2025届河北省秦皇岛市山海关区高三第三次模拟考试数学试卷

数 学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={xx2-2x<0},B={x|ln(1-x)<0},则AUB= A.(xx<2) B.{x|x<1) C.{x|0<x<2} D.{x0<x<1} 2.下列关于复数的说法，正确的是 A.复数i的任何偶数次幂都不小于零 B.若实数a=b,则z=a一b十(a十b)i是纯虚数 C.在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D.若复数1，z2满足z1>2,则1,2均为实数 3.已知向量AB与单位向量e同向，且A(1,一√3)，B(-5,3),则e的坐标为 A(,) B(-》 c(停，-) n(-3,) 4若点P(1,一a)在椭圆x一云=2的内部，则实数a的取值范图为 A.(-2,十o) B（-2,-)U(-0) C.(-2,0) D.(-2,-)U(-是，+∞) 5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,bc,若9simB=4sinA,cosC=一是，则后= A3② 4 B C2⑤ 3 D.青 S扫描全能王 3亿人都在用的行mAp的 6.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD1中，E,F分别为 A1B1,BC的中点，则过点E,F,D,的平面a与侧面BCC1B,的交线B, 长为 A.v13 3 B号 c D√2 7.在平面直角坐标系中，“tana<sina<cosa”是“a为第四象限角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.如图，在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD,侧面△BCD是等 边三角形，底面△ABD是等腰直角三角形，AB⊥BD,BD=2,则四 面体ABCD的外接球的体积是 A2受 B.28x 9 C.28v2红x D.287x 27 27 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知中华中学一次高三模拟考试中数学成绩X服从正态分布N(100,102),则 (参考数值：随机变量服从正态分布N(μ，d2),则P(4一<<十o)=0.6826,P(u一2a< <+2a)=0.9544) AE(X)=100 B.D(X)=100 C.P(X≥90)=0.8413 D.P(X≤120)=0.9987 10.已知函数f(z)=cos匹(m≥2且n∈N),则 ncos x A.f(x)是周期函数 B.f(x)的图象是轴对称图形 C.f(x)的图象关于点(，0)对称 D.f(x)≤1 11已知函数x)=是+2hx,则 Af(x)的极小值是1 B.f(x)恰有2个零点 C,方程f(x)=ax(a>0)恰有1个实根 D对在意的西∈(0,1D≠都有f(色士2）Kf) 2 C③扫描全能王 3亿人爸在用的扫量Ap的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.安排4位顾客去A,B,C三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在A餐 馆，则不同的安排方案共有 种， 18.已知双曲线C:三-芳-1(0>0，b>0)的右焦点为F,直线1经过点F与C的左，右两支各 有一个交点，若1与C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率的取值范围为 14.已知函数f(x)满足对Vx∈R都有f(x)+f(一x)=0成立.