是f(x)的两个极值点，证明： (i)lnx+lnx2<-2;(i)x2-x1<e-2+2a+1. 19.(17分)给定实数p∈(0,1)，对于正整数n(n≥2)，设数列(a}?1满足每一项取1的概率为p, 取0的概率为1一p,且各项取值相互独立.如果数列(a:}-1中的0将数列分成G项、c2项、 、c项(k∈N”)全为1的连续段，则记W(1,a2,…,an)=c子十…十c,特别地，定义 W(0,0,…,0)=0,例如，n=9时，W(1,1,0,1,0,0,1,1,1)=22+12+32=14 (1)n=4时，记随机变量X,=W(a1,a2,a1,a4),求X,=2的概率. (2)对于数列(a?1,定义Z(a1,a2,…,an)为：若an=l,则它是最大的正整数 m∈(1,2，…，n},使an=an-1=…=an-+1=1;若an=0,则它为0，例如，n=5时， Z(1,0,1,1,1)=3. (1)n=3时，求随机变量Z3=Z(a1,a2,ag)的分布列及数学期望； (i)求随机变量Zn=Z(a1,…,a.)的数学期望 (3)当p=号时，求随机变量W,=w(a,a)的数学期望. 数学试卷（长那版）第5页（共5页）