2025年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷数学模拟训练（五）

第 1 页 共 4 页 2025 年普通高等学校招生全国统一考试 模拟训练（五） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效。 3. 本试卷共 4 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡 和本试卷一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．若 5 2i 1 z   ，则 z  A．1 2i B．1 2i C． 2 i D． 2 i 2．已知集合  1A x x a   ，  2,0,1,2B   ，若 A B   ，则实数 a的取值范围是 A． 1a  B． 2a  C． 1a  D． 2a  3．等比数列 na 中， 2 1a  ，设甲： 4 3a  ，乙： 6 9a  ，则甲是乙的 A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 4．甲同学每次投篮命中的概率为 p，在投篮 6 次的实验中，命中次数 X 的均值为 2.4，则 X 的方差为 A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 5．函数   sin sin2f x x x  在区间  0,3π 上的零点个数为 A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知菱形 ABCD的边长为 2,E为 AB的中点，则 EC ED    A． 3 2 B． 3 2 C． 3 D．3 7．在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M 为 AB的中点， l为平面 1 1AMC 与平面 ABCD的交线， 则 A． 1l AC B． l / / 1AC C． 1l BD D． l / / 1BD 第 2 页 共 4 页 8．设O为坐标原点，若曲线 2 1y x  和曲线  ln 0y a x a  上分别存在 ,A B两点，使得 45AOB  ，则 a的取值范围为 A． e , 2    B．  2e, C． e , 3    D． 3e, 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知随机变量  3,4X N ，若  5 , (1 3)P X m P X n    ，则下列说法正确的是 A． (1 5) 2P X n   B． 1 2 m n  C．  3 2 9E X   D．  3 1 36D X   10．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 P在棱CD上运动，则 A．若点 P为CD的中点，则平面 1 / /BC P 平面 1 1AB D B． 1 1B P AD C．异面直线 BP， 1AD所成角的取值范围是 π π, 4 3      D．点 P到平面 1 1AB D 距离的最小值为 2 11．已知曲线 2: 2 0C x x y   . 则 A. 曲线C关于直线 1x  对称； B. 曲线C上恰好有 4 个整点（即横、纵坐标均是整数的点）； C. 曲线C上不存在点 P，使得 P到点 (1,0)的距离小于1； D. 曲线C所围成区域的面积大于 4 . 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知△ABC为等腰三角形，且 sin 2sinA B ，则 cos B  . 13．    5 51 1x x   的展开式中 2x 的系数是 ． 第 3 页 共 4 页 14．设 1F ， 2F 分别为双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的左、右焦点，过 2F 且斜率为 3 4  的 直线 l与C的右支交于点A ，与C的左支交于点 B，点D满足 1 2 BD BA   ， 1 0BD FD    ， 则双曲线C的离心率为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， AB BC ， / /AD 平面 PBC ， 2PA AC  . （1）证明： AD PB ； （2）已知点 B到平面 PAC的距离为 1，求二面角 A CP B  的余弦值。 16.（15 分） 已知函数 ( ) 2sin( )f x x   π0,| | 2        ，从条件①、条件②、条件③中选择两个作 为一组已知条件，使得函数 ( )f x 存在且唯一，并完成下列两问。 条件①： (0) 1f   ； 条件②：函数 ( )f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为 π 2 ； 条件③：函数 ( )f x 的一个零点为 7π 12 x  。 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。 （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）若函数 ( )f x 在区间 π , 2 m    上单调递减，求实数m的最大值. 