当x≥0时，f(x)=z2十2x,则 不等式f(f(x))十f(x+1)<0的解集为 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，从该村的苹果树上随机摘下 100个苹果，测得其质量（单位：克）均分布在区间[150,300]内，并绘制了如图所示的频率分 布直方图： ↑频率 组距 0.016 0.008 0.006 888生 0150175200225250275300质量（克） (1)按比例分配的分层随机抽样的方法从质量落在区间[175,200)，[200,225)的苹果中随 机抽取5个，再从这5个苹果中随机抽取2个，求这2个苹果质量均小于200克的概率； (2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，已知该村每亩苹果树上大约还有 50000个苹果待出售，某电商提出两种收购方案： A.所有苹果均以4元/千克收购； B.低于225克的苹果以0.8元/个的价格收购，高于或等于225克的苹果以1元/个的 价格收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案 16.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AB⊥ BC,PB=BA=AD=3,BC=5,点E在棱PA上 (1)若E为PA的中点，证明：BE⊥PD; 65,求AE (2)若两条异面直线CD,BE所成角的余弦值为3丽 EP 的值 CS扫描全能王 3亿人都在用的行mAp的 17.（本小题满分15分) 设函数f(x)=e'sin. (1)求f(x)的图象在(0，f(0))处的切线方程； (2)记g(x)=f(x)一ax,若0<a≤1，试讨论g(x)在(0，π)上的零点个数， 18.(本小题满分17分) 如图，已知P为半圆Q:x2+(y十2)2=4(y≤一2)上一点，过点P作抛物线C:x2=2py (p>0)的两条切线，切点分别为A,B,直线AP,BP,AB分别与x轴交于点M,N,T,记 △TNB的面积为S1,△TMA的面积为S2: (1)若C的焦点为F,且|PF列的最小值为2√5，求p的值； (2)若存在点P,使得受=8，求D的取值范围， 19.(本小题满分17分) 对于无穷数列{an},若存在常数T,o(T,o∈N·),使得对任意的正整数n≥o,恒有am+T =a,成立，则称数列{a,}是从第n。项起的周期为T的周期数列.当=1时，称数列 (an}为纯周期数列；当no≥2时，称数列{an}为混周期数列. (1)已知数列(an}满足：a1=1,a2=3,an=am-1一am-2(n≥3)，判断{am}是否是纯周期数列， 并求a22s; (2)记[x]为不超过x的最大整数，设各项均为正整数的数列{au》满足：a+l 受4为偶数， 2号+2cJ,a.为奇数 ①若a1=2一l(k∈N'),证明：数列{am}是纯周期数列； ②证明：不论a1为何值，总存在m,n∈N”,使得an=2m一1. C③扫描全能王 3亿人都在用的行mAp的 参考答案 1.C因为A={x|x2-2x<0》=《xl0<x<2},B={x|ln(1-x)<0》={x|0<x<1},所以AUB= {x|0<x<2}.故选C. 2.D由=一1，可得A错误；若a=b=0,则a一b十(a十b)i=0∈R,可得B错误；由原点对应的复数是实数0， 可得C错误；两个复数当且仅当它们同时为实数时才能比较大小，可得D正确.故选D, 3.B由A(1,一√3)，B(-5w3),得AB=(-6,2W5),因为向量AB与单位向量e同向，所以可设e=λA点= （-6以250心0，由V一60+2-1，解得X-温所以e=(-夏号）故选且 4B由2a<0且2a≠-1，解得a<0且a味-合，根据题意得1-器<2，解得。>-2且a≠0，所以实数a的 取值范围为(-2，-号)U(-是，0）故选B 5.D因为9sinB=4sinA,所以9盼=42，即6=婴，因为eosC=+-兰a23+g 2ab 4a2 =二，所以 3 (台）‘=9，则后=兰故选D 6.A如图，取AB中点G,易得DE∥DG,取CD中点H,连接BH,易得BH∥DG, 再取CH中点M,连接FM,则FM∥BH,所以FM∥DE,所以FM是平面a与正 方体底面ABCD的交线，延长MF与AB的延长线交于点N,连接EN交BB:于 点P,则线段PF即为平面a与侧面BCCB的交线，在△PBF中，PF= P丽+BF-√（学+=故选A 7.C若tana<sina,则tana一sina=tana(1一cosa)<0,所以tana<0,a为第二或第四象限角，又sina< cosa,所以a为第四象限角，满足充分性；若a为第四象限角，则sina<0<cosa,tana一sina=tana(1一cosa) <0,所以tana<sina<cosa,满足必要性.所以“tana<sina<oosa”是“a为第四象限角”的充要条件.故选C &.C分别取AD,BD的中点M,G,连接CG,MG,因为△BCD是等边三角形，所 以CG⊥BD,因为平面ABD⊥平面BCD,CGC平面BCD,所以CG⊥平面 ABD,过M作MF⊥平面ABD,设F为三棱锥C-ABD的外接球球心，所以 MF∥CG,过F作FE∥MG交CG于点E,如图所示，则四边形MFEG为矩形，A≤ MF=EG,连接FD,FC,则FD=FC=R(R为外接球半径)，在Rt△EFC中， R=EF+CE=1+(色）'，解得R=夏，所以四面体ABCD的外接球的 体积是号R=警×（四）'=28，故选C 27 9.ABC因为随机变量X服从正态分布N(100,102),所以曲线关于X=100对称，方差为102=100，故A,B 均正确；根据题意可得P(X>90)=P(X100)+P(90≤X<100)=0.5+受×0.6826=0.8413，放C正 确，P(X≤120)=P(X≤100)+P(100<X≤120)=0.5+号×0.9544=0.9772，故D错误.故选ABC 10.AB由于f红十2)-老器-兰-)，所以f水)是周期函数，放A正确：由fK一） 号-s=f(x),所以f()的图象关于y轴对称，故B正确：由于f(x)+f(x-x)=0 ncos(-z) ncos 2 nCOs tcos(nn-nz> ncos(r-x） 晋n为商数，所以当0为奇数时，了《>的图象不一定关于点（受，0）对春，放C 0,n为偶数， C的扫描全能王 3亿人都在用的扫量Ap的 不正确；当a-2时，f)-2-0asx一2对三令c0s-号则此时/x>1,放D不正确故 2c05x 选AB 1.AcD对于A,f-+2hx的定义域为0，+o),f)=-是+是-2=p+D,令fx<0 则0<x<1,令f(x)>0,则x>1,所以f(x)履小值=f(1)=1,故A正确：对于B,由f(x)在(0,1)上单调递 减，在(1，+∞)上单调递增，又f1)=1,所以f（x)无零点，放B错误：对于C,方程f(x)=ax,即方程 -a,令a()-f2-寸+2兰，所以Nx)=23+22h5-3+22血三，令p=-3+22- x 2x2lnx,则p'(x)=2x(1-2lnx),令p'(x)>0,可得0<x<e,令(x)<0,可得x>√e,所以p(x)≤ (We)=一3+2e-2eln√e=e-3<0,即h'(x)<0,所以h(x)在(0，十∞)上单调递减，且h(x)>0,所以a>0 时，方程)ar恰有1个实根，故C正确：对于Df=-是+是，f✉)=是-是-6兰，x 0,1)时，x>0,故f是凹函数，故f(白去)<)士2，故D正确故选ACD 2 12.27先安排特殊1人到A餐馆，其他3人中，每一位顾客随机到餐馆就餐的选择方法都是3种，结合分步乘 法计数原理得，共有安排方案为3×3×3=27种. y=-x- 13.(2,+∞)不妨设1的方程为y=-号(x一c),由{ 得(b-a)2+2a'cx-a'2 46=0,报据题藏有=二二。<0，所以6-a>0,即>2，所以离心率e=√1+吾>厄. 6-a 14.（-∞，3-区) 因为对Vx∈R都有f(x)十f(一x)=0,所以f(x)是R上的奇函数，又x≥0时， 2 f(x)=x2+2x=(x十1)2-1，所以x≥0时，函数f(x)在[0，十∞)上单调递增，即函数f(x)在R上单 调递增，当x<0时，一x>0,则f(-x)=x2-2x=一f孔x),所以x<0时，f(x)=一x2+2x.又f(f(x)) +f(x十1)<0，即f(f(x))<-f(x十1)，即f(fx))<f(-x-1),所以f(x)<-x-1,则 +2-x-1或0 1x≥0， 该+2a<-一1.4a+1c0成ga-10.。 、。解得x<3二正，所以不 2 等式ff(x)+f(x+1)<0的解集为(-，3二区)】 2 15.