精品解析：2025年浙江省“山海联盟”初中学业水平考试模拟卷（四）

2025年浙江省“山海联盟”初中学业水平考试模拟卷（四） 数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必使用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、准考证号等信息． 3．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题月要求） 1. 如图所示为墨彩山水木纹笔筒，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三视图，通过从正面看所得到的图形是主视图即可判断，解题关键是正确理解几何体的三视图． 【详解】解：它的主视图是， 故选：． 2. 年 月日，中国新能源汽车产量首次突破年度辆，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键要正确确定的值以及 的值．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数即可求解，． 【详解】解：， 故选：B． 3. 若，则的值为（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行变形求解即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4. 由图1变换到图2的过程可能是绕某一点（　　） A. 逆时针旋转 B. 顺时针旋转 C. 逆时针旋转 D. 顺时针旋转 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的定义，熟练根据图形判断旋转方向、旋转角度是解题的关键．观察图象可得图2是由图1绕某点顺时针旋转 或逆时针旋转得到的，即可解决． 【详解】解：观察图象可得图2是由图1绕某点顺时针旋转 或逆时针旋转得到的， 故选：D． 5. 如图，在中，对角线，相交于点， ．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的性质是关键． 根据题意得到，则，由勾股定理得，，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，则， ∵ ， ∴， ∴， 故选：B ． 6. 在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 7. 已知关于的不等式的所有解都小于 ．若是整数，但不是正数，则满足条件的的值为（　　） A. ， B. ，， C. ，， ， D. ，，， ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，和一元一次不等式的解，熟练根据题意将“所有解都小于 ”转化为不等式是解题的关键．先解不等式得，由所有解都小于 ，得，求解并结合是整数，但不是正数，即可得． 【详解】解：解不等式， 得：， ∵所有解都小于 ， ∴， ∴， ∵是整数，但不是正数， ∴，且是整数， ∴满足条件的的值为，， ，， 故选：C． 8. 如图，在 的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练利用网格中的平行线判定相似是解题的关键．由图，利用 ，判定 ，得出，即可求出，则可求出，再利用，即可求解． 【详解】解：如图， 由图可知，，，， ，， ， ∴ ， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 9. 已知正比例函数与二次函数的图象相交于两点．若两点的横坐标分别为，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系．联立得到，由题意得是方程两个根，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：联立得，整理得， ∵正比例函数与二次函数的图象两交点的横坐标分别为， ∴是方程两个根， ∴， 故选：A． 10. 如图，四边形内接于 ，， ，，若的长为方程的两个实数根，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 由 ，则是 的直径，所以，的长为方程的两个实数根，故有，，然后求出 ，过作于点，由勾股定理得，，最后由和差即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴是 的直径， ∴， ∴， ∵的长为方程的两个实数根， ∴，， ∴，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ， ∴， 过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. __________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根，解答本题的关键是掌握算术平方根的求法．根据算术平方根的求法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．连接并延长至点，利用，，得，即，代入，，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长至点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 已知，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式内容是解题的关键．先将，变形为，，化简后两式相加即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ，得， ∴， 故答案为：． 14. 从，，， ，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，概率公式，熟练掌握解一元二次方程的步骤和概率公式是解题的关键．先解一元二次方程，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：， 解得：，， 即和是方程的解， ∴从，，， ，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为， 故答案为：． 15. 如图， 的半径为为 上一点，弦于点，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 连接 ，先由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质得到，再解即可求出，继而求解． 【详解】解：连接 ， ∵， ∴优弧所对的圆心角为 ， ∴， ∵弦，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，为对角线上一点，，过点作，交于点 ，的延长线交于点，则___________；若，则的长等于___________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】过点E作 于点H，根据正方形的性质得出，， ，，证明 为等腰直角三角形，得出，设，则，得出，求出，证明，根据，设，则，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点E作 于点H，如图所示， 则， 四边形为正方形， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵，， ∴ 为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： ；． 【点睛】本题考查了正方形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，求正切值，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．请务必写出解答过程） 17. （1）计算：． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）48 【解析】 【分析】此题考查了立方根，有理数的乘方和特殊角的三角函数值，因式分解的应用，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算立方根，有理数的乘方和特殊角的三角函数值，然后计算即可； （2）首先求出，然后将因式分解得到，然后代数求解即可． 