第 4 页 共 4 页 17.（15 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1 ( 0) x yE a b a b     的左右顶点分别为 1 2,A A ，离心率为 2 2 ，点 (0,1)T ， 1 2TA A△ 的面积为 2。 （1）求椭圆 E的方程； （2）过点T 且斜率为 k的直线交椭圆 E于点 ,C D，线段CD的垂直平分线交 y轴于点Q， 点Q关于直线CD的对称点为 P .若四边形 PCQD为正方形，求 k的值。 18.（17 分） 已知函数 ( ) ln( 1)f x ax x   ，其中 0a  . （1）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处切线的方程； （2）当 2a  时，证明：对任意的 (0, )t  ，曲线 ( )y f x 总在直线y x t  的下方； （3）若函数 ( )f x 有两个零点 1 2,x x ，且 2 10 1x x   ，求 a的取值范围。 19.（17 分） 已知有穷正整数数列  1 2: , , , , 4n nA a a a n n N 满足：  1,2, ,ia n  ，且当 ( , ,1 ,i j i j i j  N )n 时，总有 i ja a ．定义数列 1 2: , , ,n nA a a a    L ，其中 1 1a a   ，  1 1 1 1 , , 2,3, , , , k k k k k k k k k a a a a a k n a a a a                  ．当 na m   时，称数列 nA 具有性质  P m ． （1）判断下列数列是否具有性质  1P ； ①4，3，2，1； ②1，2，3，5，4． （2）已知数列 8A 具有性质  P m ，求m的最小值； （3）是否存在数列 nA 具有性质  1 2 n n P       ，且 1 2 2025na a a      L ？若存在，请找 到使 n最小的一个数列 nA ；若不存在，请说明理由。 测试（五）参考答案与解析（选填解析附在后面） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.C 8.C 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.ABD 10.BC 11.BCD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12. 8 7 13. 10 14. 7 75 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 证明：（1）在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，则 PA AD 。 ——1分 由 / /AD 平面 PBC ，平面PBC平面 ABCD BC ，得 / /AD BC——2分 而 AB BC ，则 AB AD ，而 , ,PA AB A PA AB   平面 PBC ，因此 AD 平面 PBC ——4分 又 PB 平面 PBC ，所以 AD PB .——5分 解：（2）过点 B在平面 ABCD内作 BO AC 于O，由 PA 平面 ABCD，得 PA BO ， 而 , ,PA AC A PA AC   平面 PAC，则BO平面 PAC， 1BO  ——7分 又 PC 平面 PAC，则 BO PC ， 在Rt ABC△ 中， 2AC  ，则 2 2 4 2 AB BC AB BC BO AC         ，解得 2AB BC  ——8分 O为 AC中点，即 1CO  ，在平面 PAC内过O作OE PC 于 E，连接 BE， , ,BO OE O BO OE  平面 BOE，则 PC 平面 BOE，又 BE 平面 BOE， 于是 BE PC ， OEB 是二面角 A CP B  的平面角——10分 由 , 2PA AC AP AC   ，得 45PCA  ， 2 2 OE  ，而 BO OE ， 则 2 2 2 61 ( ) 2 2 BE    ， 3cos 3 OEOEB BE    ——12分 所以二面角 A CP B  的余弦值为 3 3 .——13分 16.（15分） 解：（1）若选择条件①③, 由 (0) 1f   ,得 (0) 2 sin 1f    ，即 1sin 2    ， π| | 2   ，则 π 6    ， 又函数 ( )f x 的一个零点为 7π 12 x  ，则 7π 7π π( ) 2sin( ) 0 12 12 6 f    ， 则不能确定，所以函数 ( )f x 不唯一，所以不能选择条件①③. （若选择①③作为已知条件求出错误结果，本题得 0分） 选择条件①②, 由 (0) 1f   ,得 (0) 2 sin 1f    ，即 1sin 2    ， π| | 2   ，则 π 6    ——2分 因为函数 ( )f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为 π 2 ，所以函数的最小正周期 πT  ， 因为 2π =π, >0T    ，则 2  ——5分 所以 π( ) 2sin(2 ) 6 f x x  .