解：(1)由题图可得苹果质量在区间[175,200)和[200,225)的比为2：3， 所以应分别在质量为[175,200)，[200,225)的苹果中抽取2个和3个，…3分 所以所求极率为P=g=1 区10 …5分 (2)由题中频率分布直方图可知，苹果质量在区间[150,175)的频率为25×0.004=0.1， 同理，苹果质量在区间[175,200)，C200,225),C225,250),[250,275),[275,300]的频率依次为0.1， 0.15,0.4,0.2,0.05,4……6分 若按方案A收购：总收益为(150175×0.1+175+200×0.1+200+225×0.15+225+250×0,4+ 2 2 2 2 250+275×0.2+275+30×0.05)×5000X0.004=45750(元).… 2 2 …9分 若按方案B收购：由题意知苹果质量低于225克的个数为(0.1十0.1十0.15)×50000=17500， 苹果质量高于或等于225克的个数为50000一17500=32500， 所以总收益为17500X0.8十32500X1=46500(元).*…12分 因为45750<46500，所以方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B. …13分 16.(1)证明：因为PB⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以AD⊥PB,…1分 因为AD∥BC,AB⊥BC,所以AB⊥AD,…2分 又AB,PBC平面PAB,AB∩PB=B,所以AD⊥平面PAB, …3分 因为BEC平面PAB,所以AD LBE,…4分 因为PB=BA,E为PA的中点，所以BE⊥PA,… …5分 C的扫描全能王 3亿人整在用的扫mAp的 又AD,PAC平面PAD,AD∩PA=A,所以BE⊥平面PAD,·6分 因为PDC平面PAD,所以BE⊥PD.…7分 (2)解：如图，以B为坐标原点，以BC,BA,BP所在直线分别为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,3,0),C(5,0,0),D(3,3,0), P(0,0,3),B2=(0,0,3),PA=(0,3,-3),Ci=(-2,3,0),…8分 设Pi=mPi(0≤m<1),则庞=B+p啦-B市+mPi=(0,0,3)十 (0,3m,一3m=(0,3m,3-3m).…10分 设异面直线CD与BE所成角为9， 则cos=lcsd,菡l= d心.应 |-2X0+3X3m+0X(3-3Dl ICDl·BE √(-2+310X√0+9mf+9(1-m 3m 365 √/13XV√2m-2m+五 13分 65 整理得3m2+2m一1=0，解得m=号或m=一1舍去)，… 14分 所以P吨=号i,所以哈铝=2… 15分 17.解：(1)f(x)=e(sinx十cosx),所以∫(0)=1，又f0)=0, 所以f代x)的图象在(0，f(0)处的切线方程为y=x。…4分 (2)由已知得g(x)=esin x-ax,所以g(x)=(sinx十cosx)一a, 令h(x)=g(x),则h'(x)=e(sinx十cosx)十e(cosx-sinx)=2 ef cos. 6分 当0<x<受时，k'(x)>0,函数h(x)单调递增，当受<x<π时，(x)<0,函数h(x)单调递减， 即g(x)在(0，受）上单调递增，在（受，x)上单调递减。 …8分 当0<a≤1时，g(0)=1-a≥0，g(）=e童-a>0,g(x=-e-a<0, 所以存在∈（登，x),使得g()=0, 当x∈(0,0)时，g(x)>0;当x∈(xar)时，g(x)<0, 所以函数g(x)在(0，xo)上单调递增，在(0，π)上单调递减。 12分 因为g(0)=0,g(x)>g(0)=0,故函数g(x)在(0，)上无零点， 又因为g(π)=一ar<0,由零点存在定理可得g(x)在(0，x)上有且只有一个零点， 综上所述，当0<a≤1时，函数g(x)在(0，x)上的零点个数为1，…15分 18.解：(1)F(0,号）)，设P(%),则6+(+22=4且-4K0≤-2 Ip1=√2+(0-号-√如-咖+号-√一叶0为+， 3分 图为计0，所以当为=-2时，PF有最小值√2十+妥=25， 解得p=4,… …5分 (2)设A(),B(n),过点A的切线方程为x1z=p(y十n),于是M(受，0），同理N(受，0) …7分 因为点P()在两条切线上，所以{3=十为)， 2xo=p(十2）， 可得点P的坐标为P(十丝， 2 …9分 2 ,AB的方程为的x宁p+器）)，于是T(0小 2 一2》 2C一222 2(x十x2) 2(十2)， =8,所以2=一2的 12分 C图扫描全能王 3亿人整在用的扫mAp的 于是点P(-受，一)，点P的轨迹方程为2=一卡 …]3分 根据题意抛物线=一y与半圆Q2十(y叶2)2=4（≤一2）有交点，… 15分 记fx)=-手女，则2)=一青×4K-2,又因为>0，解得0C8,即力的取值范图为0,8…17分 19.(1)解：写出数列(an)的前几项： 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1,-3,-2;1,, 数列{an}是周期为6的纯周期数列，a2o2s=a37x6+3=a3=2. …2分 （2)证明：①A=1时，a=1a=2号2+20=1，a=4=a==1, 此时，数列{a》为常数列1}，为纯周期数列； k=2时，a1=3,a2=,1+20别=1+2=3,4=a4=as==3, 4…3分 2 此时，数列(an}为常数列{3》}，为纯周期数列； k=3时，a1=7,2=2二1+200=3+2=7，a=a4=a6==7,…4分 2 此时，数列(an}为常数列(7}，为纯周期数列；……5分 根据上述计算得出猎想： 当a1=2一1(k∈N)时，数列{an）为常数列也是纯周期数列{2*一1》(k∈N”).…6分 下面进行验证： 当am=2*-1时，4=42+20e91=2-)-1+20-0=21-1+21=20-1, 2 2 a3=a=…=an=…=2-1,(k∈N), 此时数列{an}为常数列，也是纯周期数列。… …8分 ②首先，根据①的分析，发现当a=2一1(k∈N°)时，数列{an}为常数列， 也是纯周期数列{2一1}(k∈N~),满足题意； 接下来证明，当a1≠2一1(k∈N")时，也存在m,n,使得an=2m一1， 因为1=2一1，所以只需要证明数列{4n}中始终存在值为1的项即可.…10分 当a1=2(k∈N·)时，显然存在值为1的项， 当a1∈(2,2+1-1)（∈N)时，有a=号或a2=22+201, 2 若a1为偶数，则a4=号， 若a为寄数时，则a=82+201<21+公%*1-=-1+2<2， 2 a-a1=21+2*-a1=24+-)一24=2-112*-2 2 2 2 2=0, 所以2<a1<a2<2+1→a2∈(2,2+1)，即无论a1为奇数还是偶数，均有a2<2+1； 特别的，当a1为奇数时，a2∈（2,2+1)且a<a2, 类似的，可得无论a2为奇数还是偶数，均有a1<2+1; 特别的，当a2为奇数时，a∈(2,2+1)且a<a2≤ag(a2=2+1一1取得等号)； 所以无论1为奇数还是偶数，均有an<2+;…13分 若an∈(2*，2+1)(n≥2)，则an恒为奇数且a1<a2≤aa≤au≤≤a,≤…(a2=2+1一1取得等号)， 于是，假设数列{an)的a1≠2一-1(k∈N')且a∈（2,2+1)(n≥2)， 所以an恒为奇数且a1<a2≤a3≤a≤…≤an≤…(a2=2+1一1取得等号)，…14分 由于(2*，2+1)中仅有有限个正整数，故数列(a}从某项起恒为常数2+1一1. 设a为第-个值为21-1的级，而a=2+2-=之21+， 2 故4=)1+2*=21-1→a1=241-1, 2 这与“a:是第一个值为2+1一1的项”相矛盾， 所以数列(a》除第一项外，还存在不属于区间(2吵，2+1)的项。…16分 假设这些不属于区间(2,2+1)的项全部属于区间(2-1,2)，那么也会出现类似的矛盾， 所以数列(a}除第一项外，存在不属于区间(2*，2+1)和(2-1,2)的项， 以此类推，数列{α》一定存在小于值为2的正整数的项，即存在值为1的项，得证，，17分 C③扫描全能王 3亿人整在用的扫mAp的