【详解】（1） ； （2）∵，， ∴ ∴ ． 18. 某校对九年级学生的科学实验操作测评成绩进行了调查，过程如下： 收集数据： 从九（1）班、九（2）班两个班中各抽取12名学生，进行了科学实验操作测评，测试成绩（十分制）如下（单位：分）： 九（1）班：9.8，10，9.8，10，8.9，9.8，3.1，8.6，7.8，8.7，7.1，8.5 九（2）班：9.8，8.6，10，9.8，8.8，9.5，9.3，8.8，6.4，8.4，6.9，8.8 整理数据： 成绩班级 九（1）班 1 0 2 4 5 九（2）班 0 2 0 5 5 说明：成绩在9分及以上为优秀． 分析数据： 班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 8.5 8.8 九（2）班 8.8 8.8 解决问题： （1）填空： ___________， ___________． （2）根据以上数据的整理和分析，你认为哪个班级学生的科学实验操作测评成绩更好一些？请说明理由． （3）若九年级共有360名学生，请你估计该校九年级的科学实验操作测评成绩为优秀的学生人数． 【答案】（1）8.8，9.8 （2） 从平均数看，九（2）班成绩比九（1）班成绩好； 从中位数看，九（2）班成绩与九（1）班成绩一样； 从众数看，九（1）班成绩比九（2）班成绩好； （3）150人 【解析】 【分析】本题考查了统计表，中位数及众数的定义，用样本估计总体，熟练掌握中位数及众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数及众数的定义求解即可； （2）从平均数、中位数、众数选一条分析即可； （3）用360乘以优秀人数所占的比例即可． 【小问1详解】 ∵九（2）班成绩从小到大排列：6.4，6.9，8.4，8.6，8.8，8.8，8.8，9.3，9.5，9.8，9.8，10， ∴． ∵九（1）班出现次数最多的数是9.8， ∴． 故答案为：8.8，9.8； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 人． 19. 如图，点在同一条直线上，分别是与的平分线，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若 ，矩形的面积为，求内切圆的半径． 【答案】（1）证明：∵分别是与的平分线， ∴，， ∵， ∴，即 ， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形； （2）内切圆的半径为 ． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，，根据平角的定义得到，求得 ，据此可证明四边形是矩形； （2）找到内切圆与的切点，连接，利用等积法，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，据此计算，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设的内切圆半径为，， 圆O为的内切圆，切点分别为G、E、F，连接，连接 ， 则 ，，． ∴， ∵ ，即， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴的面积为， ∴，， 即，， ∴（负值已舍）， ， ∴内切圆的半径为 ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质和勾股定理，矩形的判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 20. 探寻规律： （1）直接写出右边各数的值：，，，； 提炼规律： （2）若用（ 且为整数）表示以上各平方数的底数的一般形式，请你观察上述各数的运算结果，猜测的运算结果，并证明你的结论； 应用规律： （3）计算的值． 【答案】（），，，； （）解：，理由， ， （ ）． 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，有理数的乘方，完全平方公式，有理数加法运算，读懂题意，找出规律，掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数乘方进行计算即可； （）根据完全平方公式进行求解即可； （ ）根据（）中规律即可求解． 【详解】解：（），，，； （）略 （ ） ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，直线与轴， 轴分别相交于点 ，． （1）求 的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围． （2）求证： ． 【答案】（1）， （2） 解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得： ， ∴， 令 ，得： ， 解得： ， ∴， ∵点，， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，直角坐标系中的两点距离公式，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题是解题的关键． （1）将代入，即可求出 的值，根据图象便可以直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围； （2）利用，可求出直线的解析式，再分别求出和，结合，，可求出和，则可得 ，即可证明． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入， 得：， 解得：， 根据图象可得当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围为； 【小问2详解】 略 22. 在菱形中，，连接． （1）判断的形状并说明理由． （2）如图， 分别为边 上的动点， ， 交 于点． 如图，连接，若 ，求证： ， 若，直接写出动点到直线的最大距离． 【答案】（1） 是等边三角形，理由， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形； （2） 证明：∵是等边三角形， ∴， ， ∵ ， ∴， ∴ ， ，， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ； 动点到直线的最大距离为． 【解析】 【分析】（）根据菱形的性质得出， ，则 ，然后通过等边三角形的判定方法即可求解； （）先证明，所以 ， ，，然后证明 ，所以 ， ，由 ，从可得到 ，证明 ，由性质得，最后代入即可求证； 由得， ，则 ，所以点是以为圆心， 长度为半径的弧上运动，然后用勾股定理和直角三角形性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 解：由得， ， ∴ ， ∴点是以为圆心， 长度为半径的弧上运动， ∴当 时，点到直线有最大距离， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴动点到直线的最大距离为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润 （万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润 与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． （1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． （2）若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ （3）根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 【答案】（1），当减少碳排放量等于吨时，最大利润为 