——6分 选择条件②③, 因为函数 ( )f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为 π 2 ，所以函数的最小正周期 πT  ， 因为 2π =π, >0T    ，则 2  ——2分 因为函数 ( )f x 的一个零点为 7π 12 x  ，即 7π 0 12 f       ， 所以 7π2 π, Z 12 k k    ，则 7ππ , Z 6 k k    ，——4分 又 π| | 2   ，则 π 6    ——5分 所以 π( ) 2sin(2 ) 6 f x x  .——6分 （2）因为函数 siny x 的单调递减区间为 π 3π2 π, 2 π , Z 2 2 k k k      ， 所以 π π 3π2 2 π, 2 π , Z 6 2 2 x k k k        ，——9分 则 π 5ππ, π , Z 3 6 x k k k       ，——10分 所以 2π π, 3 6      是 π( ) 2sin(2 ) 6 f x x  的一个单调递减区间， 若函数 ( )f x 在区间 π , 2 m    上单调递减， 则 π 2π π, , 2 3 6 m             ，——14分 所以实数m的最大值为 π 6  .——15分 17.（15分） 解：（1）已知 1( ,0)A a ， 2( ,0)A a ， (0,1)T ， 则 1 2TA A△ 的面积 1 2 1 2 2 S a    ，解得 2a  . ——1分 因为离心率 2 2 ce a   ， 2a  ，所以 2c  . ——2分 又因为 2 2 2a b c  ， 2a  ， 2c  ，所以 2 2 2 4 2 2b a c     . 所以椭圆 E的方程为 2 2 1 4 2 x y   .——4分 （2）将直线 1y kx  与椭圆 2 22 4x y  联立得 2 2(2 1) 4 2 0k x kx    . 根据韦达定理， 1 2 2 4 2 1 kx x k     ， 1 2 2 2 2 1 x x k    . ——5分 计算 1 2 1 2 2 2 4 2( ) 2 2 2 1 2 1 ky y k x x k k k            ， 从而得到线段CD中点坐标为 2 2 2 1( , ) 2 1 2 1 k k k    . ——6分 然后求线段CD垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为 1 k  ， 根据点斜式可得垂直平分线方程为 2 2 1 1 2( ) 2 1 2 1 ky x k k k        ， 进而得到点 2 1(0, ) 2 1 Q k   . ——8分 最后根据四边形 PCQD为正方形时QC QD ： 则 1 1 2 22 2 1 1( , ) ( , ) 2 1 2 1 QC QD x y x y k k          =0——9分 展开得 1 2 1 22 2 1 1( 1 )( 1 ) 2 1 2 1 x x kx kx k k        进一步化简 2 2 2 2 1 2 1 22 2 (2 2) 2 2( 1) ( ) ( ) 2 1 2 1 k k kk x x x x k k          ——11分 将 1 2 2 4 2 1 kx x k     ， 1 2 2 2 2 1 x x k    代入得， 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1) (2 2) 4 2 2( ) 0 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k k k k k              ， ——12分 整理得 2 2( 1)(4 1) 0k k   ，解得 1 2 k   .——15分 18.（17分） 解：（1）已知当 1a  时， ( ) ln( 1)f x x x   ，对 ( )f x 求导得 1( ) 11 1 xf x x x       . 计算 (0)f ，将 0x  代入 ( )f x 得 (0) ln(0 1) 0 0f     . ——1分 计算 (0)f  ，将 0x  代入 ( )f x 得 0(0) 0 0 1 f     . ——2分 根据点斜式方程，所以切线方程为 0 0( 0)y x   ，即 0y  .——3分 （2）当 2a  时， ( ) ln(2 1)f x x x   ，其定义域为 1( , ) 2   . 因为曲线 ( )y f x 总在直线y x t  的下方等价于 1( , ), ln(2 1) 2 x x x x t        ，即 1( , ), ln(2 1) 2 0 2 x x x t        . ——5分 设函数 1( ) ln(2 1) 2 , 2 g x x x t x      ，对 ( )g x 求导得 2 4( ) 2 2 1 2 1 xg x x x       . 令 ( ) 0g x  ，即 4 0 2 1 x x    ，解得 0x  . 当 1( ,0) 2 x  时， ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在 1( ,0) 2  上单调递增； 当 (0, )x  时， ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在 (0, ) 上单调递减. 所以 ( )g x 在 0x  处取得极大值，也是最大值， max( ) (0) ln(2 0 1) 2 0g x g t t         . ——8分 由于 (0, )t  ，则 max( ) 0g x t   ，即，所以曲线 ( )y f x 总在直线y x t  的下方. ——9分 （3）   1 11 , 1 1 a a axf x x ax ax a          ， 分情况讨论. ①当 11 0 a   ，即 1a  时. 此时 ( )f x 的导数 ( ) 1 xf x x     . 根据 ( )f x 的单调性，在 ( 1,0) 上 ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增； 在 (0, ) 上 ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减. 所以 max( ) (0) ln(1) 0 0f x f    . 对于 ( 1, ), 0x x     ，有 ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 恰有一个零点，不符合题意.——11分 ②当 11 0 a   ，即0 1a  时.因为 11 0 a   ，根据 ( )f x 的单调性， 在 1 1( ,1 ) a a   上， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增； 在 1(1 , ) a   上， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调 递减. 知 max 1( ) (1 )f x f a   ， 因为 ( )f x 有两个零点 1 2,x x ，且满足 2 10 1x x   ，得 2 0x  ， 1 1( 1,1 )x a    . 又因为此时 11 ( , ) a     ，所以 ( 1) ln(1 ) 1f a    . 由于 ( 1) 0f   ，即 ln(1 ) 1 0a   ，移项得到 1ln(1 ) 1 ln e a    . 因为对数函数 lny x 在 (0, ) 上单调递增，所以 11 e a  ，即 11 e a   ， 又因为0 1a  ，所以 11 1 e a   . ——14分 ③当 11 0 a   ，即 1a  时. 根据 ( )f x 的单调性， 在 1(0,1 ) a  上， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增； 在 1(1 ,1) a  上， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减， 知 max 1( ) (1 ) (0) 0f x f f a     . 因为 ( )f x 有两个零点 1 2,x x ，且满足 2 10 1x x   ，得 1 0x  ， 2 1(1 ,1)x a   . 所以 (1) ln(1 ) 1f a   . 由于 (1) 0f  ，即 ln(1 ) 1 0a   ，移项得到 ln(1 ) 1 ln ea   . 因为对数函数 lny x 在 (0, ) 上单调递增，所以1 ea  ，即 e 1a   ， 又因为 1a  ，所以1 e 1a   . ——17分 综上， a的取值范围为 1(1 ,1) (1,e 1) e   . 19.（17分） 解：（1）①由题意得 *1 4a  ， * 2 7a  ， * 3 9a  ， * 4 10a  ， 因为 * 4 1a  ，所以数列不具有性质  1P ；——2分 ②由题意得 *1 1a  ， * 2 1a  ， * 3 2a  ， * 4 3a  ， * 5 1a  ， 所以数列具有性质  1P ；——4分 （2）由已知 * 0ka  ，设 * * 1 1k k k ka a a    ，其中 1 { 1,1}( 2,3, , )k k n     L ， 可得 * * 1 1 * * 1 1 2 2 * * 2 2 1 1 n n n n n n n n a a a a a a a a a                      ， 又 * 1 1a a ，所以 * * * * * * * 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1n n n n n n n na a a a a a a aa a a                  L L L ， 即 * * * * 1 2 1 1 1 2 2 1 1( ) ( 1) ( ) ( 11 )n n n n n n na a a a a a a a                L L ——6分 因为 1 { 1,1}k    ，所以 1 { 2,0}( 2,3, , )1k k n      L ， 所以 * na 与 1 1n na a a  L 的奇偶性相同。——7分 因为 1 2 8 36a a a   L ， 所以 * 8a m 为偶数， 又 * 8 0a  ，所以 2m≥ ——8分 又数列 8 :1, 2,3, 4,5,6,8,7A ， 此时 * 8 :1,1, 2, 2,3,3,5,2A ， 2m  ， 综上，m的最小值为 2；——10分 （3）由已知， * * 10 ( 2,3, , )k k ka a na k   L ，且 * 1 1 0a a  ， 则 * * * 1 1 2 1 2 1 ( 1) 2n n n n n n n n n na a a a a a a a aa                L L ， 因为数列 nA 具有性质  1 2 n n P       ，即 * ( 1) 2n n na  ， 所以 * * 1( 2,3, , )k k ka a a k n   L ——12分 记 * * * 1 2n nS a a a   L ，所以 1 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( 1) 2n n n nS aaa a a a na n a a a            L L L ， 因为 1 2{ , , , } {1,2, , }na a a nL L ， 所以 2 2 2 2 1 2 1( 1) 2 ( 1) 2 1n n nS na n a a a n n           L L ， 当 17n  时， 2 2 21 2 17 2025nS     L ， 所以 18n  ——14分 当 18n  时，数列 18 :18,17,16,15,14,13,12,11,1,8,9,6,7,4,5,3, 2,10A ， 此时 * 18 :18,35,51,66,80,93,105,116,117,125,134,140,147,151,156,159,161,171A ， ( 1) 18 171 2 2 19n n    ， 18 2025S  ， 所以数列 18 :18,17,16,15,14,13,12,11,1,8,9,6,7,4,5,3, 2,10A 满足题意.——17分 选择题、填空题解析 1．因为 5 2i 1 z   ，故  5 1 2i5 1 2i 1 2i 5 z       ， 故选：B. 2．当 1a  时， A  ，满足 A B   ， 当 1a  时， A  ，由 A B   ， 可知1 2a  ， 综上所述， 2a  . 故选：D 3．因为 na 为等比数列，故 2 4 6, ,a a a 为等比数列，且三者同号， 若 4 3a  ，则由 2 4 2 6a a a 可得 6 9a  ，故甲是乙的充分条件； 若 6 9a  ，则由 2 4 2 6a a a 及 4 0a  可得 4 3a  ，故甲是乙的必要条件； 故甲是乙的充要条件， 故选：A. 4．根据题意可得命中次数 X 服从二项分布，即  B 6,pX  ； 即可得均值为   6 2.4E X p  ，解得 0.4p  ； 所以 X 的方差为    6 0.4 1 0.4 1.44D X      . 故选：B 5．令   0f x  ，则 sin 2sin cos 0x x x  ， 故 sin 0x  或1 2cos 0x  ，而  0,3πx ， 所以 πx  或 2πx  或 2π 3 x  或 4π 3 x  或 8π 3 x  ， 故共有 5个零点， 故选：B. 6． , 2 2 AB ABEC EB BC AD ED EA AD AD                  ， 所以 2 2 44 3 4 4 ABEC ED AD         ， 故选：D. 7．设 N为BC的中点，连接 1,MN NC ， ∵ //MN AC，而在直角 1ACC△ 中， 1 90  ACC ，则 1AC 与 AC不垂直， 故MN与 1AC 不垂直，即 l与 1AC 不垂直，故 A错误； ∵M 为 AB的中点， N为 BC的中点，∴ //MN AC， 又∵ 1 1//AC AC，∴ 1 1 //AC MN ， ∴ 1 1, , ,A M N C 四点共面， ∴平面 1 1AMC 与平面 ABCD的交线为MN，则 l即为MN所在直线， ∵MN与 1AC 是异面直线，即 l与 1AC 是异面直线，故 B错误； ∵ 1BB 平面 1 1BDD B ， AC 平面 1 1BDD B ，∴ 1BB AC ， 又 AC BD ， 1BD BB B  ， 1,BD BB 平面 1 1BDD B ， ∴ AC 平面 1 1BDD B ，又 //MN AC， ∴MN 平面 1 1BDD B ，即 l 平面 1 1BDD B ， ∵ 1BD 平面 1 1BDD B ，∴ 1l BD ，故 D错误，C正确， 故选：C. 8．设   21 1 1, 1 0A x x x  ，则 2 1 1 1 1 1 2 2OA x xk x x     ，当 1 1x  时取等号； 令  1( ) ln , 0 e f x x x x   ，则 1 1( ) e f x x   ，当 ex 时， ( ) 0f x  ； 当 ex 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在  e, 上单调递减； 当0 ex  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在  0,e 上单调递增， 则 1( ) ln (e) 0 e f x x x f    ，得 ln 1 e x x ，则 ln 1 e x x  ， 设   2 2 2, ln 0B x a x x  ，则 2 2 ln eOB a x ak x   . 取 2, eOA OB ak k  ，此时 tan tan451 OA OB OA OB k kAOB k k       ， 即 2 e 1 1 2 e a a     ，解得 e 3 a  ，即 a的取值范围为 e , 3     . 故选：C. 9．因为随机变量  3,4X N ，所以 (1 5) 2 (1 3) 2P X P X n      ，故 A正确；       13 5 (3 5) 5 (1 3) 2 P X P X P X P X P X m n              ，故 B正确； 随机变量  3,4X N ，所以    3, 4E X D X  ， 所以        3 2 3 2 7, 3 1 9 36E X E X D X D X       ，故 C错误，D正确. 故选：ABD. 10．如图建系易得：              1 1 1 10,0,0 , 1,0,0 , 1,1,1 , 0,0,1 , 1,1,0 , 0,1,1 , 1,0,1D A B D B C A 对于 A：若点 P为CD的中点，则 10, ,0 2 P      设平面 1BC P的法向量为  1 , ,n a b c  ，  1 11,0,1 , 1, ,0 2 BC BP            ， 则 1 1 1 0 0 n BC n BP           即 0 1 0 2 a c a b         ， 设 1a  ，可得 1, 2c b   ， 则  1 1, 2,1n    ， 设平面 1 1AB D 的法向量为  2 , ,n x y z  ，    1 10,1,1 , 1,0,1AB AD     则 2 1 2 1 0 0 n AB n AD           ，即 0 0 y z x z      ， 设 1x  ，则 1, 1z y   ， 所以  2 1, 1,1n    ，显然 1 2,n n   不平行，即平面 1 / /BC P 平面 1 1AB D 不成立，故错误； 对于 B：设   0, ,0 0 1P t t  ， 则    1 11, 1, 1 , 1,0,1B P t AD        ， 则    1 1 1, 1, 1 1,0,1 1 1 0B P AD t            ， 所以 1 1B P AD ，故 B正确； 对于 C：            1 1 1 11,0,0 , 1,1,1 , 0,0,1 , 1,1,0 , 0,1,1 , 1,0,1A B D B C A    11, 1,0 , 1,0, 1BP t AD        设异面直线 BP， 1AD所成角为， 则   1 2 1cos cos , 1 1 2 BP AD t         ， 因为 0 1t  ，易得：  20 1 1t   ， 所以  22 1 1 2 2t     ， 所以 1 2cos 2 2   ，又  0, π  ， 所以 π π, 4 3       ，C正确； 对于 D：由 A知平面 1 1AB D 的一个法向量为  2 1, 1,1n    ，  1, ,0PA t   所以点 P到平面 1 1AB D 距离为： 2 2 1 3 PA n t n       ， 因为 0 1t  ， 所以当 0t  时，取得最小值为 3 3 ，故 D错误； 故选：BC 11．由 2: 2 0C x x y   ，则 2 2: ( 1) 1C x y   且 0x  ，易知曲线C为封闭曲线， 所以 2 21 ( 1) 1 1 1y x y        ，易得0 2x  ，故0 4x  ， 0x  时 0y  ； 1x  时 1y   ； 4x  时 0y  ， 故曲线过点 (0,0), (1, 1), (4,0) ，显然 (0,0),(4,0)不关于直线 1x  对称，A错； 对于曲线上任意点 ( , )x y ，其关于 x轴对称点为 ( , )x y ， 则 2 22 ( ) 2 0x x y x x y       ，故曲线关于 x轴对称， 综上，曲线的大致图形如下图示，显然曲线C上恰好有 4个整点，B对； 由圆 2 2( 1) 1x y   过点      0,0 , 1, 1 , 2,0 ，故圆上点均在曲线上或内， 所以曲线C上不存在点 P，使得 P到点 (1,0)的距离小于1，C对； 如图中，四边形OACB在曲线C内部，故曲线C所围成区域的面积大于 1 2 4 4 2OACB S     ， D对. 故答案为：BCD 12．在△ABC中，令内角 , ,A B C 所对边分别为 , ,a b c， 由 sin 2sinA B 及正弦定理，得 2a b ，显然 AC为底边，否则不能构成三角形， 由余弦定理得 2 2 2 2 2 2(2 ) (2 ) 7cos 2 2 2 2 8 a c b b b bB ac b b          . 故答案为： 7 8 13．  51 x 的展开式的通项公式为  1 5C rrrT x  ，  51 x 的展开式的通项公式为    1 51 C rr r rS x   ， 令 4r  ，则  51 x 的展开式中 2x 的系数为 45C 5 ，  51 x 的展开式中 2x 的系数为  4 451 C 5  ， 故    5 51 1x x   的展开式中 2x 的系数为10， 故答案为：10 . 14．画出题示图形： 由 1 2 BD BA   ，得D为 AB的中点；又 1 0BD FD    ，所以 1FD AB ，所以 1 1| | | |AF BF ； 设 1 1| | | |AF BF m  ，由双曲线的定义，得 2| | 2BF a m  ， 2| | 2AF m a  ， 所以 2 2| | | | | | 4AB BF AF a   ，从而 1| | | | 2 2 AD AB a  ，所以 2 2| | | | | |DF AD AF m   ； 由直线 l的斜率为 3 4  ，得 2 1 3tan , 4 AF F  又 2 2 2 1 2 1 2 12 1 2 1 sin cos 1 4cossin 3 5 cos 4 AF F AF F AF FAF F AF F            ， 在 1 2Rt DFF△ 中， 2 1 2 2 1| | | | cosDF FF AF F  ，即 4 8 5 5 2 cm c   ； 在 1 2AF F△ 中，由余弦定理，得 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1| | | | | | 2 | | | | cosAF F F AF F F AF AF F      ， 即 2 2 28 8 8 4 5 5 5 5 4 2 2 2 2c c c a c c a                        ，整理得 2 225 7 0a c  ， 解得 2 2 25 7 c a  ，所以 2 2 5 7 7 ce a   . 故答案为： 5 7 7 2025年普通高等学校招生全国统一考试 模拟训练（五） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡 和本试卷一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则 A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3．等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的 A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 4．甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为 A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 5．函数在区间上的零点个数为 A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知菱形的边长为为的中点，则 A． B． C． D． 7．在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则 A． B． C． D． 8．设为坐标原点，若曲线和曲线上分别存在两点，使得，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知随机变量，若，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 10．在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则 A．若点为的中点，则平面平面 B． C．异面直线，所成角的取值范围是 D．点到平面距离的最小值为 11．已知曲线. 则 A. 曲线关于直线对称； B. 曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）； C. 曲线上不存在点，使得到点的距离小于； D. 曲线所围成区域的面积大于. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知△ABC为等腰三角形，且，则 . 13．的展开式中的系数是 ． 14．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 如图，四棱锥中，底面，，平面，. （1）证明：； （2）已知点到平面的距离为1，求二面角的余弦值。 16.（15分） 已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问。 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为。 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。 （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. 17.（15分） 已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2。 （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值。 18.（17分） 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方； （3）若函数有两个零点，且，求的取值范围。 19.（17分） 已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质． （1）判断下列数列是否具有性质； ①4，3，2，1； ②1，2，3，5，4． （2）已知数列具有性质，求的最小值； （3）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$