万元； （2）当利润达到万元时，需要减少吨或吨； （3）满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握顶点式，二次函数函数值、自变量值的计算是关键． （1）由二次函数解析式，根据对称轴直线的计算公式，顶点坐标的计算方法，顶点坐标表示的含义计算即可求解； （2）当时，代入计算即可求解； （3）根据题意图象开口向下，当时， 随的增大而增大，当时， 随的增大而减小，当时，确定最大值，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：利润 与减少碳排放量之间满足二次函数关系：， ∴对称轴直线为， 当时，， ∴顶点坐标为， ∵ ，即图象的开口象限， ∴当减少碳排放量等于吨时，最大利润为 万元； 【小问2详解】 解：当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∴当利润达到万元时，需要减少吨或吨； 【小问3详解】 解：二次函数解析式为， ∵ ，顶点坐标为， ∴图象开口向下，当时， 随的增大而增大，当时， 随的增大而减小， ∵根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量， ∴当时，确定最大值， ∴， ∴满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． 24. 如图，是 的直径，弦 于点 是上的一个动点，连接． （1）求证：． （2）如图，若与的交点 为线段的中点，，，求线段的长． （3）如图 ，的延长线交的延长线于点．求证：． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∴， ∵ ，是 的直径， ∴， ∴， ∴； （2）线段的长为； （3） 证明：如图，连接 ，延长 交 于点 ， ∵是 的直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 【解析】 【分析】（）连接，根据圆周角定理可得，然后通过垂径定理推论可得，则，从而得证； （）先证明，则，所以，即，再证明，故有，则，从而可得，由勾股定理求出 ，最后通过勾股定理即可求解； （ ）连接 ，延长 交 于点 ，又四边形是圆内接四边形，则有，从而求得，再证明，则得出即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵点 为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省“山海联盟”初中学业水平考试模拟卷（四） 数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必使用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、准考证号等信息． 3．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题月要求） 1. 如图所示为墨彩山水木纹笔筒，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 2. 年 月日，中国新能源汽车产量首次突破年度辆，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（　　） A. B. 4 C. D. 4. 由图1变换到图2的过程可能是绕某一点（　　） A. 逆时针旋转 B. 顺时针旋转 C. 逆时针旋转 D. 顺时针旋转 5. 如图，在中，对角线，相交于点， ．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 2 6. 在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的所有解都小于．若是整数，但不是正数，则满足条件的的值为（　　） A. ， B. ，， C. ，，， D. ，，，， 8. 如图，在 的正方形方格中，的顶点， 都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（　　） A. B. C. D. 9. 已知正比例函数与二次函数的图象相交于两点．若两点的横坐标分别为，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. 10. 如图，四边形内接于，， ，，若的长为方程的两个实数根，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. __________． 12. 如图，，，，则___________． 13. 已知，，则_________． 14. 从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为_________． 15. 如图，的半径为为上一点，弦于点，则线段的长为___________． 16. 如图，在正方形中，为对角线上一点，，过点作，交 于点 ，的延长线交于点，则___________；若，则的长等于___________． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．请务必写出解答过程） 17. （1）计算：． （2）已知，，求的值． 18. 某校对九年级学生的科学实验操作测评成绩进行了调查，过程如下： 收集数据： 从九（1）班、九（2）班两个班中各抽取12名学生，进行了科学实验操作测评，测试成绩（十分制）如下（单位：分）： 九（1）班：9.8，10，9.8，10，8.9，9.8，3.1，8.6，7.8，8.7，7.1，8.5 九（2）班：9.8，8.6，10，9.8，8.8，9.5，9.3，8.8，6.4，8.4，6.9，8.8 整理数据： 成绩班级 九（1）班 1 0 2 4 5 九（2）班 0 2 0 5 5 说明：成绩在9分及以上为优秀． 分析数据： 班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 8.5 8.8 九（2）班 8.8 8.8 解决问题： （1）填空： ___________，___________． （2）根据以上数据的整理和分析，你认为哪个班级学生的科学实验操作测评成绩更好一些？请说明理由． （3）若九年级共有360名学生，请你估计该校九年级的科学实验操作测评成绩为优秀的学生人数． 19. 如图，点在同一条直线上，分别是与的平分线，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若 ，矩形的面积为，求内切圆的半径． 20. 探寻规律： （1）直接写出右边各数的值：，，，； 提炼规律： （2）若用（ 且为整数）表示以上各平方数的底数的一般形式，请你观察上述各数的运算结果，猜测的运算结果，并证明你的结论； 应用规律： （3）计算的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，直线与轴， 轴分别相交于点，． （1）求 的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围． （2）求证： ． 22. 在菱形中，，连接． （1）判断的形状并说明理由． （2）如图， 分别为边 上的动点， ， 交 于点 ． 如图，连接，若 ，求证： ， 若，直接写出动点 到直线的最大距离． 23. 为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润 （万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润 与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． （1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． （2）若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ （3）根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 24. 如图，是的直径，弦 于点 是上的一个动点，连接． （1）求证：． （2）如图，若与的交点 为线段的中点，，，求线段的长． （3）如图，的延长线交的延长线于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $